posobie-fa-2015

2.15.Сходятся ли в пространстве C[0; 1] следующие последовательности:

2.16.Сходятся ли следующие последовательности в про-

2.17.Доказать, что последовательность xn(t) = sin nt не сходится в пространстве L2[a; b]:

2.18.Пусть X – нормированное пространство. Доказать, что

1 2 () 9 C > 0 8 x 2 X x 2 6 C x 1:

2.19.Доказать, что ℓp ℓq, если 1 6 p < q < 1 и для x 2 ℓp

x ℓp > x ℓq .

2.20.Показать, что

ℓ1 ℓp ℓq c0 c ℓ1; 1 < p < q < 1:

31

2.21.Привести примеры, подтверждающие, что вложения в предыдущей задаче строгие.

2.22.Доказать, что

ℓ1 ℓp ℓq ℓ1; 1 < p < q < 1:

2.23.Привести примеры, подтверждающие, что отношения в предыдущей задаче строгие, т. е.

ℓ1 ℓp ℓq ℓ1; 1 < p < q < 1:

2.24.Доказать, что Lq[a; b] Lp[a; b], если 1 6 p < q < 1 и

для x 2 Lq[a; b]

2.25.Показать, что

Ck[a; b] C[a; b] Lq[a; b] Lp[a; b] L1[a; b];

1 < p < q < 1:

2.26.Привести примеры, подтверждающие, что вложения в предыдущей задаче строгие.

2.27.Доказать, что

Ck[a;b] C[a;b] Lq[a;b] Lp[a;b] L1[a;b];

1 < p < q < 1:

2.28.Привести примеры, подтверждающие, что отношения

впредыдущей задаче строгие, т. е.

Ck[a;b] C[a;b] Lq[a;b] Lp[a;b] L1[a;b];

1 < p < q < 1:

32

2.34.Доказать эквивалентность следующих норм:

а) в пространстве непрерывно дифференцируемых на [a; b] функций:

б) в пространстве дважды непрерывно дифференци-

2.35.Проверить, что отображения

из R2 в R являются метриками. Сравнить их.

34

2.36.На множестве ограниченных последовательностей сравнить метрики s и 1; где

2.37.Пусть 1 и 2 – эквивалентные нормы на линейном пространстве X. Доказать, следующие утверждения:

а) если множество M X открыто (замкнуто) в смысле одной из этих норм, то M открыто (замкнуто) в смысле другой;

б) если множество M X ограничено в смысле одной из этих норм, то M ограничено в смысле другой.

2.38.Пусть 1 и 2 – метрики, заданные на X. Доказать, что 1 не слабее 2 тогда и только тогда, когда всякое множество открытое (замкнутое) в X; 1 является открытым (замкнутым) в X; 2 .

2.39.Пусть на множестве X заданы две эквивалентные метрики. Какие из свойств множества M X сохраняются при переходе от одной метрики к другой: открытость, замкнутость, ограниченность?

2.40.Описать все метрические пространства, в которых всякое открытое множество является замкнутым.

2.41.Доказать, что на любом бесконечномерном линейном пространстве можно задать две несравнимые нормы.

35

Тема 3. Плотность, сепарабельность

Определение 3.1. Пусть M и N – подмножества метрического пространства X. Множество N называется плотным в множестве M, если M N. В частности, множество N называется всюду плотным в метрическом пространстве X, если

N = X:

Определение 3.2. Множество M называется нигде не

плотным в метрическом пространстве X, если в M нет внут-

◦

ренних точек, т. е. M= :

Определение 3.3. Метрическое пространство называется сепарабельным, если в нем есть не более чем счетное всюду плотное множество.

Пример 3.1. Пусть N – множество алгебраических многочленов с нулевым свободным членом,

M = fx 2 C[0; 1]: x(0) = 0g:

Доказать, что множество N плотно в множестве M из пространства C[0; 1] над R.

Решение. Множество N плотно в M; если M N, т. е. любой элемент x 2 M либо принадлежит N; либо является предельной точкой N. Это означает, что для каждого элемента x 2 M и любого " > 0 найдется элемент x" 2 N со свойством x" 2 B(x; ") или, что то же самое, для каждого x 2 M най-

пространстве C[0; 1]:

Пусть x 2 M: По теореме Вейерштрасса существует последовательность многочленов fpng, равномерно сходящаяся к x, т. е. сходящаяся по норме пространства C[0; 1] (см. задачу 2.9). Рассмотрим последовательность сдвинутых многочленов xn(t) = pn(t) pn(0). Ясно, что xn(0) = 0. Покажем, что

36

последовательность fxng также сходится к x в C[0; 1]. Действительно,

Итак, множество N плотно в M.

Отметим, что нетрудно построить последовательность fxng конструктивно. Для функции x 2 C[0; 1] рассмотрим последовательность ее многочленов Бернштейна

Известно [2, гл. 4, § 5, теорема 1] что она равномерно на [0; 1] сходится к x: Далее, если x 2 M; то

Bn(0) = x(0) = 0:

Следовательно, в этом случае Bn 2 N и fBng сходится к x в C[0; 1]. ,

Пример 3.2. Доказать, что множество

M = fx 2 C[a; b]: x(a) = x(b)g

всюду плотно в пространстве Lp[a; b] над R.

Решение. Множество M всюду плотно в пространстве Lp[a; b]; если M = Lp[a; b]: Следовательно, нужно показать, что для каждой функции x 2 Lp[a; b] и любого " > 0 существует функция z 2 M такая, что x z p < ":

Возьмем x 2 Lp[a; b] и " > 0: Так как множество C[a; b] непрерывных на отрезке [a; b] функций плотно в пространстве Lp[a; b] (см. задачу 11.5), то для x существует функция y 2

37

к нулю последовательностей нигде не плотно в пространстве c:

◦

Решение. Надо доказать, что c0 есть пустое множество в пространстве c. Так как c0 – замкнутое подмножество в c (см.

◦ ◦

задачу 1.53), то c0 = c0: Надо показать, что для всякого элемента x0 2 c0 и всякого " > 0 шар B(x0; ") c не принадлежит множеству c0:

Для x0 = f k0g 2 c0 имеем k0!k!1 0: Значит, для " > 0 найдется номер k0 такой, что j k0j < 2" для k > k0:

38

3.1.Пусть M и N – множества, всюду плотные в метрическом пространстве X. Возможно ли, что M \ N = ?

3.2.Будут ли множество Pn всех алгебраических многочленов степени не выше n и множество P всех алгебраических многочленов

a) нигде не плотными в пространстве C[a; b],

б) всюду плотными в пространстве C[a; b]?

3.3.Показать, что множество всех финитных последовательностей не является всюду плотным в простран-

ствах c и ℓ1; всюду плотно в пространствах c0 и ℓp

(1 6 p < 1).

+ Доказать утверждения 3.4–3.7.

3.4.Множество P всех алгебраических многочленов всюду плотно в пространстве C1[a; b].

3.5.Множество кусочно линейных непрерывных функций всюду плотно в пространстве C[a; b] над R.

3.6.Множество C[a; b] непрерывных на отрезке [a; b] функций всюду плотно в пространстве Lp[a; b], 1 6 p < 1.

3.7. а) Множество алгебраических многочленов от t2 всюду плотно в пространстве C[0; 1];

39

б) множество алгебраических многочленов от t, равных нулю при t = 1, всюду плотно в множестве

M = fx 2 C[0; 1]: x(1) = 0g;

в) множество

M = fx 2 C[0; 1]: x(0) = 0g

+ Пусть X – метрическое пространство. Доказать утверждения 11.6–11.8.

3.8.Дополнение к нигде не плотному в X множеству всюду плотно. Справедливо ли обратное утверждение?

3.9.Дополнение к открытому всюду плотному в X множеству нигде не плотно.

40