posobie-fa-2015

12.3.Найти продолжение линейного непрерывного функционала с одномерного подпространства в двумерном вещественном нормированном пространстве с сохранени-

ем нормы:

√

12.4.Указать условие единственности продолжения (с сохранением нормы) функционала с одномерного подпространства двумерного вещественного нормированного пространства.

12.5.Доказать, что норма линейного непрерывного функционала достижима тогда и только тогда, когда достижимо расстояние от нуля до гиперплоскости f 1(1):

12.6.Пусть f 2 X ; f ≠ 0: Доказать, что Ker f – замкнутое линейное многообразие, codim Ker f = 1:

12.7.Пусть f – неограниченный линейный функционал, заданный на всюду плотном линейном подмножестве нормированного пространства X: Доказать, что Ker f

плотно в X, codim Ker f = 1 на D(f):

131

12.8.В пространствах C[0; 3] и L1[0; 3] найти расстояние от элемента x0 до гиперплоскости M: Достижимо ли это расстояние?

12.9.В линейном нормированном пространстве X найти расстояние от элемента x0 до множества M:

132

12.10.Исследовать на сильную и слабую сходимость в c0 и ℓp последовательность элементов xn = f nkg1n=1:

12.11.При каких a > 0 последовательность ftng1n=1 сходится сильно в C[0; a]; при каких – слабо?

12.12.Показать, что последовательность xn(t) = sin nt не сходится сильно в L2[0; ] и в C[0; ]: Сходится ли она слабо?

12.13.Доказать, что последовательность элементов

слабо сходится в Lp[0; 1]; 1 < p < 1; а сильно не сходится.

12.14. Исследовать на сильную, слабую и слабую сходи-

мость последовательность функционалов fn 2 X ; если

∫

12.15. Пусть ffng X : Указать связь между различными видами сходимости: сильная, слабая и слабая. Показать, что они, вообще говоря, не эквивалентны.

12.16. Пусть X = C1[ 1; 1]; " > 0; f"(x) = 21"(x(") x( ")), f(x) = x′(0): Доказать, что f" слабо сходится к f при

" ! 0; а сильно не сходится.

Тема 13. Сопряженные операторы

Пусть X – линейное нормированное пространство, x 2 X , значение функционала x на элементе x будем обозначать

x; x , т. е. x; x x (x).

Определение 13.1. Пусть X; Y – линейные нормированные пространства, A 2 L(X; Y ). Сопряженным к A называется оператор A : Y ! X , который функционалу y 2 Y ставит в соответствие функционал (A y ) 2 X по правилу

Известно, что A 2 L(Y ; X ) и A = A .

Определение 13.2. Пусть H1; H2 – гильбертовы пространства, A 2 L(H1; H2). Эрмитово сопряженным к A называется оператор A : H2 ! H1, действующий по правилу

Если A 2 L(H1) совпадает с A , то A называется самосопряженным или эрмитовым.

Известно, что A 2 L(H2; H1) и A = A . Подчеркнем, что в отличие от сопряженного оператора эр-

митово сопряженный оператор действует в исходных пространствах H2, H1, а не в сопряженных к ним.

При решении задач удобно работать не в самих сопряженных пространствах, а в изоморфных им пространствах функций или последовательностей, см. теоремы 12.3, 12.4. Пусть – изоморфизм X на X′, а – изоморфизм Y на Y ′. Сопоставим оператору A : Y ! X оператор A′ : Y ′ ! X′ по формуле

A′y′ = A 1y′; y′ 2 Y ′:

Положим y′ = y , тогда A′y′ = A y и

A y = 1A′ y ; y 2 Y ;

т. е. A = 1A′ :

134

Если H1; H2 – гильбертовы пространства, e – сопряженнолинейная изометрия H1 на H1, описанная в теореме 12.5, а e – соответствующая сопряженно-линейная изометрия H2 на H2, то A = e 1A e:

* Ответы к задачам даны в терминах A′ и X′, Y ′, соответствующие изоморфизмы , описаны в теоремах 12.3, 12.4. В том случае когда оба пространства гильбертовы, в ответе приведен эрмитово сопряженный оператор.

Пример 13.1. Пусть A: L5[0; 1] ! L3[0; 1], (Ax)(t) = etx(t). Найти сопряженный оператор.

Решение. Оператор A действует из (L3[0; 1]) в (L5[0; 1]) . По теореме 12.4 пространство (L5[0; 1]) изоморфно простран-

изометрии , , переводящие (L3[0; 1]) на L3=2[0; 1] и (L5[0; 1]) на L5=4[0; 1] соответственно. Таким образом, можно изобразить схему

Сопряженный оператор определяется с помощью равенства (13.1). Зная общий вид линейного функционала в про-

Подставив в (13.1) правые части (13.3) и (13.4), для всех x 2 X получим равенство

k=1

=1 1 + 2( 1) + 33 2 + 5 2 + 6 3 =

∑1

=k k = (x; A y):

k=1

Таким образом,

Пример 13.3. Пусть A: L2(R) ! L2(R), (Ax)(t) = x(t + t0), t0 2 R: Найти сопряженный оператор. Является ли A самосопряженным?

136

Решение. Пространство L2(R) является гильбертовым.

Пусть x 2 L2[0; 1], а y 2 L2[1; 3]. Имеем с использованием тео-

∫ 3 (∫ 1 )

= (s + e )x( )y(s) d ds =

∫11 (∫03 )

= (s + e )x( )y(s) ds d =

0 1

∫ 1 (∫ 3 )

= x( ) (s + e )y(s) ds d = (x; A y) =

∫01 1

=x( )(A y)( ) d :

0

137

+ В задачах 13.1–13.20 найти сопряженный оператор. Выяснить, является ли исходный оператор самосопряженным в случае, если он действует в гильбертовых пространствах.

13.1. A : ℓ2 ! ℓ22; Ax = ( 1 2; 5 + 3 3).

13.2.A : ℓ2 ! ℓ2; Ax = ( 2; 4; 6; 0; 0; : : :).

∫ 1

13.3. A : L2[0; 1] ! L2[ 1; 0]; Ax(t) = et sx(s) ds.

0

13.4.A; B : ℓ2 ! ℓ2,

13.9.A : ℓ1 ! ℓ1; Ax = ( 1 + 2; 3 + 4; 5 + 6; : : :).

Тема 14. Обратные операторы

Определение 14.1. Пусть X; Y – линейные нормированные пространства, оператор A: D(A) X ! Y называется обратимым, если для любого y 2 Im(A) уравнение Ax = y имеет единственное решение.

Если A обратим, то каждому y 2 Im(A) можно поставить в соответствие единственный элемент x 2 D(A), являющийся решением уравнения Ax = y. Оператор, осуществляющий это соответствие, называется обратным к A и обозначается A 1.

Линейный оператор A; действующий из X в Y , обратим

где Ker A = fx 2 X : Ax = 0g – ядро оператора A.

Нетрудно проверить, что если A – линейный оператор и A 1 – обратный к A, то A 1 также линеен.

Теорема 14.1 (Банах. О непрерывности обратного оператора). Пусть X и Y – банаховы пространства, A 2 L(X; Y ); A – биекция X на Y . Тогда существует обратный оператор A 1 и он непрерывен.

Пример 14.1. Выяснить, обратим ли оператор A; действу-

ющий в пространстве X: Если обратим, найти A 1:

∫ t

Решение. a) Оператор, заданный формулой

∫ t

(Ax)(t) = x(s) ds;

0

140