posobie-fa-2015

Пример 9.1. Пусть оператор A: C1[a; b] ! C[a; b] действует по правилу

(Ax)(t) = x(a) + x′(a)(t a):

Проверить, является ли A линейным, ограниченным, непрерывным?

Решение. Линейность A легко проверить по определению. По теореме 9.2 свойства ограниченности и непрерывности для A эквивалентны, поэтому достаточно проверить лишь одно из них. В данном случае проще исследовать A на ограниченность.

Пусть E – произвольное ограниченное множество из D(A) = C1[a; b]. Докажем, что множество A(E) = fAx : x 2 Eg также ограничено.

Ограниченность E означает, что найдется число K такое, что для всех x 2 E x 6 K, т. е. в данном случае

Для любого t 2 [a; b] справедлива следующая цепочка соотношений:

Следовательно, множество A(E) ограничено.

Итак, оператор A – линейный, ограниченный и непрерыв-

f(x) = jx(1)j:

Проверить, является ли f линейным, ограниченным, непрерывным?

Решение. Очевидно, f не является линейным, поскольку если < 0 и x(1) ≠ 0, то f( x) = j x(1)j ̸= jx(1)j = f(x):

1. Докажем сначала, что f разрывен в точке x0(t) 0. Поскольку f(x0) = jx0(1)j = 0, мы должны построить последовательность функций fxng L2[0; 1] такую, что xn x0 ! 0,

Таким образом, f терпит разрыв в точке x0, а значит, не явля-

e

ется непрерывным на всем пространстве L2[0; 1].

Докажем, что f не является непрерывным в любой другой

e

точке из L2[0; 1]. Для этого рассмотрим последовательность

2. Докажем теперь, что f неограничен. Для этого модифицируем последовательность fxng следующим образом:

че. Функционал f есть суперпозиция линейного функциона-

e

ла g : L2[0; 1] ! R, g(x) = x(1) и функционала (функции) ϕ: R ! R, ϕ(y) = jyj. Функция ϕ непрерывна в точке x = 0. Отсюда следует, что g разрывен в точке 0, поскольку в противном случае f, как суперпозиция непрерывных функционалов, был бы непрерывным в точке 0. Поскольку g линейный и разрывный, то g неограничен. Это означает, что образ еди-

g(B) ограниченно или неограниченно одновременно с множеством f(B) = fjx(1)j : x 2 Bg. Следовательно, множество f(B) неограниченно и функционал f неограничен. ,

Пример 9.3. Проверить, является ли оператор J, заданный формулой Jx = x, ограниченным и непрерывным, если

a) D(J) = X = Lq[0; 1]; Y = Lp[0; 1]; p < q;

б) D(J) = Lq[0; 1]; X = Lp[0; 1]; Y = Lq[0; 1]; p < q:

Решение. Очевидно, что оператор вложения одного линейного нормированного пространства в другое является линейным. Следовательно, в силу теоремы 9.2 ограниченность и непрерывность этого оператора эквивалентны.

а) Оператор J является ограниченным и непрерывным, так как при p < q имеет место строгое вложение Lq[a; b] Lp[a; b], причем q сильнее нормы p, а значит выполняется условие (4) теоремы 9.2.

103

∫ 1

9.5. f(x) = x′(t) sin t dt, D(f) = C1[0; 1], X = Lp[0; 1].

0

9.6.f(x) = x′(0) + 5; D(f) = C1[0; 1], X = C[0; 1].

9.7.f(x) = sup k, D(f) = X = m над R.

k

9.8.f(x) = max x(t),

t2[0;1]

а) D(f) = X = C[0; 1] над R;

б) D(f) = C[0; 1], X = Lp[0; 1] над R.

a) D(f) = X = ℓ1; б) D(f) = M, X = m; в) D(f) = ℓp \ M, X = ℓp, 1 < p < 1.

9.10.Пусть X – бесконечномерное линейное нормированное пространство. Привести пример оператора A: X ! X, который не является линейным и ограниченным, но непрерывен на X.

9.11.Оператор A определен на пространстве ℓ2 формулой Ax = f k kg, x = f kg: Найти необходимые и достаточные условия на последовательность = f kg, при которых A 2 L(ℓ2).

+ В задачах 9.12–9.25 X; Y – линейные нормированные пространства. Проверить, является ли оператор A : D(A) X ! Y линейным, ограниченным, непрерывным?

9.12.(Ax)(t) = tx′(t),

а) A: C1[a; b] ! C[a; b];

б) D(A) = C1[a; b], X = Y = C[a; b]:

105

9.16.Ax = f k2g1k=1,

{ }

в) D(A) = x = f kg 2 ℓp : Ax 2 ℓp , X = Y = ℓp:

9.18.Ax = sign x; A: m ! m.

9.20.Ax = fj kjg1k=1;

б) A: Cm[a; b] ! C[a; b]:

9.26.Докажите, что во всяком бесконечномерном линейном нормированном пространстве X можно определить разрывный линейный функционал f с D(f) = X:

Тема 10. Нормы линейных функционалов и операторов

Определение 10.1. Пусть X; Y – линейное нормированное пространство над полем P, A: X ! Y – линейный ограниченный оператор. Нормой оператора A называется величина

A = sup Ax :

x 61

Если в пространстве X существует элемент x такой, чтоx = 1 и Ax = A , то говорят, что норма A достижима, если же такого элемента не существует, норма A недостижима.

Пример 10.1. Оператор A: C[0; 2] ! C[0; 2] задан форму-

Таким образом, мы получили оценку Ax 6 2 x , следовательно A 6 2. Если взять x(t) 1, все неравенства (10.1) обратятся в равенства. Значит, A = 2, норма достигается. ,

108

Пример 10.2. Функционал f : C[0; 3] ! R задан форму-

Найти норму f, выяснить, является ли она достижимой.

Следовательно, f 6 92. Проанализируем, возможна ли си-

туация, когда оба неравенства в (10.2) обратятся в равенство. Неравенство ( ) обращается в равенство, когда функция φ(t) x(t) сохраняет знак п. в. на [0; 3], что для непрерывной функции x возможно, только если x(t) > 0, t 2 [0; 2), и x(t) 6 0, t 2 (2; 3]. Неравенство ( ) обращается в равенство, когда jx(t)j = const на [0; 3]. Таким образом, «идеальная» функция должна иметь вид

{

1; t 2 [0; 2);

x(t) =

1; t 2 (2; 3]:

Функция x не определена в точке t = 2. При этом ясно, что доопределить функцию x так, чтобы она стала непрерывной в этой точке, невозможно. Рассмотрим последовательность

109

функций

Нетрудно проверить, что xn = 1, а jf(xn)j ! 92 при n ! 1. Поскольку