posobie-fa-2015

Равномерной сходимости на C[0; 2] нет. Действительно,

11.1.Доказать, что последовательность операторов

11.3.Сходится ли последовательность операторов fAng, где

Anx = ( 1; 2; : : : ; n; 0; 0; : : : ), поточечно, если

а) fAng L(ℓp); б) fAng L(c0); в) fAng L(c)?

Сходится ли fAng равномерно?

11.4.Пусть = f ng1n=1 2 ℓ1;

Anx = ( 1 1; 2 2; : : : ; n n; 0; 0; : : : ):

При каких последовательность fAng сходится равномерно в пространстве X?

а) X = ℓp; 1 6 p 6 1; б) X = c; в) X = c0.

При каких последовательность fAng сходится в пространстве X поточечно?

11.5.Доказать, что последовательность операторов

fAng L(C[0; 1]); (Anx)(t) = ∫ t ∑n sk x(s) ds

0 k=0 k!

равномерно сходится к оператору A:

∫ t

(Ax)(t) = esx(s) ds:

0

11.6.Пусть An : D(An) C[0; 1] ! C[0; 1]; D(An) = C1[0; 1],

Доказать, что

а) An – линейный непрерывный оператор при любом n 2 N;

б) последовательность операторов fAng поточечно сходится к неограниченному оператору D;

(Dx)(t) = x′(t);

122

в) последовательность операторов fAng не сходится равномерно.

11.7.Сходится ли последовательность fAng L(L1[0; 2]);

11.8.O Доказать,( что) последовательность операторов

(Anx)(t) = x t в пространстве C[0; 1] поточечно сходится к единичному оператору, но не сходится равномерно.

11.9. При каких последовательность функционалов ffng 2 (C[0; 1]) ,

∫ 1

fn(x) = n tnx(t) dt

0

сходится равномерно? При каких последовательность ffng сходится поточечно?

11.10. Выяснить характер сходимости последовательности

функционалов ffng:

∫

123

11.11.Пусть X – одно из пространств ℓp (1 6 p 6 1); c; c0.

Вкаких пространствах последовательность ffng X сходится равномерно, в каких – поточечно, если

a) fn(x) = n; б) fn(x) = ∑n k ?

k=1 k

Тема 12. Линейные непрерывные функционалы

Теорема 12.1 (Хан – Банах. Продолжение линейного непрерывного функционала с сохранением нормы).

Пусть X; – линейное нормированное пространство над полем R, X0 – линейное многообразие в X и f0 – линейный непрерывный функционал на X0; . Тогда f0 может быть продолжен до некоторого линейного непрерывного функционала f на X с сохранением нормы, т. е. так, что

f0 X0 = f X :

Теорема 12.2 (геометрический смысл нормы линейного функционала). Пусть X – нормированное пространство. Если f 2 X ; f ≠ 0; то

Определение 12.1. Пусть X – линейное нормированное пространство, f 2 X ; c 2 P. Гиперплоскостью в X называется

множество

f 1(c) = fx 2 X : f(x) = cg:

Геометрическая интерпретация теоремы Хана – Банаха. Уравнение f0(x) = 1 задает в пространстве X0; гиперплоскость L0, которая является плоскостью в X; и лежит на расстоянии 1= f0 от нуля. Продолжая функционал f0 без увеличения нормы на все пространство X; , мы получаем функционал f 2 X , порождающий гиперплоскость L = f 1(1) в X. При этом L содержит в себе L0 и тоже лежит на расстоянии 1= f0 от нуля в X.

щие утверждения.

125

Для любого f 2 X существует единственный элемент φ = f kg 2 Y такой, что для всех x = f kg 2 X

∑1

f = φ Lq[a;b].

Кратко теоремы 12.3 и 12.4 можно сформулировать так:

3 (c ) ℓ ;

0 = 1

3c ℓ ;

=1

странств, т. е. существование линейной биекции между этими пространствами, сохраняющей нормы.

126

Теорема 12.5. Пусть H – гильбертово пространство. Для любого f 2 H существует единственный элемент φ 2 H такой, что

f 2 H по формуле (12:3). В обоих случаях f = φ H .

Изоморфизм между H и H будет сопряженно линейным, т. е. ( x + y ) = (x ) + (y ):

Определение 12.2. Пусть X – линейное нормированное пространство, fxng X, x 2 X. Последовательность элементов fxng называется

3сильно сходящейся к x, если она сходится к x по норме;

3слабо сходящейся к x, если для любого f 2 X числовая последовательность ff(xn)g сходится к f(x).

Определение 12.3. Пусть X – линейное нормированное пространство, ffng X , f 2 X , X = (X ) – второе сопряженное к X.

Последовательность функционалов ffng называется

3сильно сходящейся к f, если она сходится к f по норме;

3слабо сходящейся к f, если она сходится к f поточечно;

3слабо сходящейся к f, если для любого F 2 X числовая последовательность fF(fn)g сходится к F(f).

Определение 12.4. Пусть X – линейное нормированное пространство, f – линейный функционал, f : D(f) X ! P: Коразмерностью ядра f 1(0) функционала f (codim Ker f) называется размерность алгебраического дополнения в X ядра функционала.

127

Пример 12.1. Пусть X = R2; x = ( 1; 2) 2 X;

f0(x) = 2 1. Найти функционал f; который является продолжением функционала f0 с X0 на X c сохранением нормы.

Решение. 1) Найдем норму искомого функционала

до начала координат выражается формулой (см. задачу 12.2)

Любой элемент x = ( 1; 2) 2 X можно представить в виде

x = 1e1 + 2e2:

Тогда любой линейный функционал, определенный на X; имеет вид

f(x) = 1f(e1) + 2f(e2) = 1 1 + 2 2:

Таким образом, чтобы найти f, надо найти 1 и 2: Согласно (12.4), гиперплоскость f 1(1) задается уравнением1 1 + 2 2 = 1. Следовательно, чтобы определить 1 и 2, достаточно построить гиперплоскость, обладающую свойством (12.5) и содержащую X0.

128

3) Справедливо следующее включение:

()

мую. Если прямая, проходящая через точку x0, пересекает

можем выписать из геометрических соображений. Оно имеет

f0(x) = 2. Найти функционал f; который является продолжением функционала f0 с X0 на X c сохранением нормы.

129

Решение. Найдем норму искомого функционала

т. е. точку x0 = ( 10; 20) 2 X0 со свойством f0(x0) = 1. Имеем

В пространстве с заданной нормой через точку x0 = (0; 1) можно провести много прямых, не пересекающих шар B(0; 3). Поэтому продолжение функционала f0 в данном случае не единственно. Из геометрических соображений выводим, что