posobie-fa-2015

1

1

D(A 1) = {y 2 ℓ1 : k=1 j kj

< 1},

2k 1

1

∑

A

1y = ( 1; : : : ;

1

; : : :), A

1 разрывен;

k

необратим, если P = C.

14.6. а)

Обратим, D(A

1

{y 2 C[0; 1]:

lim

y(t)

},

) =

9 t!+0

pt

(A 1y)(t) = 8

y(t)

p

;

t 2 (0; 1];

t

y(t)

>

lim

t = 0;

>

;

<

pt

1

> t!+0

>

A разрывен,

:

y(t)

б)

обратим, D(A

1) = {y 2 L1[0; 1]:

p

2 L1[0; 1]},

t

y(t)

(A 1y)(t) =

p

, A

1 разрывен.

t

14.7. Обратим, D(A 1) = C[0; 1],

2

1

(A 1y)(t) = y(t)

∫0

es+ty(s) ds,

e2 + 1

A 1 непрерывен.

14.8. Обратим, D(A 1) = C1[a; b],

(A 1y)(t) =

y(t)

,

t2 + 1

14.9. Если P = R, то обратим,

D(A 1) = L1[a; b],

(A 1y)(t) = 3

,1

A 1 непрерывен.

y(t)

14.10. Обратим,

√

) = ℓ1,

A

1

y = y,

A

1

разрывен.

D(A

1

1

n

1

14.11. Обратим,

D(A

) = ℓ1,

A

y = {

}n=1,

n

Тема 15

15.1.

(A) = d(A) = f1; 1 + i; 1

ig,

RA( )y =

(1 ) 1 + 2

(1 ) 2

1

3

4

= (

;

;

;

; : : :).

(1 )2 + 1

(1 )2 + 1

1

1

1

1

15.2.

(A) = {

} [ f0g, d(A) = {

} ; c = (A) = f0g;

n

n

RA( )y = {

}.

n

1=n

15.3.

(A) = B[0; 1];

если 1 6 p < 1, то d(A) = B(0; 1),

c(A) = S[0; 1];

если p = 1, то d(A) = B[0; 1];

1

k+n

1

1

RA( )y = {

∑

}n=1.

k=1

k

15.4.

(A) = B[0; 1];

если 1 < p < 1, то r(A) = B(0; 1),

c(A) = S[0; 1];

192

1

1

t

(RA( )y)(t) =

y(t)

∫1

e(t s)= y(s) ds.

2

{

i

}

15.10. (A) = d(A) =

0;

p

12

; p

,

( )y (t) =

1

1

(RA 1

)

y(t) + ( 2)

3] y(s) ds.

∫0

[(t + 2

) s t (2 + )

15.11. (A) = d(A) = f0; 1g,

(RA( )y)(t) =

1

1

t

t

y(t) +

y(0) +

y(1).

(1

)2

(1 )

15.12. (A) = d(A) = N,

RA( )y = {

n

}.

n

15.13. (A) = c(A) = [1; 1),

1

1

(RA( )y)(t) = (p

)

y(t).

t

193

2 ki

в) (A) = d(A) =

: k 2 Z ,

a b

(RA( )y)(t) = ∫at e (t s)y(s) ds +

b

+

∫a

e (b s)y(s) ds.

e a e b

15.15. а) (A) = d(A) = f

k2 : k 2 Ng;

б) (A) = d(A) = f

k2 : k 2 Ng [ f0g;

в) (A) = d(A) = f

4k2 : k 2 Ng [ f0g;

г) (A) = .

16.1. а), б), в), г) Да.

16.2. Нет. 16.3. Да. 16.4. Нет.

16.5. Да.

16.6. Нет.

16.7. Да.

16.9. Нет.

16.10. Да.

16.12. Нет. 16.13. k

0.

!k

!1

16.21. Нет; нет.

16.22. Да; да. 16.23. Да; нет.

16.24. Добавлена задача, ответов нет

Тема 17

2

2

3

17.1. x(t) =

t2

+

t + t2

+ t, ̸=

,

3

2

3 + 2

2

(A) = {0;

2

;

2

}.

3

3

6

2

4

p

17.2. x(t) =

+ t,

3i,

t

̸= 2

12 + 2

12 + 2

(A) = {0;

2pi

;

2pi

}.

2

2

12

3

3

17.3. x(t) =

sin 2t +

2t при ̸=

;

,

3

4

4

2

x(t) =

2 sin 2t

3

C cos 2t +

2t при =

3

,

2

2

(A) = {0;

4

;

2

}.

3

3

2

2t

1

17.4. x(t) =

cos t + (1

) при ̸=

,

6(1 + 2 )

2

2

2

2t

1

x(t) = (

C

) cos t + (1

) при =

,

8

24

2

(A) = f0; 2; 2g.

17.5. x(t) =

3

sin t + cos 2t при ̸=

3

;

3

,

2(3 + 2 )

2

4

x(t) =

3

( sin t + C cos t) + cos 2t при =

3

,

4

4

(A) = {0;

2

;

4

}.

3

3

17.6.

x(t) =

4

( sin t + cos t),

̸=

i,

4 + 2 2

2

2

2

(A) = {0;

i;

i}.

17.7.

x(t) = sin t + cos t,

(A) = f0g.

17.8.

2

sin2 t + 2t

, (A) = {0;

}.

x(t) =

1

4

17.10. а) x(t):t

t

2;

б) x(t) = t.

17.11. x(t) = 5et3=3

3.

17.12. а) x(t) = sin t;

б)

x(t) = cos t

t

sin t.

2

17.13. x(t) = e2t +

1

e 2t

1

et.

3

3

17.14. x(t) =

1

e3t +

2

sin t

1

cos t.

5

5

5

17.15. x(t) = (1 + t2)e t.

17.16. x(t) = ch p

t.

17.17. x(t) = e t sin t + e t(2 + cos t) ln

3

.

2 + cos t

17.19. x(t) = e 2t

+

e

1

e

2

t при j j < e 2.

1

e2

17.20. x(t) = t2 +

+

(2t

1)

при j j < 1.

3(1

)

2(3

)

2p

17.21. x(t) = sin

t

+

2

sin t при j j <

2

.

2

3

1

=2

19.1.

a) (t);

б) 2 (t);

в) φ; ′(t

t0) =

φ′(t0);

г) sign t;

1

д) P

;

е) (t)

(t) sin t;

ж) et (t);

t

(t + 1)

1;

t > 0;

з) (t) + {et;

t < 0:

19.2.

а) 2et (

t)

2 (t) + ′′(t);

б) 6 sign(t

1) + 12 (t

1) + 6 ′(t

1);

в) 4 (t)

sign t(3 sin t + t cos t);

г) 2( ′(t

2) ′(t + 2)) + 4( (t

2) + (t + 2)).

19.3.

а) φ; (m)(t) = (

1)mφ(m)(0);

б) jtj(m) = 2 (m 2)(t) (m > 2);