posobie-fa-2015

8.9.Доказать, что пространство Hc (см. задачу 16.8) несепарабельно.

8.10.Показать, что в нормированных пространствах c0; c; C[a; b]; ℓnp ; ℓp; Lp[a; b]; Lp(R) при 1 6 p 6 1, p ≠ 2, нельзя ввести скалярное произведение, согласующееся

с нормами этих пространств.

8.11.Доказать, что следующие линейные пространства над полем P являются евклидовыми, но не гильбертовыми:

k=1

91

f1

в) W2 [a; b] – пространство непрерывно дифференцируемых на [a; b] функций со скалярным произведением

∫ b ( )

(x; y) = x(t) y(t) + x′(t) y′(t) dt:

a

8.12.Пусть X – евклидово пространство, x; y 2 X. Доказать, что

+ Пусть X – евклидово пространство, M; N X. Доказать утверждения 16.17–16.21. убрать 16.23, 16.24.

8.13.M? – подпространство в X.

8.14.Если M N, то M? N?.

8.15.M M?? и M? = M???.

8.16.M? = M ?.

8.17.Пусть M = X. Тогда из условия x ? M следует, что x = 0.

8.18.Пусть X – гильбертово пространство, M X: До-

казать, что M = X тогда и только тогда, когда

M? = f0g.

92

8.19. O Пусть X – неполное евклидово пространство. Показать, что из равенства M = X, вообще говоря, не следует, что M? = f0g.

8.20. O Всякое неполное евклидово пространство X содержит замкнутое подпространство X0 такое, что X0 ≠ X и X0? = f0g.

8.21.Пусть X – гильбертово пространство, M X. Тогда

M?? = M .

8.22.O Привести пример евклидова пространства X и множества M X, для которого M?? ≠ M .

8.23.Пусть M и N – подпространства в гильбертовом пространстве X, M ? N. Доказать, что M + N – подпространство в X.

8.24.В пространстве ℓ2 рассмотрим подпространства

{ }

M = x = f kg 2 ℓ2 : x = ( 1; 0; 3; 0; 5; 0; : : :) ;

{ ( )}

3 5

N = x = f kg 2 ℓ2 : x = 1; 1; 3; 3 ; 5; 5 ; : : : :

Показать, что M + N = ℓ2, но M + N ≠ ℓ2, т. е. множество M + N не является подпространством в ℓ2.

8.25.В пространстве L2[0; 1] найти M?, если M – множество а) многочленов от t;

8.28.Пусть H0 – подпространство в гильбертовом простран-

стве H, x 2 H и x = y+z, где y 2 H0, z 2 H0?. Доказать, что

(x; H0) = (x; y) = z ;(x; H0?) = (x; z) = y :

8.29.Пусть H0 – одномерное подпространство в гильбертовом пространстве H, x0 2 H0; x0 ≠ 0. Доказать, что для любого x 2 H

(x; H0?) = j(x; x0)j:

94

8.30.В пространстве L2[0; 1] найти (x; H1), если x(t) = t2,

{ ∫ 1 }

H1 = x 2 L2[0; 1]: x(t) dt = 0 :

0

8.31.В пространстве ℓ2 найти (x; H1), если x = (1; 0; 0; : : :),

8.33.В пространстве L2[ 1; 1] построить ортогональную проекцию элемента x 2 L2[ 1; 1] на подпространство четных функций.

8.34.Для x 2 L2[ 1; 1] найти многочлен наилучшего приближения p 2 Pn; n = 0; 1; 2; если

а) x(t) = et; б) x(t) = t3.

8.35. O Построить пример евклидова пространства X, линейного многообразия L X и элемента x 2 X, для которых не существует ортогональной проекции x на L.

95

8.36.Доказать, что в сепарабельном евклидовом пространстве всегда существует ортонормированный базис.

8.37.Доказать, что во всяком гильбертовом пространстве существует ортонормированный базис.

8.38.Найти ортонормированный базис в пространстве Hc (см. задачу 16.8 «д»).

+ Доказать утверждения 8.39–8.45.

8.39.Система функций

является ортонормированным базисом в пространстве L2[ ; ], если P = R.

8.40.Система функций fcos ntg1n=0 является ортогональным

базисом в пространстве L2[0; ] над R. Замыкание в L2[ ; ] множества fcos ntg1n=0 есть множество четных функций в L2[ ; ].

8.41.Система функций fsin ntg1n=1 является ортогональным

8.42.В пространстве L2[a; b] над полем P = R есть ортонормированные базисы, состоящие из

а) алгебраических многочленов; б) ступенчатых функций;

в) тригонометрических многочленов;

г) функций, лежащих в заданном плотном линейном многообразии.

96

{}

8.43.Система функций e2 int n2Z является ортонормированным базисом в пространстве L2[0; 1] над C.

8.45.На отрезке [0; 1] рассмотрим систему функций Радема-

а) M = ft2k 1gk2N ; б) M = ft2k 2gk2N .

8.47.Показать, что система многочленов Лежандра

получающаяся при ортогонализации системы функций 1; t; t2; : : : в пространстве L2[ 1; 1], является ортогональным базисом в пространстве L2[ 1; 1].

8.48.В пространстве L2[ 1; 1] найти M?; если

M = fcos t; tg:

8.49.В линейном пространстве функций, измеримых по Лебегу на R и таких, что интеграл

∫+1

e t2 jx(t)j2dt

97

конечен, положим

∫ +1

Полученное пространство L2;q(R) будет гильбертовым с весом q(t) = e t2 . Ортогонализация системы функций 1; t; t2; : : : в пространстве L2;q(R) с весом q(t) дает систему многочленов Чебышева – Эрмита, полную в L2;q(R). Найти первые три многочлена этой системы.

8.50.В линейном пространстве функций, измеримых по Лебегу на [0; +1) и таких, что интеграл

∫+1

e tjx(t)j dt

0

конечен, положим

∫ +1

(x; y) = e tx(t) y(t) dt:

0

Полученное пространство L2;p(0; +1) будет гильбертовым с весом p(t) = e t. Ортогонализация системы функций 1; t; t2; : : : в пространстве L2;p(0; +1) с весом p(t) = e t дает систему многочленов Чебышева – Лагерра, полную в L2;p(0; +1). Найти первые три многочлена этой системы.

Тема 9. Функционалы и операторы в линейных нормированных пространствах

Пусть X; Y – линейные нормированные пространства над одним и тем же полем P. Отображение A, действующее из пространства X в пространство Y , называют оператором, а если Y = P, то A называют функционалом. Через D(A) будем обозначать область определения A и сокращенно писать A: D(A) X ! Y ; если D(A) = X, будем писать A: X ! Y .

Определение 9.1. Оператор (функционал) A называется

3 непрерывным в точке x0 2 D(A), если

8 " > 0 9 = (") > 0 8 x 2 D(A)

x x0 X < ) Ax Ax0 Y < ";

3непрерывным, если он непрерывен в каждой точке D(A);

3ограниченным, если A переводит каждое ограниченное множество из D(A) в ограниченное;

3линейным, если D(A) – линейное многообразие и для любых x1; x2 2 D(A) и 1; 2 2 P

A( 1x1 + 2x2) = 1Ax1 + 2Ax2:

Теорема 9.1. Оператор (функционал) A непрерывнен в точке x0 2 D(A) тогда и только тогда, когда для любой последовательности fxng D(A)

99

Теорема 9.2. Для линейного оператора A следующие условия эквивалентны:

(1)A непрерывен;

(2)A непрерывен в точке x = 0;

(3)A ограничен;

(4)существует K > 0 такое, что Ax 6 K x для всех x 2 D(A).

Теорема 9.3 (Неравенство Гельдера). Пусть p; q 2

(1; 1) являются сопряженными показателями, т. е. связаны соотношением p1 + 1q = 1: Тогда для любых функций f 2 Lp(E),

g 2 Lq(E) их произведение fg суммируемо (fg 2 L(E)) и имеет место неравенство Гельдера

Неравенство Гельдера обращается в равенство тогда и только тогда, когда функции f и g удовлетворяют хотя бы одному из следующих двух условий:

( ′) существует константа C1 такая, что

f = C1jgjq 1 sign g п. в. на E ;

( ′′) существует константа C2 такая, что

g = C2jfjp 1 sign f п. в. на E .

Множество линейных непрерывных операторов, определенных на X со значениями в Y; будем обозначать L(X; Y ). Если Y = X, то будем кратко писать L(X) вместо L(X; X). Отметим, что L(X; Y ) есть линейное пространство над P. Пространство L(X; P) линейных непрерывных функционалов на X называется сопряженным к пространству X и обозначается X .

100