posobie-fa-2015

3.10.Замыкание нигде не плотного в X множества нигде не плотно.

3.11.Привести пример метрического пространства X и множества в нем, которое не является нигде не плотным в X и не является всюду плотным в X:

+ Доказать утверждения 11.9–3.19.

3.12. O Метрическое пространство несепарабельно тогда и только тогда, когда в нем существует более чем счетное множество попарно непересекающихся шаров некоторого радиуса r > 0.

3.14.Пространство ℓ1 несепарабельно.

3.15.Пространство s сепарабельно.

3.16.Мощность сепарабельного метрического пространства не может быть больше, чем континуум.

3.17.Конечномерное нормированное пространство сепарабельно.

3.18.Пусть L – замкнутое линейное подмножество в нормированном пространстве X, L ≠ X: Тогда L нигде не плотно в X:

3.19.Пусть метрические пространства X и Y гомеоморфны. Тогда если одно из них сепарабельно, то сепарабельно и другое.

41

Тема 4. Полные метрические и нормированные пространства, пополнения

Определение 4.1. Последовательность fxng элементов метрического (нормированного) пространства X называется

фундаментальной, если

8 " > 0 9 N(") 8 n; m > N(") (xn; xm) < ":

Определение 4.2. Метрическое (нормированное) пространство X называется полным, если в нем любая фундаментальная последовательность сходится. Полное метрическое пространство называют также пространством Фреше, полное нормированное пространство – банаховым пространством.

Определение 4.3. Метрические пространства X и Y на-

зываются изометричными (X Y ), если существует биекция

=

f : X ! Y такая, что

8 x1; x2 2 X Y (f(x1); f(x2)) = X (x1; x2):

Нормированные пространства X и Y называются линейно

изометричными (X Y ), если существует линейная биекция

=

f : X ! Y такая, что

Для любого нормированного пространства X; X существуют полное нормированное пространство Y; Y и ли-

и Y1 = Y:

42

Определение 4.4. Полное метрическое (нормированное) пространство Y из теоремы 4.1 называется пополнением метрического (нормированного) пространства X:

Пример 4.1. Пусть X = (0; 2 ) : Проверить, что

(x; y) = j ctg 2x ctg 2yj

есть метрика на X: Доказать, что X; – полное метрическое пространство.

Решение. Метрика порождается убывающей функцией f(t) = ctg 2t: Следовательно, f – биекция (0; 2 ) на R; а значит,

(x; y) = 0 тогда и только тогда, когда x = y: Справедливость двух других аксиом метрики очевидна. Итак, X; – метрическое пространство.

Полагая f(x) = u; f(y) = v, получаем

(x; y) = jf(x) f(y)j = ju vj = j j(u; v) = j j(f(x); f(y)):

Так как f – биекция X на R и (x; y) = j j(f(x); f(y)); то метрические пространства X; и R; j j изометричны. Про-

странство R; j j полное, значит, X; – полное метрическое

является неполным метрическим пространством. Найти его пополнение.

Решение. Первая аксиома метрики верна, так как метрика порождается функцией f(t) = t sgn (t 1); которая является биекцией множества X на множество M = ( 1; 0] [(1; +1): Справедливость двух других аксиом метрики очевидна.

43

Полагая f(x) = u; f(y) = v; получаем

(x; y) = jf(x) f(y)j = ju vj = j j(u; v) = j j(f(x); f(y)):

Так как f – биекция X на M и (x; y) = j j(f(x); f(y)); то метрические пространства X; и M; j j изометричны. Про-

странство X; полно тогда и только тогда, когда M; j j – полное метрическое пространство (см. задачу 4.6).

Так как M R; метрическое пространство R; j j полное, а M не является замкнутым множеством в этом про-

M; j j = [ 1; 0] [ [1; +1); j j (см. задачу 4.5). Следовательно, X; не является полным метрическим пространством, а

Пример 4.3. Описать пополнение множества функций, непрерывно дифференцируемых на отрезке [0; 1]; относительно нормы

Докажем, что пространство X; X не является полным, аY; X – полное нормированное пространство и является пополнением пространства X; X :

то fxng – фундаментальная последовательность в банаховом пространстве C[0; 1]: Следовательно,

то fxng – фундаментальная последовательность в банаховом

Итак, фундаментальная в пространстве Y; X последовательность fxng сходится по X к элементу x 2 Y: Полнота пространства Y; X доказана.

Докажем, что Y; X – пополнение пространстваX; X относительно нормы X : Для этого нужно показать, что замыкание X по X есть Y:

:

здесь cn – некоторая отличная от нуля величина, которая будет специальным образом выбрана ниже. Функции yn непрерывно

4.6.Если X и Y – изометричные метрические пространства и одно из них полно, то полно и другое.

4.7.Пусть линейные нормированные пространства X и Y линейно гомеоморфны. Тогда, если одно из них является полным (сепарабельным), то и другое является полным (сепарабельным).

4.8.Нормированные пространства ℓnp ; c0; c; ℓp (1 6 p 6 1); C[a; b]; Ck[a; b]; Lp[a; b] (1 6 p < 1) полны.

4.9.Метрическое пространство s является полным.

4.10.Конечномерное нормированное пространство полно.

e

4.11. Показать, что пространство L1[a; b] неполно. Найти его пополнение.

4.12. На множестве X финитных числовых последовательностей заданы нормы

Показать, что пространства X; 1 и X; 2 не являются полными. Найти их пополнения.

4.13. В цепочках пространств из задач 10.4, 10.8 найти пополнение предыдущего по норме последующего. Например, для пары ℓ1 ℓp нужно найти пополнение

пространства X = fx = f kg : ∑1k=1 j kj < 1g по нор-

∑1 p 1=p

ме x p = ( k=1 j kj ) .

4.14.Описать пополнение пространства вещественных алгебраических многочленов от переменной t, снабженного нормой

а) p = max jp(t)j;

t2[a;b]

б) p = max jp(t)j + max jp′(t)j;

t2[a;b] t2[a;b]

48

4.15.Рассмотрим линейные пространства функций, определенных на вещественной прямой R:

а) C(R) – все ограниченные непрерывные функции;

б) C0(R) – все непрерывные функции, у которых

lim x(t) = 0;

t!1

в) C1(R) – все финитные непрерывные функции (т. е. функции, равные нулю вне некоторого конечного интервала).

В этих пространствах введем норму

x = sup jx(t)j:

t2R

Будут ли эти пространства полными? Будут ли они сепарабельными?

4.16.На множестве натуральных чисел положим

Доказать, что N; – полное метрическое пространство. Построить последовательность замкнутых вложенных шаров, имеющих пустое пересечение.

49

4.17.Доказать, что в полном линейном нормированном пространстве любая последовательность замкнутых вложенных шаров имеет непустое пересечение.

ж) X = N; f(n) = n1 :

Будут ли эквивалентны метрики для пар: «а» и «б»; «в» и «г»; «д» и «е»?

4.20. O Доказать, что метрическое пространство N; , где(m; n) = jein eimj, не является полным. Найти его пополнение.

4.21.На множестве X заданы две эквивалентные метрики. Сохраняются ли свойства полноты и сепарабельности при переходе к эквивалентной метрике?

50