Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Южно-Уральский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

posobie-fa-2015

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.03.2016

Размер:

573.03 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 2019 20 > Следующая >>>

в)	во всех не предкомпактно;
г)	во всех компактно;
д)	предкомпактно, не компактно;
е)	предкомпактно; компактно () b a > 2 ;
ж), з) во всех предкомпактно, но не компактно;
и)	в C[0; 1] не предкомпактно;
	в Lp[0; 1] предкомпактно, но не компактно;
к)	в Lp при 1 6 p <	3	предкомпактно, но не компактно,

	2

востальных не предкомпактно.

6.21.а)–г) Предкомпактны, но не компактны;

	д) не предкомпактно; е), ж) компактно.
6.23.	а), б) Нет;	в) да. 6.24. а) Нет; б) да.
6.25. Компактно в c0; c; ℓp; p > 3.
6.30.	Не всегда.	6.31. Не всегда.

Тема 7

15.1.Может быть невыпуклым.

15.3.Да, если x0 2 L; нет, если x0 ̸2L:

15.4.Может быть незамкнутой.

15.6.Нет, если X ≠ f0g.

15.8.Все финитные последовательности.

15.9.	a), г) Нет; б), в), д), е) да.
15.10.	a) Да; б) не всегда.
15.13.	а), г), д), з), и) Нет; б), в), е), ж) да.

181

15.14. а) Да при p = 1; нет при p = 2; p = 1; б), в) да; г), д), ж) нет;

е) да, если c = 0; нет, если c ≠ 0:

7.20.а), д) Ближайших точек бесконечно много; б) не достигается;

в), г) существует единственная ближайшая точка.

15.20. Не всегда.

Тема 8

8.25.а)–г) M? = f0g;

	д) {x 2 L2[0; 1]: x(t) = 0 п. в. на [2; 1]};
	1
	е) {x 2 L2[0; 1]: x(t) const}.
8.26.	а) {x 2 C[ 1; 1]: x(t) = 0; t 2 [0; 1]}; б) M? = f0g:
8.27.	а) M = x0 ; где x0 = (1; 1; : : : ; 1; 0; 0; : : :);

	б) M? = a; b , a = (1;\|2; 4	{z; 0; 0}; : : :);
	10

b = (0; 1; 3; 0; 1; 0; : : :);

в), г) M? = f0g:

8.30.1: 8.31. p1 .

3 10

8.32. a) PrL x0 = x0				1		(1; 0; 3; 0; 1; 0; 0; : : :);
8.32. a) PrL x0 = x0		55				(1; 0; 3; 0; 1; 0; 0; : : :);
		55				(x0; L?) = √

		1					2	1
(x0; L) =	5p				;				:
							6	275
			11				6	275
182

б)	PrL x0 = (	22	;	1	;	8		;	1	;	14	; 0; 0; : : :) ;

		45		8			45		8		45
													p
		2
						8611								8611
	(x0; L) = √								;		(x0; L?) =		60p			:
			6			21600
															6

8.33.12(x(t) + x( t)):

8.34.

p0(t) =

;

(t) =

(

15e

105

) t2;

p2(t) =

t +

б) p0(t) = 0; p1

(t) =

t; p2(t) =

8.38.

Семейство fe (t)g 2R, где e (t) = {

t = ;

t ̸= :

8.46.а) Множество четных функций; б) множество нечетных функций.

8.48.fcos ntgn=0;2;3;::: [ fp2n+1(t)gn2N ; здесь p2n+1– многочлены Лежандра.

(t2

8.49.

(t) =

; p1(t) =

p2(t) =

8.50.

(t) = 1; p1(t) = t

1; p2

(t) =

(t2

4t + 2).

Тема 9

9.1.a), б) Нелинейный, ограниченный, непрерывный.

9.2.a) Нелинейный, ограниченный, непрерывный; б) нелинейный, неограниченный, разрывный.

9.3.а) Линейный, ограниченный, непрерывный; б), в) линейный, неограниченный, разрывный.

9.4.Линейный, ограниченный, непрерывный.

9.5.Линейный, неограниченный, разрывный.

9.6.Нелинейный, неограниченный, разрывный.

9.7.Нелинейный, ограниченный, непрерывный.

9.8.а) Нелинейный, ограниченный, непрерывный; б) нелинейный, неограниченный, разрывный.

9.9.а) Линейный, ограниченный, непрерывный; б), в) линейный, неограниченный, разрывный.

9.11.Непрерывен () f kg 2 m.

9.12.а) Линейный, ограниченный, непрерывный; б) линейный, неограниченный, разрывный.

9.13.а) Нелинейный, ограниченный, непрерывный; б) нелинейный, неограниченный, разрывный.

9.14.а), б) Нелинейный, ограниченный, непрерывный.

9.15.б) Нелинейный, ограниченный, непрерывный.

9.16.а), б) Нелинейный, ограниченный, непрерывный.

9.17.а), б) Нелинейный, ограниченный, непрерывный; в) нелинейный, неограниченный, разрывный.

9.18.Нелинейный, ограниченный, разрывный.

9.19.Линейный, неограниченный, разрывный.

9.20.а), б) Нелинейный, ограниченный, непрерывный.

9.21.а), б) Нелинейный, ограниченный, непрерывный.

9.22.а) Нелинейный, при > 1 ограниченный, непрерывный;

при 0 < < 1 неограниченный, разрывный; б) нелинейный, ограниченный, непрерывный.

184

9.23.Линейный, неограниченный, разрывный.

9.24.Нелинейный, ограниченный, непрерывный.

9.25.а) Линейный, неограниченный, разрывный; б) линейный, ограниченный, непрерывный.

Тема 10

				81									p
				81									p
10.1.	a) f =						;	б) f = 6								3.
10.1.	a) f =				4		;	б) f = 6								3.
				49									p
				49									p
10.2.	а) f =						;	б) f = 6								3.
10.2.	а) f =				2		;	б) f = 6								3.
											3p
				1							3p			3
10.3.	а) f =					;		б) f =									;
10.3.	а) f =			4		;		б) f =			16						;	))		;		p + q = 1.
	в) f = (2 B (								2	; 2								))	1=q	;		p + q = 1.
					1				3q + 1			q + 1									1				1
10.4.	а) f =			3		, недостижима;												б) f = 2, достижима.

				2
10.5.	а) f = 1, достижима;												б) f = 2, достижима.
10.6.	f = j j + j j.
10.7.	а) f = 1, недостижима;																б) f = 1, достижима.
				2							1														2
10.8.	а) f =					;		б) f = p						;				в) f =								.
				3																				52=3
				3									2											52=3
	3		< p 6 1;					f = (			6				)			1=q		1	1
10.9.	3										6									1	1				= 1.
																		;			+
		2								3			q					;		p	+		q
10.10. а) A =					7		;	б) A = 4;										в) A = 3.

					2
10.11. а) A =					3		;	б) A = 2;										в) A = 1.

					2
10.12. а) A = 1;								б) A = 2.

185

10.14. A = 1.

10.15. A = 1.

10.13. A =

1 + p

10.16. а) A = 2;

б) A =

;

в) A = 2.

10.17. а) A = e;

б) A = 4.

10.19. A = sup j nj.

10.18. A =

10.20. а) J = 1;

б) J = (b

a)1=p

1=q;

в) J = 1.

10.21. а) A = φ C[a;b];

б) A = φ L2[a;b];

в) A = φ L1[a;b]

= 3 maxfj sin tj : t 2 [a; b]g.

10.22. а) A = 1;

б) A = 4;

в) A =

10.23.A = 1.

10.24.а) > 0, A = 1; б) 0 < 6 1, A = p1 .

10.25.0 < 6 2 + 1; A = p1 .

10.29. K(t; 1)x(1) K(t; 0)x(0)	∫0	1 x(s)Ks′ (t; s) ds:
Тема 11

11.2.Не сходится поточечно; не сходится равномерно.

11.3.а), б) Сходится поточечно, не сходится равномерно; в) не сходится поточечно; не сходится равномерно.

11.4.а) Сходится поточечно и равномерно, если 2 c0; если ̸2c0; сходится поточечно, но не равномер-

но в ℓp; 1 6 p < 1, и не сходится в ℓ1:

б) сходится поточечно и равномерно, если 2 c0;

186

не сходится, если ̸2c0;

в) сходится поточечно при любых , сходится равномерно при 2 c0.

11.7.Не сходится равномерно; сходится поточечно.

11.9.При < 1 сходится поточечно и равномерно; при = 1 сходится поточечно, не сходится равномерно.

11.10.а), б), д) Сходится поточечно, не сходится равномерно; в), г) сходится поточечно и равномерно.

11.11.а) Сходится поточечно, не сходится равномерно в ℓp

(1 6 p < 1);

c0;

не сходится в ℓ1;

б)

сходится поточечно и равномерно в ℓp (1 6 p < 1);

не сходится в ℓ1;

c0:

Тема 12

12.1.

Пусть e1; e2 – базис в X; 1 = f(e1); 2 = f(e2);

a) f

;

= √ a1

б)

;

{

}

в)

;

= max

;

г)

;

д) f =

1 + 3 1 + 2 ;

1 + 2

е) f

= √

12.3.

1) f(x) =

2) a) f(x) =

1 +

187

		б) f(x) = 1 + (1 ) 2; j j 6 1:
	3) а) f(x) = 9 1															9 2
		б) f(x) = (9 + ) 1																2 2; 2 [ 15; 9]
12.8.	a)			7 ln 2							1			в C[0; 3], достижимо;
12.8.	a)							3						в C[0; 3], достижимо;
								3
		7 ln 2									1 в L1[0; 3]; достижимо;
	б)	179								2	в C[0; 3], недостижимо;

		5								9
		179								1	в L1[0; 3], недостижимо.

		5								3
			p
							3				1				sin 1				sin 1			2
							3				1				sin 1				sin 1			2		(			p3) ;
12.9.	а)							;		б)							;	в)		;	г)	p				+ 1
		5													2				2						3
		5													2				2				3		3
	д)				1	;			е)			8	:
	д)	2				;			е)		7		:
		2									7

12.10.В ℓ1 не сходится сильно, не сходится слабо;

вc0; ℓp (1 < p < 1) сильно не сходится, слабо сходится.

12.11.При a 2 (0; 1) сходится сильно и слабо;

при a > 1 сильно не сходится, слабо не сходится.

12.12. Сходится слабо в L2[0; ], не сходится слабо в C[0; ]:

12.14. a)	Не сходится сильно, сходится слабо и слабо;
б)	в c0 не сходится сильно и слабо, сходится слабо;
	в ℓp не сходится сильно, сходится слабо и слабо;
в)	сходится сильно, слабо и слабо.

12.15. Из сильной сходимости следует слабая, а из слабой –слабая.

Тема 13

13.1. A : R2 ! ℓ2, A y = ( 1; 1; 3 2; 0; 2; 0; 0; : : :). 188

13.2.	A : ℓ2 ! ℓ2, A y = (0; 1; 0; 2; 0; 3; 0; 0; : : :).
13.3.	A : L2[ 1; 0] ! L2			[0; 1], (A			y)(t) = ∫ 01 es ty(s) ds.
13.4.	A ; B : ℓ2 ! ℓ2, A				= B, B		= A.
13.5.	A : ℓ2	! ℓ2, Ay = f				k kgk1=1, A самосопряженный, ес-

	ли k 2 R.
13.6.	A : ℓ2	! ℓ2,					3	4
	A y =	(4 2	1 + 6 3; 2; 2 1; 4 4;					5 5; : : :).
13.7.	A : L2[ 3; 3] ! L2			[ 3; 3],
	(A x) (t) = ∫		t3(4ts 5t2)y(s) ds.

13.8.A′ : ℓ1 ! ℓ2, Ay = y.

13.9.A′ : ℓ1 ! ℓ1, Ay = ( 1; 1; 2; 2; : : :).

13.10. A : L2[0; 1] ! L2[0; 1], (A y)(t) = e ity(t).

13.11. A′ : L5=4[0; 1] ! L3=2[0; 1],

(A′y)(t) = ∫t

1 st2y(s) ds.

13.12. A самосопряженный.

13.13.

A′ : ℓqm′ ! ℓpn′

(

= 1;

= 1),

p′

q′

∑

A′y = { k=1 akℓ k}ℓ=1, если p ̸= 2 или q ̸= 2;

∑

A y = { k=1

akℓ

}ℓ=1, если p = q = 2,

и A самосопряженный, если n = m,

= aℓk.

akℓ

13.14. а) A′ : ℓ4=3 ! ℓ1;

б) A′ : ℓ1 ! ℓ1, A′y = (0; : : : ; 0; n 1; n+1 2; : : :).

n{z1

}

189

13.15. A′ : ℓ3=2 ! ℓ2,			A′y = (0; 0; 0; 4; 5; : : :).							)
							∑ (			)
							3				5
13.16. а) A′ : ℓ5=4 ! ℓ3=2, A′y = { k=1								2ik + (2 + i)ℓ k}ℓ=1;
					∑ (				)
					3						5
б) A : ℓ23 ! ℓ25, A y = { k=1							2 ik + (2 i)ℓ k}ℓ=1.
13.17. A′ : L3=2[0; 1] ! L3=2[0; 1], (A′y)(t) = 2ty(t2).
13.18. A′ : L2[2; 3] ! L4=3[1; 2], (A′y)(t) = ∫2									3 cos( s)y(s) ds.
13.19. A : L2(R) ! L2(R),
1			i(t=3)y (	t	2		).
(A y)(t) =		e			+
(A y)(t) =	3	e		3	+	3

13.20. A′ : ℓ2 ! ℓ1, A′y = y.

Тема 14

14.1.A 1y = ( 2; 3; : : :); D(A 1) = fy 2 ℓ1 : y = (0; 1; 2; : : :)g,

A 1 непрерывен; B необратим.

14.2.Необратим.

	n	1
14.3. Обратим, если n ̸= 0 для всех n 2 N, A 1y = {		}n=1,
14.3. Обратим, если n ̸= 0 для всех n 2 N, A 1y = {	n	}n=1,

A 1 непрерывен тогда и только тогда, когда inf j nj > 0.

14.4.а) Необратим;

б)	D(A 1) = C[0; 1], (A 1y)(t) = ∫0t y(s) ds,
	A	1	непрерывен;
в)	D(A 1) = C[0; 1], (A 1y)(t) = y(1) + ∫0t y(s) ds,
	A	1	непрерывен;

190

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 2019 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.03.201640.96 Кб9Politologia_Tema_1_2.doc
#
16.03.2016829.44 Кб15polnaya_versia_1.doc
#
16.03.2016175.1 Кб10polozhenie_o_ballno-reytingovoy_sisteme.doc
#
18.09.201979.61 Кб1Ponyatie_i_priznaki_gosudarstva (1).docx
#
25.09.2019215.04 Кб3Ponyatie_MP.doc
#
16.03.2016573.03 Кб65posobie-fa-2015.pdf
#
22.11.2019932.86 Кб1Posobie_AiDFKhD_kursovoy.doc
#
25.11.20192.72 Mб16Posobie_KP_po_DM.doc
#
09.05.2015686.61 Кб221Posobie_po_anglyskomu_yazyku.pdf
#
08.05.2015714.75 Кб20Posobie_Volchenkovoy.doc
#
08.05.2015711.17 Кб16Posobie_Volchenkovoy.doc