posobie-fa-2015

Ясно, что для уравнения∫ Фредгольмаb оператор A задается равенством (Ax)(t) = K(t; s) x(s) ds; а для уравнения

a∫ t

Вольтерра – равенством (Ax)(t) = K(t; s) x(s) ds: Функция

a

K(t; s) называется ядром интегрального оператора A.

Если ядро K 2 L2([a; b]2), то A – компактный оператор в L2[a; b]. Если ядро K непрерывно по совокупности переменных, то A – компактный оператор в C[a; b].

Некоторые методы решения интегральных уравнений

1. Уравнения с вырожденным ядром

Ядро K(t; s) называется вырожденным, если оно предста-

вимо в виде

∑n

K(t; s) = Pℓ(t)Qℓ(s):

ℓ=1

Можно считать, что fPℓgnℓ=1 – линейно независимая система функций.

Уравнение (17.1) в этом случае можно записать следующим образом:

∫ b

Обозначим Qℓ(s)x(s) ds = qℓ. Тогда, если решение уравне-

a

ния (17.1) существует, оно имеет вид

Подставив это выражение для x в уравнение (17.1), получим для неизвестных коэффициентов fqℓgnℓ=1 систему линейных уравнений. Решение уравнения (17.1) сводится к решению системы n линейных уравнений. Этот метод решения называют «методом неопределенных коэффициентов».

161

2. Уравнения Вольтерра

Пусть P 2 C1[a; b] и P (t) ≠ 0; t 2 [a; b]; Q 2 C[a; b], тогда для уравнений Вольтерра вида

∫ t

x(t) = P (t) Q(s) x(s) ds + y(t)

a

в пространстве C[a; b] нахождение решения эквивалентно ре-

соответственно оператор E A всегда обратим и существуют такие число > 0 и номер N, что для всех n > N справедлива оценка nAn 6 n=n!. Следовательно, ряд (17.5) сходится и его сумма является решением уравнения (17.4).

Пример 17.1. Решить интегральное уравнение

∫ 1

x(t) (ts t2s2) x(s) ds = t2 + t4

1

и найти спектр соответствующего интегрального оператора в пространстве C[ 1; 1].

162

Решение. Ядро интегрального оператора

∫ 1

(Ax)(t) = (ts t2s2) x(s) ds

1

вырожденное, поэтому уравнение можно решать методом неопределенных коэффициентов. Вынесем функции, зависящие от t, за знак интеграла и запишем исходное уравнение в виде

Отсюда следует, что если решение уравнения (17.6) существует, то оно имеет вид

∫ ( ) )

t2 s2 (c1s c2s2) + s2(s2 + s4) ds + t2 + t4:

1

Приравняв коэффициенты при t и t2, получим два уравнения:

∫ 1 (

c1

1

c2 + ∫ 1 ( s2(c1s c2s2) + s2(s2 + s4)) ds = 0:

1

Вычислив интегралы, получим систему линейных уравнений для нахождения c1 и c2:

ется вполне непрерывным, так как его ядро непрерывно на [0; 1] [0; 1]. Из теоремы 16.3 следует, что (A) = d(A) [ f0g. Итак, надо найти собственные значения оператора A, т. е. решить уравнение Ax x = 0: Решив его методом неопреде-

методом нахождения решения в виде ряда (см. (17.5)). 164

Решение. Уравнение (17.8) содержит интегральный оператор, который задается формулой

∑

(17.8) является функция

∫ t

x(t) = et2+2t + 2 et2 s2 e2(t s)es2+2sds = et2+2t(1 + 2t): ,

0

165

Пример 17.3. В пространстве C[ 1; 1] решить интегральное уравнение

+ В задачах 17.1–17.8 найти решение интегрального уравнения Фредгольма с вырожденным ядром

∫ b

x(t) K(t; s) x(s) ds = y(t)

a

и спектр соответствующего интегрального оператора в пространстве C[a; b].

167

∫ b

(B1B2x)(t) = K(t; s) x(s) ds

a

c ядром

∫ b

K(t; s) = K1(t; )K2( ; s) d :

a

+ Решить интегральное уравнение Вольтерра

∫ t

x(t) = y(t) + K(t; s) x(s) ds

0

в пространстве C[0; b], решив соответствующее ему дифференциальное уравнение (задачи 17.10–17.14) при = 1 и методом нахождения решения в виде ряда (см. (17.5)) (задачи

17.15–17.18). 168

+ В задачах 17.19–17.21 решить интегральное уравнение Фредгольма

∫ b

x(t) K(t; s) x(s) ds = y(t)

a

методом нахождения решения в виде ряда (см. (17.5)).

Тема 18. Исследование некоторых операторов

Дополнительно к изложенному в предыдущих темах теоретическому материалу при решении задач могут оказаться полезными следующие факты.

Пусть H, H1 – гильбертовы пространства, A 2 L(H; H1). Тогда A 2 = A A .

Если A 2 L(H), A = A и A – компактный оператор, то

A = max j d(A)j.

18.1.Пусть P = R, A: L2k+1[0; 1] ! L1[0; 1], k 2 N;

(Ax)(t) = x2k+1(t):

Найти оператор A 1. Будут ли операторы A и A 1 непрерывными, ограниченными, равномерно непрерывными, компактными, вполне непрерывными?

18.2.Пусть fekg1k=1 – ортонормированная система в гиль-

бертовом пространстве H, k = (x; ek) для x 2 H,

Aj : H ! ℓ2; j = 1; 2; A1x = f kg1k=1, A2x = f kg1k=1,

18.3.Пусть A: D(A) ℓ1 ! ℓ1, D(A) = fx 2 ℓ1 : Ax 2 ℓ1g,

x = f kg, Ax = f k kg, k 2 C. Найти условия на последовательность f kg, при которых оператор A будет непрерывным, вполне непрерывным, замкнутым. Найти A , если A непрерывен, (A) и RA( ), если она существует.

170