Анализ и обработка результатов измерений

По заданию 1

1. Вычислите и занесите в табл. 4.1 значения l и коэффициента упругости. При вычислении k_ст (4.4) используйте значение g из прил. 2.

2. По результатам последнего столбца табл. 4.1 проведите статистическую обработку полученных значений коэффициента упругости, заполнив таблицу обработки результатов измерений (см. табл. 1 на с. 8)

По заданию 2

1. Вычислите и занесите в табл. 4.2 периоды колебаний, среднее значение периода T  из трёх измерений для каждой массы, а затем – квадрат этого значения.

2. Постройте график зависимости квадрата периода колебаний от массы груза, найдите по нему угловой коэффициент и вычислите коэффициент упругости k_дин, используя формулу (4.9).

Сформулируйте и запишите обобщающий вывод, в котором укажите, в частности, как зависит период колебаний от массы груза, сравните значения коэффициента упругости, полученные статическим (k_ст) и динамическим (k_дин) методами, оцените погрешность определения k_дин.

Контрольные вопросы

1. Каковы цели лабораторной работы и что нужно сделать для их достижения?

2. Назовите составные части лабораторной установки и их назначение.

3. Какие величины измеряются в данной работе непосредственно? Какие вычисляются?

4. Каковы единица измерения и размерность коэффициента упругости?

5. Найдите скорость колеблющегося тела и его ускорение. Будет ли движение тела равноускоренным? Как направлено ускорение относительно смещения?

6. Какая из величин, входящих в кинематическое уравнение (4.5), определяется расстоянием, на которое оттягивают груз?

7. Проанализируйте, что следует понимать под m в уравнении (4.4). Только ли массу груза или суммарную массу этого груза и платформы, на которую он положен? Аналогичны ли массы m в уравнениях (4.4) и (4.9)?

8. Выведите формулы (4.7), (4.8), (4.9).

9. Почему при выполнении 2-го задания рекомендуется растягивать пружину на величину, меньшую l?

Работа № 5. Определение показателя адиабаты методом клемана – дезорма

Цель работы: ознакомиться с газовыми процессами, определить показатель адиабаты и число степеней свободы молекул воздуха.

Оборудование: специальная установка с насосом и манометром.

Теория метода и описание установки

Адиабатическим называется процесс изменения объёма газа, проходящий без теплообмена с окружающей средой. При адиабатическом процессе изменяются все три параметра, определяющие состояние газа.

Как известно, изменение объёма V связано с изменением давленияp. В случае адиабатического процесса эта зависимость выражается уравнением Пуассона

PV ^ = const.(5.1)Показатель адиабаты  является важной термодинамической величиной, характеристикой газа. Он равен отношению теплоёмкости газа при постоянном давлении C_p к теплоёмкости этого же газа при постоянном объёме C_V, то есть

.(5.2)Теплоёмкостью называется количество теплоты, необходимое для нагревания тела или системы на один градус:

.(5.3)Величина теплоёмкости газа зависит от условий, при которых происходит его нагревание. По первому закону термодинамики полученное системой количество теплоты

Q = dU + A,(5.4)где dU – приращение внутренней энергии термодинамической системы; A – работа, совершённая системой против внешних сил. Уравнение 1 закона термодинамики (5.4) записано здесь для бесконечно малых величин.

Внутренняя энергия газов при давлениях порядка атмосферного ( 10⁵ Па) прямо пропорциональна абсолютной температуре газа и числу i степеней свободы молекул газа:

,(5.5)где  – количество газа (число молей).

Газ совершает работу только при изменении объёма:

A = рdV,(5.6)поэтому, если нагревать газ при постоянном объёме, то всё тепло, сообщаемое газу извне, полностью идёт на увеличение внутренней энергии. Если же нагревать его при постоянном давлении, то газ расширяется, при этом сообщаемое газу тепло идёт не только на увеличение внутренней энергии, но и на совершение работы изобарического расширения. Поэтому теплоёмкость газов при p = const больше, чем при V = const. Для идеального газа справедливо следующее соотношение между молярными теплоёмкостями:

,(5.7)причем теплоёмкость прямо пропорциональна числу степеней свободы молекул газа I и не зависит от температуры:

,(5.8)где R = 8,31 Дж/(мольК) – универсальная газовая постоянная.

В случае адиабатного процесса Q = 0, и, как следует из первого закона термодинамики, работа газа совершается за счёт изменения его внутренней энергии:

A = – dU.(5.9)При расширении газа он совершает положительную работу, следовательно, внутренняя энергия газа уменьшается, и, в соответствии с (5.5), уменьшается температура газа. При адиабатическом сжатии наоборот: работа газа отрицательна, а приращение внутренней энергии положительно. Поэтому при адиабатическом сжатии температура газа увеличивается.

Показатель адиабаты можно определить экспериментально, если осуществить ряд газовых процессов в воздухе, заключённом в сосуде. Очевидно, как следует из выражений (5.2), (5.7) и (5.8), по измеренному значению  можно также найти число i степеней свободы молекул газа. Соответствующую формулу для вычисления i по экспериментально определённому значению  нужно вывести при подготовке к лабораторной работе.

Применяемый в данной работе прибор Клемана – Дезорма схематически изображён на рис. 5.1. Он представляет собой стеклянный баллон, плотно закрытый пробкой, через которую пропущены трубки. Одна из трубок имеет кран K, позволяющий устанавливать и прерывать сообщение баллона с атмосферой. Другая трубка соединена с водяным U-образным манометром с одной стороны и с ручным воздушным насосом с другой. Нагнетая насосом воздух в баллон и быстро выпуская его, можно осуществить процесс, близкий к адиабатическому.

Теперь перейдём непосредственно к описанию методики определения показателя адиабаты. Известно, что любое состояние газа характеризуется определенными значениями параметров р, V и T. Процесс – это переход из одного состояния в другое, т.е. изменение параметров. В координатах р, V состояние газа изображается точкой, а газовый процесс – линией. На рис. 5.2 представлены два процесса: адиабатический 12, и изохорный 23. Покажем, что показатель адиабаты  можно определить, осуществив три состояния газа и записав последовательно уравнения процессов.

1. Газ в состоянии 1, полученном после нагнетания воздуха в сосуд и установления комнатной температуры T₁, имеет параметры: р₁ = р_ат + H, где H – избыточное давление в сосуде над атмосферным давлением р_ат; V₁ – объём единицы массы воздуха в сосуде. На графике этому состоянию соответствует точка 1.

Примечание. Здесь все давления выражаются в метрах водяного столба. Фактически избыточное давление равно gH, где  – плотность воды. Поскольку в дальнейшем мы придём к отношению давлений, то множитель g сократится.

2. Если теперь на короткое время соединить сосуд с атмосферой, открыв кран K (см. рис. 5.1), то воздух в баллоне расширится и перейдёт в состояние 2 с давлением р₂ = р_ат. Единица массы газа займёт объём V₂ > V₁, температура понизится до некоторого значения T₂ < T₁ (рис. 5.2, точка 2). Переход газа из состояния 1 в состояние 2 можно считать адиабатическим процессом, поскольку за время расширения газ в сосуде не успевает обменяться теплом с окружающей средой.

Для адиабатического перехода из состояния 1 в состояние 2 справедливо уравнение Пуассона (5.1):

.(5.10)3. Воздух, оставшийся в сосуде, сохраняя объём постоянным (V₃ = V₂), постепенно нагревается до комнатной температуры (T₃ = T₁), и давление повышается до значения р₃ = р_ат + h (точка 3 на рис. 5.2).

Газ в состояниях 3 и 1 имеет одну и ту же комнатную температуру. Значит, эти состояния можно связать уравнением Бойля – Мариотта:

р₁V₁ = р₃V₃.(5.11)Из уравнений (5.10) и (5.11) легко получить связь между начальным давлением р₁ и конечным давлением р₃

(5.12)

и, логарифмируя последнее равенство, определить показатель степени

.(5.13)Учитывая, что H и h много меньше р_ат (давление атмосферы соответствует 10 м водяного столба, а H не превышает 300 мм), и используя формулу приближённых вычислений: ln(1+x)  x (при x  1), можно получить расчётную формулу для показателя адиабаты:

.(5.14)Эта формула даёт правильный результат, если процесс расширения 12 действительно адиабатический, и за время расширения теплота не проникает сквозь стенки сосуда. Практически это условие можно выполнить, если провести расширение очень быстро. Однако здесь возникает другая проблема – процесс становится существенно неравновесным, так как температура и давление не успевают выравниваться в объёме сосуда, и применять уравнения (5.10) и (5.11) не совсем корректно.

Анализ ситуации с теплообменом показывает: чем дольше длится процесс расширения газа, тем большее количество теплоты проникает из комнаты в сосуд, и тем меньше будет понижение температуры при переходе газа в сосуде из состояния 1 в состояние 2 (см. рис. 5.2). Поэтому при последующем изохорном нагревании (процесс 23) давление поднимется на меньшую величину h', чем при адиабатическом процессе: h' < h, и рассчитанное по формуле (5.14) значение  будет заведомо меньше теоретического. При t   процесс расширения становится изотермическим, h'  0, а показатель  1. С увеличением времени t, в течение которого сосуд сообщается с атмосферой, значение h' уменьшается по экспоненциальному закону:

h' = h₀e^–t.(5.15)Здесьh₀ – значение величины h в уравнении (5.14), которое получилось бы при мгновенном переходе из состояния 1 в состояние 2, когда Q действительно равно нулю. После логарифмирования получим линейную зависимость

lnh' = lnh₀ – t,(5.16)где  – коэффициент, зависящий от параметров лабораторной установки. Проведя измерения h' при разных t, можно построить график зависимости lnh'(t) (рис. 5.3), и определить по нему lnh₀. По логарифму найти h₀, и вычислить показатель g.