- •Механика и молекудярная физика
- •Предисловие к третьему изданию
- •Введение
- •Общие Рекомендации
- •Порядок действий в лаборатории и Методика измерений
- •Обработка результатов измерений
- •1. Правила действий с приближёнными числами
- •2. Погрешности измерений
- •3. Практическая методика статистической обработки результатов измерений
- •4. Погрешности косвенных измерений
- •5. Графическая обработка результатов измерений
- •6. Определение параметров функциональных зависимостей по их графикам
- •Контрольные вопросы
- •Работа № 1. Изучение законов сохранения при соударении тел
- •Теория метода и описание установки
- •Выполнение работы
- •Анализ и обработка результатов измерений
- •Контрольные вопросы
- •С помощью маятника обербека
- •Теория метода и описание установки
- •Задание 1. Определение характера движения груза и его ускорения
- •Выполнение измерений
- •Задание 2. Определение момента инерции и момента силы трения
- •Выполнение измерений
- •Анализ и обработка результатов измерений
- •Задание 3. Проверка закона сохранения энергии
- •Выполнение задания
- •Контрольные вопросы
- •Работа № 3. Определение момента инерции тел методом крутильных колебаний
- •Теория метода и описание установки
- •Выполнение работы
- •Анализ и обработка результатов измерений
- •Контрольные вопросы
- •Работа № 4. Определение коэффициента упругости пружины
- •Теория метода и описание установки
- •Задание 1. Определение коэффициента упругости пружины статическим методом
- •Выполнение измерений
- •Задание 2. Определение коэффициента упругости пружины динамическим методом
- •Выполнение измерений
- •Анализ и обработка результатов измерений
- •Контрольные вопросы
- •Работа № 5. Определение показателя адиабаты методом клемана – дезорма
- •Теория метода и описание установки
- •Задание 1. Определение показателя адиабаты атмосферного воздуха
- •Задание 2. Определение показателя адиабаты атмосферного воздуха с учётом теплообмена
- •Анализ и обработка результатов измерений
- •Задание 3. Определение среднего числа степеней свободы молекул воздуха
- •Контрольные вопросы
- •Работа № 6. Определение теплоёмкости металлов методом охлаждения и проверка закона дюлонга – пти
- •Теория метода и описание установки
- •Задание 1. Определение удельных теплоёмкостей алюминия и железа
- •Анализ и обработка результатов измерений
- •Контрольные вопросы
- •Работа № 7. Определение вязкости жидкости по методу стокса
- •Теория метода и описание установки
- •Задание 1. Определение вязкости глицерина при комнатной температуре
- •Анализ и обработка результатов измерений
- •Задание 2. Определение характера течения
- •Контрольные вопросы
- •Библиографический список
- •Приложения
- •Содержание отчёта по лабораторной работе
- •Справочные данные
- •Оглавление
Теория метода и описание установки
Одним из экспериментальных методов определения моментов инерции тел является метод крутильных колебаний. Этим методом можно определить момент инерции любого тела, имеющего не только правильную, но и неправильную форму, момент инерции которого рассчитать трудно (зубчатое колесо с отверстиями, отливка и др.).
Крутильные колебания возникают, если тело, подвешенное на упругой проволоке (рис. 3.1), повернуть на некоторый угол и отпустить. В проволоке появляются упругие силы, направленные в сторону, противоположную углу поворота. Возникает момент сил, пропорциональный углу поворота и стремящийся вернуть тело в положение равновесия:
M = – k , |
(3.1) |
где – коэффициент упругости подвеса.
Если пренебречь силами трения, то из основного закона динамики вращения (см. выражение (2.5) в лабораторной работе № 2) будем иметь
I = – k , |
(3.2) |
где I – момент инерции висящего на проволоке тела относительно оси крутильных колебаний.
Так как величина возвращающего момента сил прямо пропорциональна смещению от положения равновесия, то возникающие крутильные колебания будут гармоническими и угол поворота (t) будет периодической функцией времени:
= m cos ( t + 0), |
(3.3) |
где m – амплитуда колебаний, т.е. максимальное значение угла поворота ; – циклическая частота колебаний, связанная с периодом T соотношением
; |
(3.4) |
0 – начальная фаза колебаний.
Угловое ускорение тела, как известно, может быть определено как вторая производная от угла поворота по времени:
. |
(3.5) |
Произведя двойное дифференцирование выражения (3.3) и подставив значения и в (3.2), можно получить связь между угловой частотой крутильных колебаний тела и коэффициентом упругости подвеса:
. |
(3.6) |
Заменив в этом уравнении через период колебаний T и измерив его, можно определить момент инерции подвешенного тела, если известен коэффициент упругости k:
. |
(3.7) |
Если же значение коэффициента упругости проволоки неизвестно, то его можно исключить, написав аналогичное уравнение для другого тела – правильной формы, момент инерции I0 которого легко рассчитать:
. |
(3.8) |
Здесь k имеет то же значение, что и в выражении (3.6), если тело с неизвестным моментом инерции I подвешено на том же подвесе.
Приравнивая правые части выражений (3.6) и (3.8), легко получить уравнение, дающее возможность найти момент инерции тела любой формы по рассчитанному значению I0 и двум периодам колебаний T0 и T, которые определяются измерениями. В качестве тела с известным моментом инерции в нашей работе взято кольцо, момент инерции которого рассчитывается по его массе т и размерам:
, |
(3.9) |
где R1 – внутренний радиус, а R2 – внешний радиус кольца.
Расчётное значение момента инерции кольца (3.9) получено интегрированием выражения, которое определяет момент инерции сплошного тела
. |
(3.10) |
В случае кольца элемент массы dm выбирается в виде бесконечно тонкого колечка произвольного радиуса r (рис. 3.2), и интегрирование ведётся в пределах от R1 до R2. Масса элемента dm прямо пропорциональна объёму dV колечка и плотности материала, из которого изготовлено кольцо:
dm = (2rdrb), |
(3.11) |
где b – толщина кольца. Подставляя в (3.10) это выражение, получаем
. |
(3.12) |
После несложных преобразований, выделив здесь массу кольца как произведение его объёма на плотность, получим формулу (3.9).
Установка для проведения измерений представляет собой стойку с кронштейном, на котором закреплена стальная проволока длиной около метра. К нижнему концу проволоки прикреплена лёгкая платформа, моментом инерции которой пренебрегаем, так как он очень мал по сравнению с инертностью эталонных колец и исследуемого тела. На платформе симметрично относительно оси проволоки могут размещаться либо тело произвольной формы, либо кольца разных размеров. Для фиксации положения тела в симметричном положении по проволоке можно перемещать лёгкую пробку. В основание стойки ввёрнуто три винта, с помощью которых стойка устанавливается вертикально – так, чтобы проволока с подвешенным к ней грузом была параллельна стойке.