Задание 2. Определение коэффициента упругости пружины динамическим методом

Этот метод основан на законах колебательного движения груза массой m около положения равновесия. Основной признак колебательного движения – периодичность. Следовательно, смещение x груза из положения равновесия можно записать в виде периодической функции времени:

x = Acos(t +  ₀),(4.5)где A – амплитуда;  = 2/T – циклическая частота, обратно пропорциональная периоду T колебаний; ₀ – начальная фаза колебаний.

При смещении x величина силы упругости будет определяться полным удлинением пружины, равным сумме l и x (см. рис. 4.1):

F_yпр = k(l + x). (4.6)Записав второй закон Ньютона (4.1) в проекциях на ось x и учтя выражения (4.4) и (4.6), нетрудно получить дифференциальное уравнение свободных колебаний подвешенного на пружине тела:

,(4.7)где a_x – проекция ускорения груза на ось х.

После подстановки значений иx в уравнение (4.7) получим

m² = k.(4.8)Зная циклическую частоту колебаний  и колеблющуюся массу m, можно определить значение коэффициента упругости . Так как непосредственно измеряется время, то лучше связать коэффициент упругости не с частотой, а с периодом колебаний. Нетрудно показать, что квадрат периода колебаний груза на пружине прямо пропорционален его массе и обратно пропорционален коэффициенту упругости пружины:

.(4.9)Из последнего равенства видно, что период определяется только свойствами системы (m и k) и не зависит от амплитуды колебаний.

Уравнение (4.9) позволяет графически обработать результаты измерений периода: откладывая по осям соответствующие переменные, можно свести равенство (4.9) к виду y = c + bx и получить при построении графика прямую, по угловому коэффициенту которой можно найти коэффициент упругости k. Подумайте, что следует принять за y, за х, за b, чтобы свести уравнение (4.9) к указанной линейной зависимости.

Выполнение измерений

Измерения проводят в следующем порядке.

1. Помещают на подвеску все 5 грузов, записывают их общую массу (можно учесть и массу подвески) в табл. 4.2.

2. Нажимая двумя пальцами на верхнюю плоскость груза, оттягивают его на любую величину А < l вниз и быстро убирают пальцы вверх.

3. Измеряют время t, за которое груз сделает N полных колебаний, записывают в табл. 4.2. Измерения времени с каждым грузом нужно проделать по 3 раза, изменяя число колебаний. Например, N₁ = 12, N₂ = 20, N₃ = 28, или 10, 15, 20 колебаний (по указанию преподавателя).

Подсказка: чтобы сделать три замера, достаточно запустить колебания один раз.

Таблица 4.2

	№ п.п.		m		N		t		T		T 		T 2
	1		…		… … …		… … …		… … …		…		…
	2		…		… … …		… … …		… … …		…		…
	…		…		… … …		… … …		… … …		…		…
5		…		… … …		… … …		… … …		…		…

4. Снимают верхний груз и проводят такие же измерения, сохраняя выбранные значения числа колебаний.

5. Снимают ещё один груз, проводят измерения с тремя оставшимися, затем с двумя и, наконец, с одним, самым тяжёлым грузом. Все показания приборов записывают в табл. 4.2.