30. Просторова когерентність

Розміри джерела і просторова когерентність. Єди- ним критерієм відносно ступеня когерентності (у тому числі просторової) є контраст ІК. Скористаємось цим для визначення прийнятних розмірів джерела, при яких хвилі від цього джерела у області спостереження є когерентними. Звернемось до класичного досліду Т. Юнга. На рис. 4.16 точкове джерело монохромати- чного світла (довжина хвилі ) знаходиться у площині А над оптичною віссюна висоті– відстані

Рис. 4.16. Схема класичного досліду Юнга.

між площинами. У площині є два дуже малі отвори (це можуть бути і вузькі щілини), розташовані симетрично відносно оптичної осі на відстанівід неї. У результаті дифракції світла на цих отворах екран є одночасно освітленим двома когерентними джерелами, тому на ньому повинна спостеріггатисьІК. Визначимо -координату-ї яскравої смуги. Дляцього спочатку знайдемо різницю ходу, яку мають хвилі, що пройшли до точки спостереження першим

та другимшляхами. Із відповідних прямокутних трикутників, один з катетів яких зображено штриховою лінією, запишемо:

Вважаючи, що , знайдемо повну різницю ходу

,

звідки положення m-ої смуги визначається:

(4.62)

Відстань між -ою смугою та :

(4.63)

Видно, що ширина смуги залежить від відстані між щілинами h та відстані між екранами та. Якщо у площинірозмістити ще одне джерело, координатаякогото його ІК у площинізміститься до рівняОчевидно, вигляд результуючої ІК від двох джерел залежить від взаємного розташування смуг: ІК зникне повністю, якщо зміщенняПриобидві ІК просто накладаються одна на одну, хоча вони утворені різними взаємно некогерентними джерелами. При зміщенніІК ще має певний контраст, у цьому випадку, за домовленістю, можна вважати, що два джерела створюють у області двох щілин когерентне поле, оскільки у подальшому воно спроможне створити ІК у площині С. Отже, при наявності ІК у схемі рис. 4.16 можна стверджувати, що розмір джерела складає приблизнопри великій відстані a його кутовий розмір буде порядку величини

(4.64)

Оскільки не існує принципових обмежень для збіль-шення , можна скористатися цією ідеєю для вимірювання кутових розмірів досить віддалених об’єктів. Хвильова поверхня точкового монохроматичного джерела є сферою. Рівновіддалені від джерела точки знаходяться у однаковому коливальному стані, яке визначається фазою коливання у джерелі і запізненням за рахунок відстані. Якщо джерело збільшити до розмірівчи, ситуація практично не зміниться, тобто, фаза результуючого коливання у то- чках спостереження, які знаходяться на тій же сфері, буде відрізнятися від такої у місці вимірювання одним і тим же множникомз помилкою, яка не перевищуєабовідповідно. Тому ми можемо прийняти, що квазіточкове джерело склада-

ється із багатьох однотипних елементарних випро- мінювачів, відстань між якими не перевищує . Очевидно також, що при подальшому збільшенні розмірів джерела не можна напевне щось стверджу- вати відносно фазових співвідношень коливань на всій раніше побудованій сфері, можна лише допускати, що у дуже близьких точках на сфері фази коливань все ж можуть виявитися пов’язаними (саме внаслідок тісного сусідства точок).

Все сказане легко узагальнюється на випадок джерела, яке має елементарні випромінювачі немонохроматичних хвиль, для цього достатньо спектральну ділянку розбити на такі вузькі діапазони, щоб у кожному з них довжина когерентності була б більшою за радіус сфери .

30.1. Теорема ван Ціттерта-Церніке1

Розглянемо поле у точках 1 і 2 площини (рис. 4.17), яке створюється елементарним випромінювачемджерелау площині, яка розташована на відстані R від першої.

(4.65)

- напруженість поля на одиничній відстані від джерела ,- – віддаленості точок спостереження від вказаного елементарного випромінювача. Щоб знайти у цих точках сумарне поле від всього джерела, яке знаходиться у площині, треба скласти всі елементарні вклади:

(4.66)

Знайдемо взаємну кореляцію полів у т. 1 і 2 при нульовій затримці:

(4.67)

Оскільки фази коливань елементарних випромінювачів розподілені за випадковим законом, при усередненні всі члени суми із випадковими фазами типудають нуль, ненульовий вклад у функцію кореляції забезпечують лише члени, детобто

(4.68)

Додавання нескінченного числа елементів за- мінюємо інтегруванням по площині випромінювання, пам’ятаючи що

(4.67)

Отже, коефіцієнт взаємної кореляції дорівнює

(4.68)

Із рис. 4.17 видно, що, знаючи координати початку

та кінця відрізківвідповідно. можемо записати

Звідки, вважаючи, що знаходимо

(4.71)

Поклавши одержуємо:

(4.72)

Де – кути, під якими видно джерело із точки спостереження. Тобто, інтегрування ведеться

Рис. 4.17. Утворення поля у точках 1,2 від джерела .

за кутовими координатами. Останній вираз за формою є нормований фур’є-образ кутової яскравості джерела:

(4.73)

причому змінні відіграють роль просторових (кутових) частот і вимірюються у кутовій мірі. Таким чином, кутова світимість віддаленого джерела і функція просторової когерентності пов’язані між собою перетворенням Фур’є – цe твердження і є

змістом теореми ван Ціттерта-Церніке, сформульова- ної в 30-х роках минулого століття.

30.2. Зірковий інтерферометр

Ще Г. Фізо (Hippolyte Fizeau; 1819–1896) висловив припущення, що контраст інтерференційних смуг можна використовувати для визначення просторових характеристик джерела. Однак лише А. Майкельсон (Albert Abraham Michelson 1852–1931) довів цю ідею до досконалості. Навряд чи варто доводити, наскіль- ки важливим для науки є уміння визначати розміри зірок. Між тим інструменти, які традиційно викорис- товуються для оптичного спостереження, такої можливості не дають: кутові розміри зірок (окрім Бе- тельгейзе) менші, ніж кутова роздільна здатність найкращих телескопів світу.

У 1920 році А. Майкельсон запропонував і реалізу- вав ідею – визначати розміри зірок через функцію когерентності. Якщо на апертурі телескопу (рис. 4.18) встановити дві діафрагми (отвори) 1, 2 на відстані x одна від одної і спрямувати телескоп 3 на зірку, то отримане раніше зображення зірки у фокальній пло- щині об’єктива телескопу тепер виглядатиме значно ширшим (через обмеження пучків) і смугастим (5). Дійсно, отвори освітлюються просторово когерентним джерелом (розмір області когерентності випроміню- вання у місцерозташуванні телескопа перевищує відстань x ), отже, повинні бути інтерференційні сму- ги, як у інтерферометрі Релея чи Юнга. З іншого боку, паралельний світловий потік повинен, пройшо- вши об’єктив, зібратися у фокальній площині F у вигляді кружка розсіяння Ейрі (якщо отвори круглі). Цей круг і спостерігається, але завдяки інтерференції він пересічений смугами. Контраст картини у області нульової смуги (що відповідає нульовій різниці ходу)

Рис. 4.18. Утворення зображення зірки у телескопі з двома вхідними щілинами в монохроматичному світлі. 1, 2 – щілини, 3 – об’єктив телескопу, 4 – розподіл інтенсив- ності при повністю некогерентному випромінюванні, 5 – зображення зірки при наявності кореляції в точках 1, 2, 6 – огинаюча інтерференційної картини.

визначається ступенем когерентності хвиль, які проходять у телескоп через діафрагми 1 і 2. На рис. 4.18 зображено випадок 100%-го контрасту у монохроматичному світлі, однак по мірі зростання x контраст смуг повинен зменшуватися.

Вважатимемо для простоти, що далеке джерело монохроматичного світла у площиніє квадрат зі стороною. Його фур’є-образ, наприклад, вздовж координати

(4.74)

Тут - – відстань до джерела (рис. 4.17). Змінюючи, вимірюють контраст ІКі отримують залежність, яка має вигляд як на рис. 4.19 (пунктирна крива). Очевидно, за визначеннямтоді як функціязмінює знак у точкахІз данихлегко відтворити функцію

Рис. 4.19. Залежність видності V та кореляції