21. Зображення просторово некогерентного предмета

Оскільки шар простору, у якому є лінза, має імпульсний відгук на збуджуюче поле моно хроматичної хвилі ,сигнал на виході такого шару пов’язаний з вхідним, сигналом операція згортки

E₁(x₁,y₁,d₁,t) = E₀(x,y,d₀,t) = h(x,y,x₁,y₁,d₁) , (3.68)

причому часову залежність виділимо окремо

E₀(x,y,d₀,t) = U₀(x,y,,d₁)e^iω+iφ,

Визначимо сигнал на виході, у площині z = d₁ , у двох сусідніх точках

E₁(x₁,y₁,d₁,t) = U₀(x,y,,d₁)e^{iω’+iφ’},

E₂(x₂,y₂,d₁,t) = U₀(x,y,,d₀)e^{iω’+iφ’}

які є зображеннями двох незалежних точкових дже- рел. У зв’язку з останнім функція взаємної кореляції Г₁₂(0) для поля у двох точках площини зображення однозначно дорівнює нулеві, проте все ж таки формально її можна визначити так:

Г₁₂(0)<= E₁(x₁,y₁,d₁,t), E₂(x₂,y₂,d₁,t)=>

=<(3.69)

Кожен із подвійних інтегралів береться незалежно один від одного по області існування джерела ( тобто, функції , однак операція усереднення за часом (кутові дужки) залишить ненульовими лише такі складові, для яких виконуються умови ϕ′ = ϕ′′ , ω′= ω ′′ . Очевидно, це можливо лише, якщо x′= x′′ , . y′ = y′′ При порушенні цієї умови кожна з фаз ϕ′,ϕ′′ є щеще й величиною, залежною випадковим чином від конкретного шляху, пройденого хвилею, а рівними (однаковими) вони будуть лише при виконанні вказаної умови. Таким чином, операція усереднення (3.69) еквівалентна фільтруючій дії функції, яку можна ввести

під знак інтегралів (3.69) замість виконання операцій усереднення:

(3.70)

де .

Ця рівність означає, що при просторово некогерентному випромінюванні світла точками предмета (теплове протяжне джерело, наприклад) розподіл інтенсивності у його зображенні, яке одержується за допомогою лінзи, визначається згорткою розподілу енергії яскравості предмета і квадрата імпульсної характеристики шару простору, який містить лінзу:

(3.72)

де =.

Імпульсна характеристика у оптиці – це, як правило, дзвіноподібна функція з деякою напівшириною. Очевидно, що квадрат такої функції завжди має меншу напівширину ніж сама функція. Це означає, що зображення некогерентного випромінювання (чи освітленого предмета) повинно бути більш чітким, контрастним, з кращою роздільною здатністю ніж увипадку когерентного випромінювання (освітлення).

Раніше ми розглянули поширення ГП у вільному просторі (або у однорідному прозорому середовищі). Гауссів пучок, народжуючись у резонаторі лазера (зв’язок характеристик ГП з параметрами резонатора див. [22, C. 301]), взаємодіє з різними оптичними си- стемами, найчастіше – з лінзами. Як змінюються характеристики ГП і як отримати ГП з заданими вла- стивостями, висвітлено у цьому параграфі.

У даному випадку системою будемо називати току лінзу з прилеглими шарами простору (рисунок 3.13). Нехай ГП поширюється вздовж осі z від площини від площини P0 до площини

P3 , де містяться перетяжки ГП, і проходить при цьому крізь лінзу. Вияснимо, як змінюються параметри ГП – амплітуда, фаза, величина перетяжки та її розташування – при:

1) поширенні у вільному просторі від перетяжки

( P0 ) до лінзи ( P1 ),

2) проходженні крізь лінзу ( P1 P2 ),

3) поширенні у вільному просторі від лінзи (площина P2) до другої перетяжки (P3). Використаємо комплексне представлення гауссової

Рис. 3.13. Перетворення гауссового пучка лінзовою системою.

Хвилі (2.115). Запишемо вирази для ГП у вказаних площинахP_j (індекс j = 0, 1, 2, 3 стосується величин у відповідних площинах).

1) Гауссів пучок у площині P₀описується формулою

. (3.73)

Від перетяжки (P0) до площини P1 пучок поширюється у вільному прос орі т , і поле безпосередньо перед лінзою:

(3.74)

2) Гауссова хвиля після лізни, фокусна віддаль якоїF (рисю 3.14), матиме вигляд

(3.75)

оскільки відомо, що при проходженні світла через тонку лінзу остання виступає як модулятор.

3) Нарешті, пучок перетинає другий вільний простір (між лінзою та P3), при цьому вираз для гауссової хвилі у P 3 має вигляд

(3.76)

Тут позначено: x , y – координати у площині, перпе-ндикулярній напрямку поширення хвилі; p – радіус

пучка у площині ХУ, ;q - комплексний радіус кривини поверхні постійної фази ГП; - комплексна амплітуда поля у відповідних площинах, - радіус дифракційної розбіжності стосовно першої перетяжки; - радіус ГП у перетяжці у площині ;

- хвильовий вектор; - довжина хвилі; -фаза ГП; - деяка стала.

Проаналізуємо зміни характеристик ГП, який по- ширюється у лінзовій системі.

Амплітуда ГП. Із формул (3.73) – (3.76) видно, що при поширенні у вільному просторі (або однорідному середовищі) у амплітуди ГП з’являється множник , який залежить від відстані до перетяжки та дифракційної розбіжності .

Фаза ГП. Набіг фази відраховується відносно пере-

тяжки у де, без втрати загальності, ми прийняли .

При всіх наступних перетвореннях ГП, загальний набіг фази , від лінзи до другої перетяжки

Рис. 3.14. Перетворення гауссового пучка лінзою.

, де ,

Тобто, ГП при поширенні у просторі набуває додаткового набігу фази , який, я і амплітуда, залежить від пройденої відстані z та параметра . У лінзі набіг фази дорівнює. Якщо система складна, то треба враховувати набіг фази послідовно на кожному проміжку і потім додавати. Наприклад, на симетричному проміжку (рис. 3.15) набіг фази на лінзі відносно лізнидорівнює, тобто, відносно перетяжки він має різні знаки ната . Таким чином, між двох вказаних лінз додатковий набіг фазможе досягати величини. Така

Рис. 3.15. До розрахунку набігу фази гауссового пуч- ка на лінзах Л1 та Л2.

ситуація має місце у резонаторі лазера, який склада- ється із двох ввігнутих дзеркал.

Комплексний радіус кривини ГП. Зміна комплекс-ного радіуса кривини при поширенні ГП виражається формулами (2.118) та (2.119). У площині (при )у місці першої перетяжки комплексний параметр ГП є чисто уявною величиною:

(3.77)

Комплексний радіус кривини поверхні постійної фази ГП перед лінзою у площині (при )

(3.78)

Тут позначено відстань між перетяжкою і лінзою,- деяке число,– фокусна відстань лінзи (див. рис. 3.13).

Знайдемо правило перетворення комплексного ра- діуса кривини у випадку проходження ГП через лінзу. Перепишемо формулу (3.75) у такому вигляді:

. (3.79)

Вважаємо модулі амплітуд поля безпосередньо перед і лінзи однаковими. Прирівнявши показники експоненти у формулі (3.79), отримаємо правило перетворення комплексного раді- уса кривини при проходженні ГП через лінзу:

(3.80)

Ця кривина, як видно, може бути від’ємною.Знаючи положення лінзи та її фокусну відстань , можна визначити радіус кривини перетвореного лінзою ГП, врахувавши у формулі (3.80) вираз (2.117) при умові, що відстань від перетяжки долінзи , тоді

. (3.81)

Отже, лінза змінює радіус кривини хвильового фронту падаючого пучка, причому можливі три випадки (рис. 3.16).

після проходження збірної лінзи кривина ГП (а значить і розбіжність його) дещо зменшаться, а перетяжка зміститься у сторону лінзи (рис. 3.16 а);

фронт ГП після проходження лінзи стає плоским, пе- ретяжка розташована у площині лінзи (рис. 3.16 б);

лінза змінює знак кривини хвильового фронту ГП, тобто, із випуклого фронт стає ввігнутим у вибраній системі координат, у якій напрямок осі z співпадає з напрямком поширення світла (рис. 3.16 в); таким чином, ГП, що розбігався після проходження лінзи – збігається.

Отже, при проходженні гауссового пучка крізь лінзу, яка розташована у довільній точці :

• пучок залишається гауссовим (розподіл амплітуди у площині ХУ не змінюється),

• змінюється вираз для фази хвилі,

• радіус кривини його хвильової поверхні стає іншим.

Від лінзи до площини комплесна кривина ГП змінюється за правилом:

(3.82)

Об’єднуючи формули (3.80) та (3.82), отримуємо правило для перетворення комплексного радіуса кривини пучка при його поширенні від площини (перетяжка, параметр пучка q0) через лінзу (параметр пучкадо ші- після проходження лінзи) до площини (параметр пучка ):

. (3.83)

За цією формулою, знаючи фокус лінзи та відстані між відповідною перетяжкою та лінзою, можна обчислити параметр ГПу довільній точці простору після лінзи і до наступної перетяжки.

Однак, треба коректно враховувати положення пу- чкавідносно нової перетяжки. Адже у області повинен бути, як це випливає з постановки задачі, чисто уяв- ною величиною. Таким чином, щоб виконати цю умову, відлікслід завжди вести від відповідної пе- ретяжки (рис. 3.14). Зауважимо, що перетяжки тане є предметом та зображенням – це характерис- тики гауссового пучка зліва і справа від лінзи; формула лінзи тут не застосовується (у формулу перетяжки комплексний параметр

Рис. 3.16. Деформація ГП лінзою. Поверхня постійної фази ГП при вході у лінзу – 1; хвильовий фронт ГП при виході з лінзи – 2; ,– радіуси перетяжок ГП до та після лінзи відповідно.;;.

3.80), що формально подібна до формули лінзи, вхо- дять комплексні величини).

Щоб мати можливість обчислити одночасно комплексну кривину ГП, амплітуду і фазу ГП, отримувати співвідношення між розмірами перетяжок та відстанями від них до лінзи, запишемо вираз для хвилі, яка б поширювалась від перетяжки справа наліво, тобто, «повернулась» назад до лінзи у:

(3.84)

При цьому

(3.85)

Це дає можливість обчислити окремо комплексну кривину ГП, амплітуду і фазу ГП, адже:

(3.86)

Де – деяке число. Крім того, ,тобто , маємо

(3.87)

Звідси, розділяючи дійсну та уявну частину, знайде- мо співвідношення між розмірами перетяжок та відстанями від них до лінзи:

; (3.88)

(3.89)

Проаналізуємо формули (3.88) та (3.89). Видно, що

• величини - одного знака (нагадаємо, - відстані від фокуса лінзи до відповідної перетяжки)

• • якщо перетяжка у фокусі, тобто, друга перетяжка теж у фокусі. При цьому, як видно з (3.88) ;

• положення перетяжок зміщуються синхронно або до лінзи, або від неї, однак

• якщо із (3.89) та (3.88) випливає, що .

• перетяжка зліва від лінзи міститься у подвійному фокусі при цьомуі перетяжка справа від лінзи міститься міжі.

Розглянемо кілька випадків перетворення пучків. Якщо помістити на шляху ГП тонку лінзу з фокусною відстанню , що дорівнює половині радіуса кривини хвильової поверхні у цьому місці пучка, точок зу якому повністю відтворюється геометрія початкового ГП. Наприклад, можна вибрати,що дорівнює радіусу дифракційної розбіжності початкового пучка і розташувати лінзу на відстані від перетяжки (тут , тоді). Послідовність таких лінз, розташованих на відстанях , утворює лінзовий хвилевід для ГП.

У деяких випадках виникає потреба отримати пе- ретяжку якомога меншого розміру. Для цього вибирають короткофокусну лінзу з якомога більшою апертурою, розміщують її далеко від лазера (на відстані, більшій за ) так, щоб цятка ГП заповнювала якомога більшу частину поверхні лінзи. Радіус перетяжки перетвореного ГП у цьому випадку приблизно дорівнює , де– діаметр лінзи. Якщо,то вся енергія ГП концентрується на

площадці, лінійний розмір якої приблизно дорінвює довжині хвилі .

Просторова селекція гауссового пучка. При дослідженні розподілу енергії у реальному ГП у поперечному перерізі часто спостерігаються нерегулярні перепади інтенсивності. Зовні такий пучок виглядає як випадкова пляма світла, засміченим, а формально це означає, що просторовий спектр ви-промінювання, яке виходить з лазера, ускладнюється, збагачується з різних причин новими складовими; в основі цього лежить взаємодія ГП з неідеальними оптичними поверхнями і деталями. Для виділення учистому вигляді лазерної моди нульовог о порядку, не- обхідно виконати просторову селекцію ГП (чистку пучка), поставивши фільтр просторових частот. На практиці, після лазера на шляху променя ставлять короткофокусну лінзу, а після неї, у місці розташу- вання перетяжки (приблизно у фокусі лінзи) – точкову діафрагму – круглий отвір з діаметром трохи більшим, ніж перетяжка. У результаті у далекій зоні отримуємо закономірний гауссовий розподіл інтенси- вності у перерізі пучка. Досить часто чистка пучка є обов'язковою операцією, зокрема при використанні гауссових пучків у голографії.

Фільтрація пучка є окремим випадком взаємодії ГП з лінзою та обмежувальною діафрагмою, у загальному розумінні це є фільтрація просторових частот з метою виділення регулярної частини пучка.

Контрольні питання

1. Які характеристики пов’язує інтеграл Дюамеля у випадку, якщо

а) прилад є модулятором сигналу, б) прилад є фільтром спектра?

2. Спектр якого об'єкту знаходиться у правій фока- льній площині реальної лінзи, якщо зліва на неї падає паралельний пучок світла?

3. Намалюйте і поясніть схему оптичного диферен-

ціювання просторового сигналу.

4. Які вимоги до фільтра частот для отримання n-тої похідної? Чим відрізняються випадки парного і непарного ?

5. Сформулюйте правило вибору знака для величин

, для збірної, розсіюючої та плоско-опуклої лінз.

6. Намалюйте повну схему (разом з освітлювачем) фазоконтрастного мікроскопа. У яких випадках можна використовувати комплексний фільтр у ви- гляді кільця? круглої або квадратної плями?

7. Поясніть принцип дії фазоконтрастного мікроскопа.

8. Як відрізняються зображення в ФКМ при викори- станні фільтрів та ?

9. Як змінюється фаза ГП при поширені у просторі, у якому є лінза?

10.Як зміниться радіус кривини хвильового фронту ГП при проходженні через лінзу з фокусною від- станню ?

11.Де слід розмістити лінзу, щоб сфокусувати лазер- ний пучок на якомога меншій площадці?

12.Показати, що простір між фокальною площиною об’єктива і площиною зображення у мікроскопі виконує над хвилею ПФ.

Задачі

1. Показати, що фокусні відстані двоопуклої та плос-

коопуклої лінзи та позитивного меніску завжди

позитивні, а фокусні відстані двовігнутої, плоскові- гнутої та від’ємного меніску завжди від’ємні.

2. Визначте у наближенні геометричної оптики радіус

кривини R2 хвилі Uвідб (x,y,z) , відбитої від поверх-

ні параболічного дзеркала у випадку, коли співвідношення між радіусом кривини падаючої хвилі та параметромбудуть такими: а) точка, яка світиться, знаходиться між дзеркалом і першим фокусом. Дійсним чи уявним буде зображення у кожному випадку?

3. Знайти параксіальне наближення для фазового перетворення, яке виконує лінза, що є частиною циліндру (рис.3.17). Як впливає така лінза на плоску хвилю, яка поширюється вздовж осі?

4. Розподіл поля на предметі (предметна функція) , яка обмежена круглою апертурою діаметром, задана у передній фокальній площині збирної лінзи діаме- тром D (при цьому виконується умова:). Розподіл інтенсивності вимірюється у задній фока- льній площині лінзи.

а) Знайти вираз для максимальної просторової ча- стоти, для якої виміряна інтенсивність точно рівна квадрату модуля спектра предмета.

б) Чому дорівнює ця частота (періодам), якщо см,см, фокуснасм, а хвилім.

5. Амплітудний коефіцієнт пропускання екрана опи- сується функцією, яка має осьову симетрію:

а) Чому такий екран діє подібно до лінзи?

б) Знайти вираз для фокусної відстані екрану.

в) Які особливості можуть вплинути на застосування такого екрану, як системи для створення зображення?

6. Екран із амплітудним коефіцієнтом пропускання

(зонна пластинка Френеля):

нормально освітлений монохроматичною плоскою хвилею одиничної амплітуди. Показати, що такий екран діє як лінза із багатьма фокусними відстанями. Визначити значення фокусних відстаней та відносне значення енергії, яка припадає на кожну фокальну площину.

7. Знайдіть на якій відстані від перетяжки слід розмістити лінзу, щоб отримати плоский хвильовий фронт у площині лінзи? Яку фокусну відстань повинна мати лінза у цьому випадку?

8. Знайти, якою повинна бути фокусна відстань лінз, щоб утворити хвилевід для випромінювання гелій-неонового лазера (), якщо радіус перетяжки= 1 мм

9. Для фазоконтрастного мікроскопа отримати формулу розподілу інтенсивності y площині зображення для випадку, коли функція на вході є двокоординатною комплексною.

IV. КОГЕРЕНТНІСТЬ СВІТЛА

Когерентність (від лат. cohaerens – зв’язані, взає- мозалежні) узгоджене протікання у часі і у просторі декількох коливальних або хвильових процесів, вона проявляється при їхньому накладанні, порівнянні. Завдяки когерентності хвиль виникають інтерфере- нційні явища. У цьому посібнику розглядається лише когерентність першого порядку. Під цим терміном розуміють взаємодію двох полів, в результаті якої утворюється інтерференційна картина. Взаємодія інтенсивностей хвиль (групування фотонів як бозе-частинок) розглядається як когерентність другого порядку. Існують когерентності і більш ви- соких порядків з іншим фізичним змістом.

Критерієм когерентності є здатність хвиль утворювати стійку інтерференційну картину. Якщо різниця фаз хвиль (коливань) є сталою або однаково змінюється за певним законом, то такі хвилі (ко- ливання) називаються когерентними. Зміни фази світлових хвиль від різних джерел є незалежними, випадковими, тобто, таке випромінювання вважається некогерентним. При накладанні таких хвиль не спостерігається інтерференційна картина, а повна інтенсивність дорівнює сумі інтенсивностей окремих хвиль.

Існують два методи отримання когерентних пучків із одного: геометричний поділ хвильового фронту (використовуються різні ділянки фронту хвилі, наприклад, як у біпризмі Френеля); поділ амплітуди хвилі (світлоподільником, наприклад, напівпрозорим дзеркалом). У цьому розділі розглядаються питання часової і просторової когерентності та використання цих явищ у при- кладних дослідженнях.