4. Скануючий інтерферометр Фабрі-Перо:

інтерференція різночастотних коливань

Інтерферометр Фабрі-Перо (ІФП) використовується як спектральний прилад високої роздільної здатності з фотографуванням (наприклад, рис. Д4.1) або фотоелектричною реєстрацією спектру. Фотоелектрична реєстрація має безсумнівні переваги: окрім чисто технічних зручностей з’являється можливість дослідження спектру, який змінюється в часі. Оптичну схему для цього випадку зображено на рис. Д4.2. Світло від досліджуваного джерела Σ за допомогою лінзи Л1 формується у систему паралельних пучків, які, пройшовши дзеркальну систему ІФП (1, 2) та камерний об’єктив Л2, в площині Д створюють картину кілець, радіус яких в межах робочого діапазону однозначно пов’язаний з довжиною хвилі у

спектрі. Товщина L еталону 3 може змінюватись в межах (1 – 2)λ за допомогою п’єзокерамічного рушія 3. З усієї інтерференційної картини (ІК) в площині Д реєструється через досить малий отвір центральна частина її, світло з центрального порядку інтерференції попадає на ФЕП, сигнал якого у найпростішому випадку подається на вертикальний канал осцилографа або через аналого-цифровий перетворювач (АЦП) заноситься в пам’ять комп’ютера.

Рис. Д4.2. Формування зображення у ІФП.

Залежність результуючого розподілу спектру випромінювання від координат та товщини L еталону 3 після ІФП, як відомо, дається формулою Ейрі. Отримати висновки щодо результуючого спектрального розподілу випромінювання після скануючого ІФП можливо, використовуючи два підходи: 1) кожному значенню L відповідає певна довжина хвилі , яка і реєструється детектором ФЕП: неперервний рухомий процес замінюється дискретними квазістаціонарними положеннями дзеркал; λ

2) незначну зміну відстані L виражають через швид кість руху дзеркала; причому частота випромінювання ω₀ при відбиванні від рухомого дзеркала змінюється на деяку величину Ω (допплерівське зміщення частоти). В цьому випадку маємо одну незалежну змінну, отримуємо спектральний розподіл випромінювання в центрі ІК залежно від часу.

На рис. Д4.3. показано послідовне відбивання хвилі у паралельних одне одному дзеркалах М₁ та М₂, у результаті чого утворюється система джерел плоских хвиль, їхня швидкість і напрям руху позначені для відповідних площин цифрами 1,2,3...7. Хвиля 2, наприклад, існує як відбиття хвилі 1 в дзеркалі М₂, а хвиля 3 – як відбиття хвилі 2 в дзеркалі М₁.

Вважаємо, що уявне джерело 1 (первинна хвиля) протягом часу t випромінює в напрямку осі z плоску електромагнітну хвилю , амплітуда якої дорівнює U₀ частотаω₀ , k = π/2 λ , λ – довжина хвилі:

(Д4.1)

Щоразу після відбивання від рухомого дзеркала та подвійного проходу відстані між дзеркалами характеристики відповідної хвилі змінюються, причому врахувати ці зміни можливо двома способами. Розглянемо традиційний підхід отримання формули Ейрі. Хвиля у положенні 1 (z = 0) має вигляд:

(Д4.2)

наступних відповідних площинах хвилю можна описати такими виразами (швидкість дзеркала υ):

(Д4.3)

Вираз для сумарної хвилі, що рухається зліва направоу порожнині між дзеркалами,

(Д4.4)

Рис. Д4.3. Врахування ефекту Допплера у скануючо-

му інтерферометрі Фабрі-Перо. М₁ і М₂ – нерухоме та

рухоме дзеркало відповідно, v – швидкість руху дзер-

кала, L – відстань між дзеркалами, цифрами 2, 3…7

показано послідовні положення хвиль U₂, U₃… ;

фігурними дужками (I - V) показано послідовність

утворення уявних хвиль (2,3…7).

є геометричною прогресією, знаменник якоїТому

(Д4.5)

а результуюча інтенсивність хвилі

(Д4.6)

Це відома формула Ейрі. Максимальна інтенсивність спостерігається при виконанні умови (m = ,...2,1,0 )

(Д4.7)

обто, маємо однозначний зв’язок між довжиною хвилі і появою відповідного їй максимуму інтенсивності у певний момент часу.

епер знайдемо вираз для спектрального розподілусумарної інтенсивності хвиль, про які відомо, що кожна наступна відрізняється від попередньої на однаковий частотний інтервал (допплерівське зміщення частоти). Хвиля у положенні 1 задана формулою Д4.2, у наступних послідовних положеннях 3, 5, 7… хвилі описуються виразами:

(Д.4.8)

Комплексні амплітуди хвиль (Д4.8) утворюютьгеометричну прогресію, знаменник якої

(Д4.9)

тому їхня сума визначається за формулою:

(Д4.10)

а інтенсивність I(t) центральної моди інтерферометра – за формулою

( Д4.11)

Вона також змінюється у часі, оскільки величина φ є функцією часу. Максимум інтенсивності з’являється при виконанні умови

( Д4.12)

Оскільки формули (Д4.7) і (Д4.12) описують одне і те ж явище, прирівнюючи почленно їхні ліві і праві частини, отримуємо вираз для допплерівського зміщення частоти

(Д4.13)

де υ - швидкість руху дзеркала. Поява світла із довжиною хвилі λ₁ однозначно відбудеться у момент часу t₁, а із λ₂ - відповідно у момент t₂.

У реальних конструкціях скануючого ІФП еталон 3 (рис. Д4.2) виготовлений із п’єзоелектричного матеріалу, затискається між дзеркалами 1 та 2, на нього 308 подається пилкоподібна напруга розгортки осцилографа, завдяки чому товщина L періодично змінюється лінійно у часі з амплітудою 1 – 2 мкм. Цього досить для огляду спектру в області m-го порядку робочого інтервалу ІФП. Спектр можна спостерігати візуально в реальному часі, якщо сигнал ФЕП подати на вертикальні пластини того ж осцилографа. На рис. Д4.4 наведено приклад дослідження за допомогою скануючого ІФП частот мод гелійнеонового лазера одночасно в двох ортогональних поляризаціях П1 та П2. Реєстрування інтенсивності мод

Рис. Д4.4. Генерація двомодового гелій-неонового

лазера. ν – частота прозорості ІФП, вздовж вертикаль-

ної осі – сигнал ФЕП. Парними та непарними цифрами

позначено моди, які генеруються у відповідних

ортогональних поляризаціях П1 та П2.

проводилось за допомогою двох ФЕП окремо у кожній з поляризацій. Положення мод у межах контуру підсилення лазера змінюється внаслідок теплового видовження резонатора. Показано результат сканувань тривалістю 1 сек, повторюваних протягом 800 сек. , ν – частота прозорості ІФП, вздовж вертикальної осі – сигнал ФЕП. П1 та П2 – площини поляризації взаємно ортогональних мод. Цифрами позначено номер моди, яка генерується.

Подібний контроль за частотою лазера протягом тривалого часу може давати досить корисну інформацію. Наприклад, видно, як мода 2, пройшовши контуром підсилення, зникає на його низькочастотному краю, натомість на високочастотному краю виникає мода 4, проте, не дійшовши до низькочастотного краю, зникає у центрі контуру підсилення; одночасно виникає мода 4′ у іншій поляризації. У той же момент мода 5 також змінює площину поляризації на ортогональну. Повна вихідна енергія лазера при цьому майже не змінюється, видно, як вона перерозподіляється між модами. Отже, за досить складною динамікою генерації лазера можна прослідкувати, лише досліджуючи поведінку спектра, який, виявляється, не такий вже й стабільний. Наприклад, через видовження резонатора спектр генерації реагує на невелику зміну температури в приміщенні. У такому випадку утримувати частоту лазера в заданих межах дозволяє використання від’ємного зворотного зв’язку (рис. Д4.5). Таким чином, на основі використання відомого явища – різночастотної інтерференції – ми отримали відому формулу Ейрі, що дозволяє поглянути під новим кутом зору на процеси, які відбуваються у ІФП. Наведені ілюстрації використання ІФП для дослідження випромінювання двомодового гелійнеонового лазера показують динаміку поведінки мод у резонаторі і можливості її візуалізації.

Рис. Д4.5. Запис протягом 130 с

випромінювання лазера, стабілізованого за частотою.

ν – частота випромінювання; вздовж вертикальної осі

– інтенсивність випромінювання (в.о.).

У позиціях 0 - 10, 50 - 130 система стабілізації працює,

10 - 25 – система стабілізації вимкнена, 25 - 50 – процес

захоплення частоти при вмиканні зворотного зв’язку.

5. Деякі математичні співвідношення

Тригонометричні рівності:

Формули Ейлера

Ряд Тейлора

де f(x) - дійсна функція, що в інтервалі a ≤ x ≤ b має n -ту похідну

Розклад деяких функцій у ряд Тейлора

Параксіальне наближення

Комплексне представлення числа

Виділення повного квадрата

Інтеграл [22, C.116]

Інтеграл Пуассона [22, C.200]

Інтеграл у комплексній області вздовж контуру С, згідно теореми про лишки, дорівнює:

однозначна аналітична функція в області, об меженій контуром C, за винятком особливих точок zk . Зокрема, якщо особлива точка z≈z_k є простим полюсом, а функція дета-аналітичні в точціz_kфункції, причому, то

6. Точний і наближені вирази для амплітуди поля

Таблиця Д.1.

Точний вираз

Де

Наближення Френеля

Наближення Френеля

Наближення Фраунгофера