15. Обчислення довжин дуг кривих ліній.

Нехай задано дугу графіка функції, яку будемо вважати

неперервною та неперервно диференційовною на відрізку (рис. 15)

Рис. 15.

Розіб’ємо відрізок довільно обраними точками ділення на частинні :

.

Відмітимо на графіку функції точки з абсцисами відповідно. З’єднаємо їх відрізками прямих ліній. Дістанемо ламану лінію, яку вписано в дугу. Позначимо периметр цієї ламаної через.

Означення. Якщо існує і не залежить від способу вписування ламаної скінченна границя периметра цієї ламаної, коли найбільший її відрізок прямує до нуля, то крива називаєтьсяспрямною, а величина цієї границі називається довжиною дуги і позначається

. (15.1)

Позначимо ,,– довжину відрізка. Очевидно, що

.

За теоремою Лагранжа на інтервалі існує точкатака, що

.

Тоді

,

.

Це є інтегральна сума для функції . Оскількинеперервна, функціятакож неперервна, і тоді існує границя (15.1):

.

Отже дістали формулу:

. (15.2)

Приклад 1. Обчислити довжину дуги напівкубічної параболи на відрізку (рис. 16).

Рис. 16.

Маємо: . Отже

.

Приклад 2. Обчислити довжину графіка функції на відрізку.

Маємо: . Отже

.

Якщо криву задано параметрично:, де– неперервно диференційовні на проміжкуфункції, то:

. (15.3)

Приклад. Обчислити довжину однієї арки циклоїди, яка має параметричні рівняння:

.

Циклоїда – це лінія, яку описує точка на колі радіуса , яке котиться вздовж прямої лінії. У якості параметравиступає кут поворота кола (рис. 17).

Рис. 17.

За формулою (15.3) маємо:

.

Якщо криву задано у полярній системі координат , де– неперервно диференційовна нафункція, то можна довести, що

. (15.4)

Приклад. Обчислити довжину дуги логарифмічної спіралі за умовою(рис. 18).

Рис. 18.

Внаслідок того, що , дістаємо:, отже за формулою (15.4) матимемо:

через те, що . Зауважимо, що інтеграл, який тут виникає – невласний 1-го роду.

16. Обчислення об’ємів тіл.

Розглянемо деяке тіло (рис. 19). Позначимо черезплощу перерізу цього тіла площиною, яка проходить перпендикулярно деякій осі через точку з координатоюна цій осі.

Розіб’ємо відрізок на частинні відрізки точками:

Рис. 19.

і проведемо через ці точки площини, перпендикулярні відрізку . На кожному з частинних відрізківоберемо довільну точку. Площини розбивають наше тілона елементарні циліндри. Площа основи циліндрадорівнює, а висота. Сумарний об’єм всіх циліндрів:

.

Границя цієї суми при (якщо вона існує) називається об’ємом даного тіла. Очевидно, що– це інтегральна сума для функції, отже об’єм тіла :

.

Таким чином доведено формулу:

. (16.1)

Розглянемо, зокрема, об’єм тіла, яке утворено обертанням фігури, обмеженої графіком функції, відрізкомосі та прямими та , навколо осі(рис. 20).

Рис. 20.

Тоді площа перерізу , і згідно з формулою (16.1):

. (16.2)

Якщо така ж сама фігура обертається навколо осі , то можна довести, що об’єм утвореного тіла дорівнює:

. (16.3)

Нехай тепер рівняння лінії, що обмежує нашу фігуру, задано у параметричній формі: ,,, причому функціяприпускається неперервно диференційовною, а функція– неперервною на відрізку. Тоді, якщо фігура обертається навколо осі, то об’єм утвореного тіла дорівнює:

. (16.4)

Якщо та ж сама фігура обертається навколо осі , то об’єм утвореного тіла дорівнює:

. (16.5)

Нарешті розглянемо у полярній системі координат фігуру, яку обмежено променями ,() та графіком функції. Тоді об’єм тіла, утвореного обертанням цієї фігури навколо полярної осі, дорівнює:

. (16.6)

Приклади.

1. Знайти об’єм еліпсоїда

.

У перерізі еліпсоїда площиною, паралельною площині на відстані

від неї утворюється еліпс:

,

або:

.

Півосі цього еліпса , і його площа дорівнює (див. приклад після формули (14.2)):

.

Тому за формулою (16.1) маємо:

(перевірте самостійно). Зокрема, якщо , дістаємо формулу об’єму кулі:

.

2. Знайти об’єм тіла, утвореного обертанням графіка функції навколо відрізкаосі.

За формулою (16.2) маємо:

.

3. Знайти об’єм тіла, утвореного обертанням фігури, обмеженої графіком функції , відрізкомосі, та прямими,: а) навколо осі; б) навколо осі.

Об’єм тіла, утвореного обертанням даної фігури навколо осі , знайдемо за формулою (16.2):

.

Об’єм тіла, утвореного обертанням тієї ж фігури навколо осі , знайдемо за формулою (16.3):

.

4. Знайти об’єм тіла, утвореного обертанням фігури, обмеженої аркою циклоїди ,,навколо: а) осі; б) осі.

Об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі , знайдемо за формулою (16.4):

.

Об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі , знайдемо за формулою (16.5):

(обчислення інтегралів перевірте самостійно).

5. Знайти об’єм тіла, утвореного обертанням фігури, обмеженої кардіоїдою ,, навколо полярної осі.

Внаслідок симетрії кардіоїди відносно полярної осі (рис. 14), тіло, яке утворено обертанням всієї кардіоїди навколо полярної осі, співпаде з тілом, яке утворено обертанням тільки верхньої половини кардіоїди, яка відповідає зміні кута віддо. Тоді, користуючись формулою (16.6), дістанемо:

.