13. Приклади дослідження невласних інтегралів на абсолютну та умовну збіжність.

Приклад 1. Дослідити на абсолютну та умовну збіжність інтеграл

.

Зробимо заміну змінної , тоді,, тому

. (13.1)

Функція обмежена, а функціїтамонотонно прямують до нуля при, отже обидва інтеграли в (13.1) збіжні за ознакою Діріхле, отже інтегралзбіжний. Покажемо, що інтеграл, де, розбіжний. Дійсно,при; .

Розглянемо інтеграл . Перший з цих інтегралів розбіжний, а другий збіжний за ознакою Діріхле, отже інтегралрозбіжний. Тоді за теоремою 2 інтегралрозбіжний, отже інтегралзбігається умовно.

Приклад 2. Дослідити на абсолютну та умовну збіжність інтеграл Френеля:

.

Маємо: , де,. Інтеграл– звичайний власний інтеграл Рімана, тому питання про збіжність інтеграларівносильне питанню про збіжність інтеграла. В інтегралізробимо заміну:. Тоді,, отже

.

Звідси видно, що цей інтеграл збіжний за ознакою Діріхле (функція обмежена, а функція монотонно прямує до нуля при). Покажемо, що він збіжний умовно. Дійсно, оскільки, а інтегралрозбіжний (див. п. 11, приклад 1), то розбіжним є інтеграл, отже інтегралзбіжний умовно, а тоді збіжний умовно й інтеграл.

Аналогічні висновки стосуються й другого інтеграла Френеля .

Приклад 3. Дослідити на абсолютну та умовну збіжність інтеграл

.

Пригадаємо (п. 10, приклад 5), що інтеграл

збігається при та при, і розбіжний при всіх інших.

Розглянемо окремо випадки.

1. . Оскільки , а інтегралзбігається, то інтегралзбігається абсолютно.

2. . Також інтеграл збігається абсолютно.

3. . Оскільки , і функціяобме-

жена, то інтеграл збігається за ознакою Діріхле. Розглянемо:

.

Перший з цих інтегралів розбіжний (обчислюється безпосередньо), а другий збіжний (за ознакою Діріхле). Таким чином інтеграл розбіжний, отже інтегралзбігається умовно.

4. . Оскільки , і функціяоб-

межена, то інтеграл збіжний за ознакою Діріхле. Розглянемо:

.

Перший з цих інтегралів розбіжний, а другий збіжний (за ознакою Діріхле), отже інтеграл збіжний умовно.

5. . Інтеграл збіжний за ознакою Діріхле (функція моно-

тонно прямує до нуля при , функціяобмежена).

Розглянемо:

.

Перший з цих інтегралів розбіжний, а другий збіжний за ознакою Діріхле, отже інтеграл збіжний умовно.

6. . У цьому випадку отримуємо інтеграл , який, оче-

видно, розбіжний.

7. . Позначивши , запишемоу вигляді:

.

Доведемо наступний результат. Нехай функція неперервна та додатна на,. Тоді інтегралрозбіжний.

Скористаємось критерієм Коші. Покажемо, що існує таке, що для будь якогознайдутьсятакі, що

. (13.2)

Візьмемо для довільного натуральне числотак, щоб. Тоді, і покладемо,. Оскільки на відрізкуфункціяне змінює знаку та інтегровна, то на підставі теореми про середнє значення існуєтаке, що

.

Тоді

.

Оскільки ,, то. Отже завжди можна обратинастільки великим, щоб. І тоді рівність (13.2) виконано, тобто згідно критерію Коші інтегралрозбіжний. З цього результату одразу ж випливає розбіжність інтеграла, оскільки функціяпринеперервна, додатна, і.

8. . Позначивши , запишемо інтеграл у вигляді:

.

Функція пританеперервна, додатна, і. Тому на підставі того ж твердження, інтегралрозбіжний.

Отже остаточно, інтеграл

при збігається абсолютно;

при збігається абсолютно;

при збігається умовно;

при збігається умовно;

при збігається умовно;

при розбігається;

при розбігається.

У відомій кінострічці «Зустріч на далекому меридіані» за романом Мітчела Уїлсона два головних персонажа фізики намагаються з’ясувати причини розбіжності у своїх дослідженнях між експериментальними даними і теоретичними результатами. І виявилося, що справа в тому, що вони не дослідили на збіжність один з інтегралів, що там виникало. А він оказався розбіжним, чого вони не врахували і працювали з ним як із збіжним. Ось для чого і фізикам доводиться займатися викладеними вище питаннями.