- •Визначений інтеграл та його застосування.
- •1. Задачі, що приводять до поняття визначеного інтеграла.
- •2. Означення та умови існування визначеного інтеграла.
- •Приклади обчислення визначеного інтеграла. За означенням.
- •4. Властивості визначеного інтеграла.
- •5. Інтеграл зі змінною верхньою межею. Формула Ньютона–Лейбніца.
- •6. Приклади використання формули Ньютона–Лейбніца.
- •7. Заміна змінної та інтегрування за частинами у визначеному інтегралі.
- •Невласні інтеграли I роду.
- •9. Невласні інтеграли II роду.
- •Приклади дослідження невласних інтегралів на абсолютну та умовну збіжність.
- •14. Обчислення площ плоских фігур.
- •15. Обчислення довжин дуг кривих ліній.
- •16. Обчислення об’ємів тіл.
- •17. Обчислення площ поверхонь тіл обертання.
- •18. Фізичні застосування визначеного інтеграла.
- •19. Наближене обчислення визначених інтегралів.
- •Рекомендована література. Базова.
- •Допоміжна
14. Обчислення площ плоских фігур.
Визначений інтеграл має чисельні застосування у багатьох галузях знань – у геометрії, фізиці, механіці, хімії, біології, економіці та інших. Тут ми розглянемо застосування визначеного інтеграла для розв’язання деяких геометричних задач.
1. Обчислення площ плоских фігур у прямокутній декартовій системі
координат.
Розглянемо фігуру, яку обмежено графіками функцій
та, де – неперервні на відрізку функції, на відрізку , а також вертикальними прямими(рис. 8.6).
Виходячи з геометричного змісту визначеного інтеграла, можемо стверджувати, що площа фігури ABCD дорівнює різниці площ двох криволінійних трапецій:
. (14.1)
Рис. 8.
Приклади.
1. Обчислити площу фігури, яку обмежено лініями (рис. 9).
Рис. 9.
На підставі формули (14.1) маємо:
.
2. Обчислити площу фігури, яку обмежено графіками функцій ,(рис. 10).
Рис. 10.
Знайдемо спочатку межі інтегрування, як абсциси точок перетину графіків функцій ,. Дорівняємо:
Або . Розв’язуючи це квадратне рівняння, отримаємо:
.
Отже
.
2. Обчислення площі фігури, обмеженої лініями, які задані параметрично.
Нехай криволінійна трапеція обмежена кривою, заданою параметрично:
,
де – неперервні і неперервно диференційовні на проміжкуфункції. Якщо функціямонотонна наі,, то площа криволінійної трапеції обчислюється за формулою:
. (14.2)
Приклад. Обчислити площу, обмежену еліпсом ,(рис. 11).
Рис. 11.
Очевидно, що шукана площа може бути знайдена як помножена на 4 площа її частини, що розташована у першому квадранті, адже еліпс – фігура, яка симетрична відносно обох координатних осей. Для цієї частини маємо:
, . Тому:
.
3. Обчислення площі фігури у полярній системі координат.
Розглянемо фігуру , обмежену кривою, заданою у полярній системі координаті променями(рис. 12).
Рис. 12.
Така фігура називається криволінійним сектором. Обчислимо його площу. Розіб’ємо відрізок довільно обраними точками
на частинні відрізкі . Фактично це означає, що кутми розбили на частинні куточки. На кожному з відрізківоберемо довільну точку. І на кожному з частинних відрізків (куточків) побудуємо круговий сектор, який обмежено променямиі дугою кола(рис. 13).
Рис. 13.
Площа цього сектора дорівнює:
, де . Сумає інтегральною сумою для функціїна відрізку. Отже
.
Таким чином площа криволінійного сектора обчислюється за формулою:
. (14.3)
Приклад. Обчислити площу, обмежену кардіоїдою (рис. 14)
Рис. 14.
Кардіоїда – це траєкторія точки на колі, яке котиться по іншому колу того ж радіуса. Назва цієї лінії походить від грецького слова – серце, її форма нібито нагадує серце. Правда, декому щось інше.
Фігура, обмежена кардіоїдою, симетрична відносно осі , тому її площу можна обчислити як подвоєну площу її верхньої частини. Для неї, тому
.