17. Обчислення площ поверхонь тіл обертання.

Нехай графік неперервної та неперервно диференційовної функції обертається навколо відрізкаосі. Тоді площа поверхні утвореного таким чином тіла знаходиться за формулою:

. (17.1)

Якщо криву задано в параметричній формі , де– неперервно диференційовні на відрізкуфункції, причому, то

. (17.2)

Якщо криву задано рівнянням у полярній системі координат ,, то площа поверхні тіла, яке утворено обертанням фігури, обмеженої графіком функціїта променями,навколо полярної осі, дорівнює:

. (17.3)

Приклади.

1. Знайти площу поверхні параболоїда, утвореного обертанням навколо осі дуги параболи(рис. 21).

Рис. 21.

Маємо:

,

і згідно з формулою (17.1):

.

2. Знайти площу поверхні еліпса з півосями і().

Запишемо рівняння еліпса в параметричній формі: ,. Введемо до розгляду ексцентриситет еліпса:. Шукану площу можна отримати як подвоєну площу поверхні тіла, утвореного обертанням чверті еліпса, розташованої у 1-му квадранті, навколо осі. Отже згідно з формулою (17.2) маємо:

.

Зокрема, з цієї формули при () отримується формула площі поверхні сфери радіуса:.

3. Знайти площу поверхні тіла, утвореного обертанням лемніскати Бернуллі навколо полярної осі.

Шукану площу знайдемо як подвоєну площу поверхні тіла, утвореного обертанням чверті лемніскати, розташованої у 1-му квадранті, тобто . Згідно з формулою (17.3) маємо:

.

18. Фізичні застосування визначеного інтеграла.

Припустимо, що треба визначити деяку сталу величину (геометричну, фізичну, або якусь іншу), яка пов’язана з проміжком. При цьому припускається наступне.

Розіб’ємо відрізок точками ділення на частинні відрізки . Тоді відповідним чином розбивається і величина, тобто кожному з відрізківвідповідає величина, і виконана рівність:

.

Легко помітити, що всі величини, які ми обчислювали у п.8 (площа фігури, довжина дуги, об’єм тіла) задовольняють це припущення.

Така властивість величини називаєтьсяадитивністю.

Схема застосування визначеного інтеграла до задач механіки і фізики (як, власне, і геометрії) полягає у наступному: розглянемо деякий елементарний відрізок довжини, що належить відрізку. Цьому проміжку відповідає елементвеличини. Виходячи з умов задачі, намагаються знайти длянаближений вираз, який лінійний відносно, тобто віділяють зйого головну частину – диференціал.

Відносна помилка цієї наближеної рівності, а саме величина прямує до нуля разом з.

Тоді кожному з частинних проміжків буде відповідати наближене значення,. І шукана величинанаближено буде дорівнювати:

.

Права частина цієї рівності – інтегральна сума для функції . Отже точне значення величиниможе бути подано інтегралом

. (18.1)

Можна виходити також з рівностей , інтегруючи останню рівність у межах віддо, отримаємо (18.1).

Слід в той же час відмітити, що у реальних фізичних задачах розбиття відрізку на як завгодно малі відрізки принципово неможливо. Справа у тому, що величини цих відрізків залежать від конкретних умов. Наприклад, внаслідок атомістичної структури речовини ця величина не може бути зробленою меншою, ніж деяка задана величина. А тому граничний перехід прине може бути виконано до кінця. Це означає, що точна рівність (18.1) – деяка ідеалізація. Фактично в фізичних задачах під інтегралом розуміється не границя послідовності інтегральних сум, а сума великого числа достатньо малих доданків.

1. Обчислення пройденого шляху.

Нехай точка рухається вздовж деякої осі, і миттєва швидкість цієї точки у момент часудорівнює. Треба знайти шлях, який пройде точка від моменту часудо моменту.

Якби швидкість була сталою величиною (), така задача розв’язувалась би дуже просто: . Але – змінна величина.

Розіб’ємо відрізок на частинні і в кожному з них оберемо довільну точку (момент часу). Відрізки ці можна обрати настільки малими, що швидкість за цей малий проміжок часуне встигає суттєво змінитися, і тоді на кожному з відрізків швидкість наближено можна вважати сталою. І тоді шлях, пройдений точкою за цей проміжок часу наближено дорівнює, а весь шлях:

.

Переходячи тепер до границі при , отримаємо:

. (18.2)

Приклад. Миттєва швидкість точки . Знайти шлях, який точка пройшла від моменту часудо.

Згідно з формулою (18.2) маємо:

.

2. Обчислення роботи сили.

У п. 2 ми визначили, що робота сили, що діє вздовж напряму руху на відрізку, обчислюється за формулою

. (18.3)

Приклад 1. Обчислити роботу, яку треба затратити, щоб тіло маси підняти з поверхні Землі вертикально вгору на висоту, якщо середній радіус Землі дорівнює.

Згідно з законом Ньютона, сила притягання тіла Землею дорівнює:

,

де – маса Землі,– гравітаційна стала,– відстань від центра тіла до центра Землі (рис. 22).

Рис. 22.

Якщо , тобто тіло знаходиться на поверхні Землі, то– вага тіла, тобто:

.

Звідси:

.

За формулою (18.3) маємо:

.

Приклад 2. Знайти роботу, яку треба витратити, щоб викачати воду з резервуару, що має форму прямого кругового циліндра з радіусом основи та висотою.

За один цикл роботи насосу рівень води, що знаходиться на відстані від верхньої основи резервуару під дією сили тяжіннязнизився на величину(рис. 23).

Рис. 23.

При переміщенні шару води товщиною на відстаньвиконується робота:

.

Інтегруючи цю рівність у межах від 0 до , отримаємо шукану роботу:

.

Приклад 3. Знайти роботу, яку треба витратити, щоб викачати воду з конічного резервуару, оберненого вершиною вниз. Радіус основи конуса , а висота.

Задача відрізняється від попередньої лише тим, що інакше буде обчислюватися елемент об’єму . У цьому випадку (рис. 24):

Рис. 24.

, де

.

Тоді аналогічно попередній задачі маємо:

.

Інтегруючи цю рівність у межах від 0 до , отримуємо:

.

3. Обчислення маси і координати центру ваги неоднорідного стрижня.

Розглянемо неоднорідний стрижень, розташований на відрізку осі(рис. 25) .

Рис. 25.

Нехай – лінійна густина стрижня у точці з координатою. Треба знайти масу стрижня.

Виділимо на елементарний відрізок. Тоді елемент масина цьому відрізку наближено дорівнює

.

Інтегруючи в межах від до, дістаємо:

. (18.4)

Для обчислення координати центра ваги стрижня користуються формулою:

. (18.5)

Приклад. Обчислити масу і координату центра ваги стрижня, розташованого на відрізку , якщо його лінійна густина

.

Згідно з формулою (18.4) маємо:

.

Згідно з формулою (18.5):

.

1. Обчислення тиску рідини на вертикально занурену пластину.

Розглянемо вертикальну пластину, яку занурено у рідину на глибині . Введемо систему координат, причому вісьнапрямимо горизонтально по поверхні рідини, а вісь– вертикально вниз. Пластину будемо вважати плоскою фігурою, обмеженою лініямиі графіками функцій(рис. 26).

Треба знайти повний гідростатичний тиск на пластину. Згідно з законом Паскаля³тискрідини на горизонтальну площадку дорівнює:

,

де – густина рідини,– глибина занурення,– прискорення вільного падіння,– площа пластини. Якщо пластина вертикальна, то її різні точки лежатимуть на різних глибинах, і цією формулою безпосередньо користува-

тися не можна. Виділимо елементарну площадку шириною , яка лежить на глибині; наближено її можна вважати прямокутною за рахунок малості величини, тоді її елементарна площа:

.

Елементарний тиск на цю площадку дорівнює

.

Інтегруючи в межах від до, дістаємо шуканий тиск на всю пластину:

. (18.6)

Рис. 26.

Розглянемо приклади.

Приклад 1. Нехай пластина має формі напівкруга радіуса , і діаметр круга знаходиться на поверхні рідини (рис. 27).

Рис. 27.

Легко дістаємо: ,,, і згідно з формулою (18.6):

(обчислення інтеграла перевірте самостійно).

Приклад 2. Нехай пластина має форму рівнобедреного трикутника з основою і бічними сторонами, довжина яких дорівнює, причому основа знаходиться на поверхні рідини (рис. 28).

Рис. 28.

Легко зрозуміти, що у цьому випадку , де

.

Далі:

,

і згідно з формулою (18.6) матимемо:

(обчислення інтеграла перевірте самостійно).

2. Обчислення часу витікання рідини з отвору.

Розглянемо резервуар, що має форму тіла, утвореного обертанням графіка функції навколо відрізкуосі, причому вісьнапрямимо вертикально вниз,а вісь– горизонтально вправо (рис. 29). В дні цього резервуару є круглий отвір радіусу. Треба обчислити, за який час рідина, яка цілком заповнює резервуар, вся витече через цей отвір.

Скористаємось формулою Торрічеллі⁴, яка виражає швидкістьвитікання рідини з отвору в резервуарі, що знаходиться на відстанінижче рівня рідини:

, де – прискорення вільного падіння, а– коефіцієнт, який залежить від властивостей рідини (для води).

Рис. 29.

Нехай – довільна точка відрізку. Припустимо, що за часрівень рідини у резервуарі за рахунок витікання з отвору змінився з на величину. Знайдемо об’єм рідини, що витекла за час . З одного боку цей об’єм наближено дорівнює об’єму циліндра висотою і радіусом:

.

З іншого боку цей самий об’єм дорівнює об’єму циліндра радіусом і висотою(шлях, пройдений рідиною, що витікає з отвору, за час):

.

Тоді з урахуванням формули Торрічеллі, з точністю до величин порядку :

.

Або:

.

Інтегруючи цю рівність у межах від 0 до , отримуємо шуканий час:

. (18.7)

Помітимо, що інтеграл у правій частині формули (18.7) є невласним інтегралом II роду, особлива точка . Треба, щоб цей інтеграл був збіжним.

Приклад. За який час вода витече з резервуару, що має форму півкулі радіусу через круглий отвір радіусуу його дні?

У даному випадку маємо: ,. Згідно з формулою (18.7):

.