2. Приклади обчислення визначеного інтеграла. За означенням.

Наведемо приклади обчислення визначеного інтеграла, як кажуть, за означенням, тобто як границі інтегральних сум.

Приклад 1. Обчислити:

.

Розіб’ємо відрізок довільним чином на частинні відрізки і складемо інтегральну суму:

.

Незалежно від обрання точок буде виконано:, тому:

.

І отже:

.

Приклад 2. Обчислити:

.

Оскільки функція неперервна на всій числовій прямій, вона інтегровна на відрізку. Розіб’ємо відрізок нарівних частинних відрізків точками ділення, де. Очевидно, що,,. За точкивізьмемо. Складемо інтегральну суму:

.

Тут ми скористалися формулою:

.

Тоді

.

Отже

.

Приклад 3. Обчислити:

.

Оскільки функція неперервна на всій числовій прямій, вона інтегровна на відрізку. Розіб’ємо відрізок нарівних частинних відрізків точками ділення, де. Очевидно, що,,. Таким чином у даному випадку умова(або) еквівалентна умові. За точкивізьмемо. Складемо інтегральну суму:

.

Тут скористалися формулами:

, ,.

З урахуванням рівності тепер маємо:

.

Звідси

.

Отже

.

Вже ці приклади показують, що обчислення інтегралів за означенням досить складна задача, навіть для відносно простих функцій. Тому таким методом користуються рідко. Нижче ми наведемо формулу, за якою інтеграл обчислюється набагато простіше. Щоправда, ця формула виводиться у припущенні, що функція неперервна на відрізку.

4. Властивості визначеного інтеграла.

Тут ми сформулюємо деякі важливі властивості визначеного інтеграла, які нам будуть потрібні у подальшому.

1. Величина визначеного інтеграла не залежить від позначення змінної інтегрування.

.

2. Якщо верхня межа інтегрування співпадає з нижньою, то інтеграл дорівнює нулю.

.

3. Від переставлення місцями меж інтегрування отримується інтеграл, який дорівнює даному з протилежним знаком.

.

4. Якщо функція інтегровна на максимальному з відрізків , ,то справедлива рівність:

. (4.1)

Доведення. Припустимо спочатку, що . Розіб’ємо відрізок на частинні так, щоб точка була точкою розбиття, наприклад. Тоді

.

Цей факт добре ілюструється геометрично (рис. 4).

Рис. 4.

.

Формула (4.1) зберігає справедливість і у випадку, коли . Припустимо, наприклад що. Тоді згідно за попереднім:

.

На підставі властивості 3 маємо:

, і тоді:

, а звідси і випливає формула (4.1). Випадок розглядається аналогічно.

5. Сталий множник можна виносити за знак визначеного інтеграла:

.

6. Якщо функції таінтегровні на відрізку, то функції,також інтегровні на відрізку, причому:

.

7. Якщо функції таінтегровні на відрізку, то функціятакож інтегровна на відрізку.

8. Якщо , то

.

9. Якщо , то

.

10. Якщо функція інтегровна на, то функціятакож інтегровна на відрізку, причому:

.

11. Якщо , то

.

Дійсно

.

12. Теорема (про середнє значення функції). Нехай функція неперервна на відрізку , а функція інтегровна на відрізку, і на відрізкузберігає свій знак, тобтопри, абопри. Тоді на відрізкуіснує точкатака, що виконуватиметься рівність:

.

Доведення. Нехай для визначеності при. Оскільки функціянеперервна на відрізку, то згідно з 2-ю теоремою Вейєрштрасса ця функція досягає на цьому відрізку свого найменшого та найбільшого значень. Тоді:

.

Внаслідок неперервності функції на відрізкувона на цьому відрізку інтегровна, а, оскільки функціяна відрізкутакож інтегровна, то інтегровною набуде й функція. А тоді

. (4.2)

Якщо , то з (4.2) випливає, що, і тоді твердження теореми доведено. Нехай, тоді, оскільки. Тому:

,

де

.

Внаслідок неперервності функції на відрізкуна підставі 2-ї теореми Больцано–Коші на відрізкуіснує точкатака, що, тобто

,

звідки й випливає твердження теореми.

Наслідок. Якщо, зокрема на, то для неперервної нафункціїіснуєтаке, що:

,

оскільки (див. п.3).

Величина називаєтьсясереднім значенням функції на відрізку.

Теорема про середнє значення та наслідок з неї дає можливість оцінювати величини інтегралів без їх безпосереднього обчислювання.

Приклад. Оцінити величину інтеграла:

.

Покладемо в теоремі про середнє значення ,. Тоді:

(тут скористалися рівністю – див. п.3).