8. Невласні інтеграли I роду.

Поняття визначеного інтеграла Рімана, як ми бачили, має зміст для скінченного проміжку і для обмеженої на цьому проміжку функції. Якщо хоч би одна з цих умов не виконана, то інтеграла у власному розумінні не існує. Тому виникає необхідність поширити поняття інтеграла на випадки нескінченного проміжку та необмеженої функції. Відповідно виникають інші поняття – так званих невласних інтегралів I роду (у випадку нескінченного проміжку) та II роду (у випадку необмеженої на проміжку функції). Ми почнемо з поняття невласного інтеграла I роду.

Нехай функція визначена на проміжку і інтегровна на будь якому відрізку, де.

Означення. Невласним інтегралом I роду від функції на проміжкуназивається границя

. (8.1)

Якщо ця границя існує та скінченна, інтеграл (8.1) називається збіжним, у протилежному випадку – розбіжним.

Таким чином невласний інтеграл I роду не є границею інтегральних сум, а є границею визначеного інтеграла зі змінною верхньою межею. З геометричної точки зору він виражає площу необмеженої області (рис. 5).

Рис. 5.

Аналогічно означається невласний інтеграл I роду на проміжку :

(8.2)

А також можливі невласні інтеграли з обома нескінченними межами:

, (8.3) де – довільне число. Інтеграл у лівій частині формули (8.3) збігається тоді і тільки тоді, коли незалежно один від одного збігаються обидва інтеграли у правій частині цієї формули.

Приклади.

1. Дослідити на збіжність та у випадку збіжності обчислити інтеграл?

.

Маємо:

.

Отже інтеграл збіжний, і його значення дорівнює .

2. Дослідити на збіжність інтеграл

.

Маємо:

.

Відомо, що функція не має границі при. Отже даний інтеграл розбіжний.

3. Дослідити на збіжність інтеграл

.

Маємо:

.

Отже даний інтеграл розбіжний (границя існує, але вона нескінченна).

4. .

Даний інтеграл збіжний, і його значення дорівнює 1.

5. Визначимо, для яких значень параметра збігається інтеграл:

.

У випадку маємо:

, тобто інтеграл розбіжний.

Якщо , то

, отже інтеграл збіжний.

Якщо , то

, і інтеграл розбіжний. Таким чином є збіжним, коли, і розбіжним, коли.

9. Невласні інтеграли II роду.

Розглянемо тепер функцію , яка визначена на півінтервалі, і нехай виконана умова:

(9.1)

Точку будемо називати особливою точкою функції. У цій точці графік функції має вертикальну асимптоту (рис. 6).

Рис. 6.

Нехай функція інтегровна на будь якому проміжку , де.

Означення. Невласним інтегралом II роду від функції називається границя:

. (9.2)

Якщо границя (9.2) існує і скінченна, то інтеграл називається збіжним, у протилежному випадку – розбіжним.

Якщо особливою точкою функції є точка, то:

. при умові, що функція інтегровна на проміжку, де також.

Нарешті, якщо особливою точкою є деяка точка всередині проміжку, то за означенням покладають:

. (9.3)

Якщо існують окремо скінченні границі

то інтеграл у лівій частині рівності (8.8.3) називається збіжним, а якщо хоч би одна з цих границь не існує, або нескінченна – розбіжним.

Якщо особливими являються точки і, то за означенням:

, де – довільна точка інтервалу. Інтеграл у лівій частині рівності буде збіжним тоді і тільки тоді, коли збіжні обидва інтеграли у правій частині рівності.

З геометричної точки зору інтеграл II роду (9.2) також, як і невласний інтеграл I роду, виражає площу нескінченної фігури (рис. 7).

Рис. 7.

Але якщо у випадку інтеграла I роду нескінченність, так кажучи, відносно осі (рис. 5), то тут – відносно осі . Фактично це така ж сама нескінченна криволінійна трапеція, тільки повернута на кут 90 градусів. А це свідчить про те, що між невласними інтегралами I та II роду існує певний зв’язок. Дійсно, нехай, наприклад, особливою точкою функції є точка. Тоді

.

У останньому інтегралі позначимо:

.

Якщо , то очевидно, і ми отримуємо:

.

Таким чином звели невласний інтеграл II роду до невласного інтегралу I роду.

Приклади. Дослідити на збіжність і у випадку збіжності обчислити інтеграли.

1) .

У даному прикладі особливою є точка . Маємо:

.

Отже інтеграл збіжний, і його значення дорівнює .

2) .

Особливою є точка , оскільки. Маємо:

Отже інтеграл розбіжний.

3) Встановити, для яких значень параметра інтеграл збігається, а дл яких розбігається:

.

Якщо , то інтеграл не є невласним, оскільки підінтегральна функціябуде обмеженою на відрізку. Отже залишилось дослідити випадок. Тоді особливою точкою буде точка. Нехай спочатку. Маємо:

, отже інтеграл розбіжний. Нехай тепер . Тоді:

Отже інтеграл збігається, якщо , і розбігається, якщо.

Повернемось до прикладу, який ми розглянули в п. 6, а саме до інтегралу

.

Ми встановили, що безпосереднє використання формули Ньютона – Лейбніца приводить до абсурдного результату – інтеграл дорівнює від’ємному числу, хоча зобов’язаний бути додатним. Тепер ми можемо сказати, що цей інтеграл невласний – особливою є точка , яка належить інтервалу. Розіб’ємо цей інтеграл на два інтеграли

, де

, .

Оскільки, як було встановлено в прикладі 3), інтеграл розбіжний, то розбіжним буде й інтеграл. Таким чином про його обчислення взагалі не може йти мова.

10. . Ознаки збіжності невласних інтегралів. I.

У багатьох випадках встановлювати збіжність інтеграла шляхом його безпосереднього обчислення досить складна задач. Тому якщо треба встановити тільки сам факт збіжності чи розбіжності, користуються деякими достатніми умовами збіжності.

Теорема 1. Нехай функція. Тоді для збіжності невласного інтегралаI роду необхідно і достатньо, щоб функціябула обмежена зверху, тобто ,:.

Доведення. Достатність. Нехай обмежена зверху. Оскільки, тоє неспадною, тобто монотонною. На підставі теореми про границю монотонної та обмеженої функції, існує, тобто інтегралзбіжний.

Необхідність. Нехай інтеграл збіжний, тобто існує. Тоді на підставі тієї ж теореми про існування границі монотонної та обмеженої функції маємо:, і тоді:, тобто функціяобмежена зверху.

Теорема 2. Якщо на проміжку функціїтанеперервні, та, то зі збіжності інтеграла

(10.1) випливає збіжність інтеграла

, (10.2) а з розбіжності інтеграла (10.2) випливає розбіжність інтеграла (10.1).

Доведення. I. Оскільки функції танеперервні на, вони інтегровні на будь якому проміжку, де. Оскільки, то на підставі властивості 9 інтеграла маємо, що:

.

Оскільки інтеграл (10.1) збігається, то за теоремою 1 функція обмежена зверху, а тоді обмежена зверху й функція. Тоді на підставі теореми 1 існує, тобто інтеграл (10.2) збіжний.

II. Якщо інтеграл (10.2) розбіжний, то розбіжним буде і інтеграл (10.1), оскільки в протилежному випадку на підставі I інтеграл був би збіжним.

Теорема 3. Якщо , , таіснує границя

, то інтеграли (10.1), (10.2) водночас обидва збігаються, або водночас розбігаються.

Доведення. Нехай збігається інтеграл (10.1). З умови теореми маємо:

виконано . Або, що те ж саме:, звідки маємо, якщо тільки.

Оскільки

, то інтеграл збіжний. Отже збіжний і інтеграл. Тоді за теоремою 2 є збіжним інтеграл, а оскільки

, то інтеграл (10.2) збіжний.

Переписавши умову теореми у вигляді:

, де , отримаємо, що із збіжності інтеграла (10.2) випливає збіжність інтеграла (10.1). Таким чином інтеграли (10.1) та (10.2) збігаються та розбігаються водночас, а отже вони водночас і розбігаються.

Теореми, аналогічні теоремам 1 – 3, мають місце і для невласних інтегралів II роду.

Приклади.

1. Дослідити на збіжність інтеграл

.

Маємо:

, а оскільки інтеграл

збігається (це інтеграл для), то згідно з теоремою 1 збігається і наш інтеграл.

2. Встановимо збіжність дуже важливого інтеграла Пуассона^*:

.

Зауважимо, що , де

.

–це інтеграл від обмеженої функції на скінченному проміжку, і оскільки функція неперервна, інтеграл існує у власному розумінні. Стосовно другого інтеграла маємо:, а оскільки

, тому цей інтеграл збіжний, отже збіжний за теоремою 1 інтеграл , а звідси випливає збіжність інтеграла.

3. Дослідити на збіжність інтеграл

.

Маємо:

, і оскільки інтеграл

розбіжний (це інтеграл при), то внаслідок теореми 2 розбіжний і наш інтеграл.

4. Дослідити на збіжність інтеграл

.

Особливою точкою є точка . Оскільки

, то збіжність даного інтегралу рівносильна збіжності інтегралу . Тому розглянемо:

, тобто інтеграл розбіжний. А отже розбіжний і початковий інтеграл.

5. З’ясувати, при яких значеннях параметрів збігається, а при яких

розбігається інтеграл:

.

Розглянемо три можливі випадки: .

1. . Тоді , де. Запишемо підінтегральну функцію у ви-

гляді:

, де .

Оскільки прита, то існує числотаке, щовиконано:. Тому при:.

Інтеграл призбіжний, отже за теоремою 2 збіжний й інтеграл, а тоді збіжний й інтеграл.

Таким чином, якщо , то інтегралзбіжний.

2. . Тоді

.

Цей інтеграл збіжний при і розбіжний при(приклад 5, п. 8).

3. . Тоді ,. Подамо підінтегральну функцію у вигляді:

, де .

Маємо:

, отже існує число таке, що при:. Тому при:.

Інтеграл прирозбіжний, отже за теоремою 2 розбіжним буде й інтеграл, а тоді розбіжним буде й інтеграл.

Таким чином інтеграл збігається при(будь яке), при,, і розбігається при всіх інших.

6. Дослідити на збіжність інтеграл:

.

Цей невласний інтеграл II роду має дві особливі точки та.

Подамо інтеграл у вигляді , де

, ,

, і дослідимо окремо збіжність кожного з цих інтегралів.

а) .

Зробимо заміну змінної . Тоді, якщо, то, і при:;,, і інтегралII роду перетворюється на інтеграл I роду:

.

Розглянемо інтеграл

.

При :. Інтегралзбіжний, він дорівнює. Тоді за теоремою 2 збіжний й інтеграл, отже збіжний й інтеграл.

б) .

При :, тобто. Розглянемо

інтеграл

,

отже за теоремою 3 є розбіжним інтеграл . А тоді інтегралтакож розбіжний.

10. . Ознаки збіжності невласних інтегралів. II.

Теорема 4 (критерій Коші). Для збіжності невласного інтеграла

(11.1) необхідно і достатньо, щоб для будь якого існувало таке число, щоб привиконувалося нерівність:

. (11.2)

Доведення. Вводячи функцію , умову теореми можна переписати так:

.

А це є критерій Коші існування скінченної границі , тобто інтеграл (11.1) збігається тоді і тільки тоді, коли виконано нерівність (11.2).

Аналогічні твердження справедливі для невласних інтегралів II роду.

Теорема 5. Для збіжності невласного інтеграла

, (11.3)

де – особлива точка, необхідно і достатньо, щоб для будь якогоіснувало, що з нерівностей,випливала нерівність

.

З теорем 4 та 5 випливає наступна ознака збіжності інтегралів (11.1), (11.3).

Теорема 6. Якщо збігається інтеграл , то збігається інтег-

рал (11.1).

Доведення. З умови теореми на підставі теореми 4 маємо: , що, якщо тільки,. Але

,

отже для тих самих :, звідки внаслідок теореми 4 випливає збіжність інтеграла (11.1).

Теорема 7. Якщо збігається інтеграл , де точкаособлива, то збігається інтеграл (11.3).

Зауваження. Обернені твердження до теорем 6, 7 несправедливі, а саме із збіжності інтегралів (11.1), (11.3) не випливає відповідно збіжність інтегралів , .

Означення. Якщо інтеграл збігається, в той час, як інтегралрозбігається, то інтегралназиваєтьсяумовно збіжним. Якщо разом з інтегралом збігається і інтеграл, то інтегралназиваєтьсяабсолютно збіжним.

Аналогічні означення вводяться і для інтегралів II роду. Іншими словами, невласний інтеграл (I чи II роду) від функції називається абсолютно збіжним, якщо збіжний інтеграл від функції.

Приклади.

1. Дослідити на збіжність інтеграл

. (11.4)

1. Нехай ; тоді, і оскільки інтегралзбігаєть-

ся, то збіжним є й інтеграл (11.4).

2. Нехай . Покажемо, що інтеграл (11.4) розбігається. Для цього

скористаємось критерієм Коші, а саме покажемо, що існує таке, щотакі, що

.

Нехай . Покладемо,, де натуральне. Тоді, оскільки при,:, то

.

Таким чином можемо взяти , і на підставі теореми 4 інтеграл розбіжний.

2. Дослідити на абсолютну та умовну збіжність інтеграл

.

1. Нехай . Тоді, і, оскільки інтегралзбіжний, то

за теоремою 2 збіжним є інтеграл , отже інтегралзбіжний абсолютно.

2. Нехай . Інтегруючи за частинами, отримаємо:

.

Оскільки , а інтегралзбіжний абсолютно, тоє збіжним.

Розглянемо інтеграл при. Маємо:, а інтегралпри, як встановлено у попередньому прикладі, розбігається, отже розбігається й інтеграл, а це означає, що інтегралпризбігається умовно.

3. Нехай . Доведемо на підставі критерію Коші, що інтеграл

розбігається. Задамо і оберемотак, щоб. Покладемо:,. Длявиконано, і, крім того, приі:. Отже маємо:

.

Таким чином, обираючи в критерії Коші , отримуємо на його підставі, що інтегралрозбігається.

Отже інтеграл збігається абсолютно при, збігається умовно приі розбігається при.

10. . Ознаки збіжності невласних інтегралів. III.

Теорема 8 (ознака Діріхле). Нехай функція неперервна, а функція має неперервну похідну на проміжку, і виконано наступні умови:

1. функція обмежена на, тобто:;

2. функція зберігає свій знак на, тобтоабо;

3. .

Тоді інтеграл збігається.

Доведення. Скористаємось критерієм Коші, а саме покажемо, що :. Інтегруючи за частинами, дістанемо:

.

З умови 1) теореми випливає, що:

,

.

Якщо , то, а якщо, то. Тому, якщо, то

,

а якщо , то

.

Отже

.

Тому

.

Згідно з умовою 3) теореми: :.

Тому, якщо , то

, і таким чином, згідно критерію Коші, інтеграл збігається.

Теорему доведено.

Теорема 9 (ознака Абеля). Якщо функція неперервна на проміжку, інтегралзбігається, функціяобмежена на, та її похідназберігає свій знак, то інтегралзбігається.

Доведення. Оскільки зберігає свій знак, то функціямонотонна, і за теоремою про границю монотонної та обмеженої функції існує скінченна границя, тому функціямонотонно прямує до нуля при. Оскільки інтегралзбіжний, то функціяобмежена на. Тоді за ознакою Діріхле інтеграл. Але оскільки, то інтегралтакож збіжний.

Аналогічні твердження справджуються для невласних інтегралів II роду.

Приклад. Дослідити на збіжність інтеграл

, .

Оскільки інтеграл призбіжний (п. 11, приклад 2), а функціяобмежена та монотонна, то за ознакою Абеля інтегралзбігається.