54 Сферическое движение твердого тела. Эйлеровы углы. Уравнения сферического движения.

Сферическим движением (движением тела с одной закрепленной точкой) называется такое движение тела, при котором одна его точка О остается неподвижной во все время движения. Все остальные точки тела движутся при этом по траекториям, расположенным на поверхности сфер с центром в неподвижной точке О. Положение тела определяется углами Эйлера (рис. 1): углом прецессии φ, углом нутации θ и углом собственного вращения φ. Эти углы характеризуют положение координатного трехгранника осей Oξηζ, связанного с телом, по отношению к неподвижному трехграннику Oxyz. Линия ON пересечения координатных плоскостей Оху и Oξη называется линией узлов.

Рисунок 1.

Уравнения сферического движения:

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТЕЙ. Во всякий момент времени существует проходящая через неподвижную точку О прямая OΩ, скорости точек которой равны нулю. Это мгновенная ось вращения. Мгновенная угловая скорость  определяется соотношением

где  - векторы, численно равные производным углов Эйлера и направленные соответственно по осям z, ON и ζ. Мгновенная угловая скорость может менять свое положение в пространстве, описывая коническую поверхность, поэтому вектор углового ускорения

в общем случае не совпадает по направлению с  (рис. 2).

Рисунок 2.

Скорость точки при сферическом движении тела

или в аналитической форме (формулы Эйлера):

Ускорение точки складывается из осестремительной  и вращательной  составляющих (рис. 2):

55 Теорема Эйлера Даламбера

Теорема Эйлера-Даламбера: всякое перемещение тела, имеющего неподвижную точку, можно заменить одним поворотом вокруг некоторой мгновенной оси вращения, проходящей через эту точку. Скорости всех точек тела, лежащих на мгновенной оси вращения в данный момент времени равны нулю. Вектор угловой скорости (мгновенной угловой скорости) откладывается о  неподвижной точки по мгновенной оси в такую сторону, чтобы, смотря навстречу этому вектору, видеть вращение происходящим против час.стр. Вектор угловой скорости со временем изменяется не только по численной величине, но и по направлению. Конец вектора описывает годограф скорости вектора . Угловое ускорение:  – скорость конца вектора , совпадает по направлению с касательной к годографу вектора угловой скорости. В случае сферич. движение в отличии от случая вращения вокруг неподвижной оси вектор  не совпадает с направлением . Скорости точек при сферич. движ.:  – векторное произведение, – радиус-вектор точки, проведенный из неподвижной точки, модуль v=rsin=h,  h– расстояние от точки до мгновенной оси вращения. Формулы Эйлера: .

56 Мгновенная ось вращения

прямая, неподвижная в данный момент в нек-рой инерциальнойсистеме отсчёта, относительно к-рой сложное движение твёрдого тела в этот момент можно представить каквращат. вокруг этой прямой. М. о. в. может лежать как внутри тела, так и вне его. С течением времениположение М. о. в. изменяется относительно как неподвижной системы отсчёта, так и системы отсчёта,движущейся вместе с телом.

Угловая скорость сферического движения твердого тела – вектор,

направленный вдоль мгновенной оси вращения, модуль которого равен:

    Угловое ускорение сферического движения твердого тела – характеризует изменение вектораугловой скорости:

- среднее угловое ускорение

в интервале времени t,

Угловое ускорение в момент времени t:

Вектор угловой скорости с началом в неподвижной точке при движении тела изменяется

подобно радиусу-вектору точки, движущейся в пространстве по некоторой траектории.

Вектор скорости этой точки направлен по касательной к траектории и определяется выражением:

Траектория конца вектора угловой скорости с началом в неподвижной точке при движении телаописывает кривую, называемую годографом вектора угловой скорости.

Сравнивая выражения для вектора углового ускорения тела и вектора скорости точки можно установить, чтоугловое ускорение тела геометрически равно линейной скорости конца вектора угловой скорости.

Прямая, по которой направлен вектор углового ускорения, называется осью мгновенного углового ускорения (E