17. Пересечение плоскостей

Плоскости всегда имеют общий элемент – линию их пересечения, которая может быть собственной или несобственной. Для определения линии ввести дважды плоскости-посредники Σ и Ω (Рис. 45). В качестве посредников следует выбирать плоскости частного положения.

(Σ⋂Δ=а) ⋂ (Σ⋂Ψ=b)=M; (Ω⋂Δ=c) ⋂ (Ω⋂Ψ=d)=N; MN –искомая линия

Рис. 45.

На Рис. 46 показано построение линии пересечения двух плоскостей общего положения Δ (a⋂b) и Ψ(m∥n).

1. Вводим плоскость-посредник Σ (фронтально-проецирующую) Σ⊥П₂, (Σ⋂Δ=12) ⋂ (Σ⋂Ψ=34)=М

2. Вводим 2-ю плоскость-посредника Ω ⊥П₂

(Ω⋂Δ=56) ⋂ (Ω⋂Ψ=78)=N

MN –искомая линия пересечения

Рис. 46

Если одна или обе пересекающиеся плоскости проецирующие, то построение линии пересечения значительно упрощается.

На Рис. 47 приведено построение линии пересечения двух плоскостей: Δ(c⋂d)-общего положения и Γ- горизонтально-проецирующей. Как уже было сказано, построение упрощается, т.к. горизонтальная проекция линии пересечения совпадает с горизонтальным следом плоскостиΓ₁, Δ⋂Γ=12, 1₁2₁=Γ₁, 1∈с, 2∈d

Рис. 47

18. Пересечение прямой с плоскостью

Для определения точки пересечения прямой l с плоскостью Δ в общем случае, необходимо последовательно выполнить следующие l⋂Δ=M (Рис. 48):

1. Заключить прямую во вспомогательную плоскость

Ω⊂l;

2. Построить линию пересечения 12 данной плоскости Δ со вспомогательной Ω, 12 = Ω⋂Δ

3. Определить точку М пересечения построенной линии 12 с заданной прямой l

М=12 ⋂ l

4. Определить видимость (метод конкурирующих точек)

Рис. 48

На Рис. 49 построена точка пересечения прямой общего положения l и проецирующей плоскости Γ; Γ ⋂ l=M; Γ⊥П₂⇒Γ₂; М₂=Γ₂; М₂∈l⇒(M₂∈l₂ и M₁∈l₁

На Рис. 50 построена точка пересечения М проецирующей прямой l и плоскости общего положения Σ, Σ(a⋂b), l⊥П₂, Σ ⋂ l=M, M2=l2, M∈Σ, M∈12, 12⊂Σ

Рис.50

На Рис. 51 показано построение точки пересечения прямой общего положения l и плоскости общего положения Σ, Σ(АВС)⋂l=M

1. Ω⊂l; Ω⊥П₂; Ω⋂П₂=Ω₂, Ω₂=l2

2. Ω⋂Σ=12

3. 12⋂l=M

Рис. 51

4. Определение видимости: на П₂: l∸BC, 1∈BC, 3∈l, смотрим на П₂ с П₁: проекция точки 3₁ к нам ближе, значит, прямая l₂ на П₂ в точке (1₂=3₂) будет видимой. на П1: l∸АВ, 4∈АВ, 5∈l, смотрим с П2: проекция точки 4₂ к нам ближе, значит прямая АВ в точке (4₁=5₁) будет видимой, а прямая l-невидимой до точки пересечения М с плоскостью.

Видимость определяется при помощи конкурирующих точек, лежащих на срещивающихся прямых (Рис. 52).

Рис. 52

На Рис. 53 показано построение линии пересечения двух плоскостей с помощью двух плоскостей посредников, проходящих через стороны АВ и LK, Γ⊃АВ, Γ⋂DKL=12, 12⋂AB=M; θ⊃ LK, θ⋂ABC=34, 34⋂LK=N; MN линия пересечения