24. Перпендикулярность прямых общего положения

Так как при ортогональном проецировании прямой угол между прямыми общего положения искажается, то перпендикулярность прямых общего положения приходится сводить к перпендикулярности прямой и плоскости. При этом используют известное положение, что две прямые перпендикулярны в том случае и только в том случае, если через каждую из них можно провести плоскость, перпендикулярную к другой прямой.

На Рис. 62 показано, как через прямую l провести плоскость, перпендикулярную плоскости Σ (a∥b).

1. Через точку А следует провести плоскость, перпендикулярную прямой

Σ∈А; Σ ⊥ l; Σ(f⋂h) ⇒h₁ ⊥ l₁ и f₂ ⊥ l₂)

2. Найти точку пересечения прямой l с построенной плоскостью Σ, для этого нужно:

а) заключить прямую l в плоскость l⊂Ω; Ω⊥П₂⇒Ω₂=l2

b) найти линию пересечения вспомогательных плоскостей с данной Σ⋂Ω=12

в) отметить точку пересечения прямой с линией пересечения

l ⋂12=М (l₁⋂1₁2₁=M₁; M₂=l2

Соединить точки А и М

Рис. 62

V. Поверхности

26. Основные понятия, способы задания, определитель поверхности

До сих пор мы рассматривали свойства и взаимное расположение геометрических образов, изображение которых на чертеже не представляло трудностей (изображение точки, прямой, плоскости- все сводилось к нахождению точек, принадлежащих данному геометрическому образу).

Для изображения кривых поверхностей этого принципа иногда не достаточно и приходится применять другие способы: поверхность задается аналитическим способом; поверхность задается каркасом; поверхность задается кинематическим способом.

В начертательной геометрии пользуются преимущественно кинематическим способом задания поверхности, где поверхность рассматривается, как непрерывное множество положений линий – называемой - образующей, перемещающейся в пространстве по определенному закону. Этот закон обычно задается неподвижной линией, называемой направляющей.

Так как форм образующей и условий, которым подчинено ее движение, бесчисленное множество, то и поверхностей может быть неограниченно много.

Таким образом, вид кинематической поверхности будет зависеть от формы образующей и закона ее перемещения в пространстве.

Примем одну из линий «q» за направляющую поверхности и будем перемещать по ней по определенному закону другую линию «l» - образующую, тогда мы получим некоторое семейство образующих поверхности (Рис. 1)

Рис. 1

Возьмем теперь за направляющую прямую «l» и будем по ней перемещать образующую «q», тогда появится на поверхности второе семейство линий. Каждая образующая одного семейства пересечет все образующие второго семейства q⋂(l₁,l₂,l₃…l_n) l⋂(q₁,q₂,q₃…q_n). Поверхность считается заданной, если относительно любой точки М пространства одновременно решается вопрос о принадлежности ее к данной поверхности.

Поверхность легко строить, если известен ее определитель. Определителем поверхности называется совокупность условий, необходимых и достаточных для однозначного задания поверхности.

Определитель поверхности состоит из двух частей: геометрической и алгебраической.

В геометрическую часть определителя входят постоянные геометрические фигуры и отношение между ними. В алгебраическую часть – закон образования поверхности.

Одна и та же поверхность может быть образована различными способами. Например, в первом случае поверхность конуса может быть получена вращением некоторой образующей l вокруг оси i; но эта же поверхность может быть образована при движении окружности переменного радиуса, центр которой перемещается по заданной прямой (оси i), а плоскость окружности все время остается перпендикулярной оси (Рис. 2).

Рис. 2

На Рис. 3 показано задание на эпюре конической поверхности Φ (i,l) для первого варианта и Φ(S, m) (l₁,l₂,l₃ …l_n) - для второго варианта. На эпюре поверхность задается своим очерком. Очерком поверхности называются линии, которые ограничивают область ее проекций.

Рис. 3