III. Точка и прямая

Являясь одним из разделов геометрии, начертательная геометрия занимается изучением способов построения отображений (проецирования) пространственных форм на плоскости (поверхности) и способов, позволяющих по данным изображениям этих форм решать задачи геометрического характера.

Проецирование, как и любое отображение, устанавливает определенное правило, позволяющее для каждой точки А (фигуры) пространства указать новую точку А' (фигуру) на плоскости П ', в которую переводится точка А (фигура) рассматриваемым отображением (А→А') и наоборот.

Чертежи, выполненные по правилам отображения (проецирования) позволяют легко установить связь между геометрическими свойствами предметов и свойствами их чертежей.

3. Метод проекций

В начертательной геометрии фигуры проецируются (отображаются) на плоскость способами центрального и параллельного проецирования.

а) Центральное проецирование

Центральное проецирование является наиболее общим случаем получения отображений геометрических фигур.

Аппарат центрального проецирования состоит из связки прямых с центром S и плоскости проекций П'.

Выделим в пространстве произвольную точку А (B, C …) и спроецируем ее на плоскость проекций П' (Рис.1). Прямая, соединяющая точки S и А пересечет плоскость П' в точке А'. Будем называть плоскость П' – плоскостью проекций; S- центром проекций; полученную точку А' – центральной проекцией точки А, SA- проецирующим лучом.

Положение плоскости П' и центра S определяет аппарат центрального проецирования. Если он задан, то всегда имеется возможность определить положение центральной проекции любой точки (геометрической фигуры) пространства на плоскости проекций. Аналогично можно находить проекции прямых, плоскостей и геометрических фигур. Каждая точка будет иметь одну и только одну центральную проекцию.

Рис. 1

b) Параллельное проецирование

Частным случаем центрального проецирования будет параллельное проецирование, когда центр будет находится в несобственной точке (бесконечно удаленной) S^{∞ .} Выберем направление проецирования S и плоскость проекций П' (Рис.2).

Выделим в пространстве ряд точек А (B, C …) и спроецируем их параллельно направлению проецирования S на плоскость проекций П'. В пересечении проецирующих лучей с плоскостью проекций получим точки, которые являются параллельными проекциями (отображением) данных точек.

Аппарат параллельного проецирования полностью определяется положением плоскости проекций П' и направлением проецирования S. Каждая точка пространства, при заданном аппарате проецирования, будут иметь одну и только одну параллельную проекцию.

Рис. 2

Геометрические фигуры проецируются на плоскость проекций в общем случае с искажением (это зависит от способа проецирования и положения проецируемой фигуры по отношению к плоскостям проекций).

При параллельном проецировании нарушается метрическая характеристика геометрических фигур, но при этом между оригиналом и его проекцией существует определенная связь – некоторые свойства оригинала сохраняются на его проекции.

Такие свойства называют проективными или инвариантными (независимыми) для данного способа проецирования.

Основные инвариантные свойства параллельного проецирования:

1. Проекция точки есть точка (Рис.3) А→А'

2. Проекция прямой на плоскость есть прямая n→n'

3. Если в пространстве точка принадлежит линии, то проекция этой точки принадлежит проекции линии L∈n⇒L'∈n'

4. Проекция взаимно параллельных прямых также взаимно параллельны, а отношение их отрезков равно отношению их параллельных проекций (Рис.3):

n∥m⇒n'∥m'

[AB] ∥ [CD] ⇒

Рис. 3

5. Точка пересечения пересекающихся прямых проецируется в точку пересечения проекций прямых (Рис. 4)

Рис. 4

6. Плоская фигура, параллельная плоскости проекций, проецируется на эту плоскость в конгруэнтную фигуру (Рис. 5)

Φ∥ П'⇒Φ'≌Φ

Рис. 5

7. Параллельный перенос оригинала или плоскости проекций не изменяет вида и размеров проекций

Φ'' ∥Φ'⇒Φ''≌Φ'

в) Прямоугольное (ортогональное) проецирование

Частным случаем параллельного проецирования является прямоугольное (ортогональное) проецирование, когда направление проецирования перпендикулярно к плоскости проекций (Рис. 6).

S₁⊥П'; S₁∥ММ_n⇒ММn⊥П'

Рис. 6

Ортогональное проецирование обладает всеми свойствами параллельного проецирования, но оно обладает и другими свойствами. Так справедлива следующая теорема: Для того чтобы прямой угол, составленный двумя пересекающимися прямыми, проецировался ортогонально без искажения, необходимо и достаточно, чтобы, по крайне мере, одна его сторона была параллельна плоскости проекций, а вторая сторона не перпендикулярна к этой плоскости (Рис.7).

Рис.7

В пространстве =90°; AB∥П' и ВСП'=Φ. Докажем, что =90°

Фигура ABB'A' – прямоугольник, следовательно, AB перпендикулярен к проецирующей плоскости BCC'B', т.к. он перпендикулярен к двум пересекающимся прямым этой плоскости: AB по условию и AB - по построению. Но AB∥A'B', следовательно, A'B' ⊥ плоскости BCC'B', поэтому A'B'⊥B'C', т.е. =90°.