4. Образование комплексного чертежа

Из Рис. 6 можно заключить, что по одной проекции нельзя восстановить на форму, ни размеры оригинала, а так же его положение в пространстве. Таким образом, однокартинный чертеж необратим, а следовательно, он не является полным и метрически определенным.

Для того, чтобы получить обратимый чертеж (отображение) на некоторой плоскости П'(Рис. 8) следует выбрать два направления проецирования S₁ и S₂. Точка А будет иметь две проекции: А' по направлению S₁ и А'' - по направлению S₂. Вторая точка В, расположенная на проецирующем луче А-А', по направлению S₁, спроецируется точкой В', совпадающей с точкой А', но по направлению S₂ она спроецируется точкой В'', отличной от точки А''.

Рис. 8

Теперь по чертежу мы имеем возможность сказать, что нем изображены две точки А и В; кроме того, наличие двух проекций каждой из них позволяет определить положение их относительно плоскостей проекций и относительно друг друга. В этом случае можно сказать, что чертеж является обратимым. При ортогональном проецировании получить два изображения на одной плоскости проекций нельзя, т.к. нельзя задать два отличных друг от друга направления проецирования. Поэтому проецирование производится не на одну, а на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций (Рис.9).

Рис. 9

Одна из плоскостей располагается горизонтально, обозначается П₁ и называется горизонтальной плоскостью проекций; другая П₂ – вертикальной и называется фронтальной плоскостью проекций. Эти плоскости пересекаются по линии ОХ (иногда обозначают просто Х или Х₁₂), которую называют осью проекций. Эти плоскости делят пространство на 4 четверти. Возьмем в пространстве точку А и спроецируем ее на плоскость проекций П₂ по направлению проецирования S₂ (S₂⊥П₂). Получим ее отображение А→А₂ (проекцию) А₂, которая называется фронтальной проекцией точки А. Проекция точки А на плоскость проекций П₁ называется горизонтальной проекцией точки А. S₁⊥П₁; А→А₁.

Положение точки в пространстве определяется тремя координатами (X,Y,Z), показывающими величины расстояний, на которые точка удалена от плоскостей координат. В начертательной геометрии плоскости координат совпадают с плоскостями проекций. При решении задач пользоваться пространственным рисунком неудобно. Его следует преобразовать.

Преобразование пространственного рисунка осуществляется вращением одной из плоскостей проекций вокруг оси ОХ до совмещения обеих плоскостей в одну плоскость чертежа (Рис.10).

Рис. 10

Совмещенное изображение плоскостей проекций называется комплексным чертежом или эпюром. Так как плоскости не имеют границ, то на эпюре показаны только оси проекций. Впервые такое преобразование предложил Гаспар Монж, поэтому часто называют чертеж, выполненный при совмещенном положении плоскостей проекций, эпюром Монжа.

5. Построение третьей проекции

В ряде случаев бывает целесообразно строить дополнительные проекции геометрических фигур; для этого вводится третья плоскость проекций, которую можно располагать:

1. Перпендикулярно двум плоскостям проекций. Такая плоскость проекций называется профильной плоскостью проекций и обозначается П₃ (Рис. 11).

Рис.11

2. Перпендикулярно одной из плоскостей проекций: или П₁ или П₂. Такие плоскости будем называть неосновными плоскостями проекций (в отличие от основных П₁, П₂, П₃) и будем их обозначать П₄, П₅, П₆, П_n. Плоскости проекций П₁, П₂, П₃ делят пространство на восемь частей или октантов.

Эпюр (комплексный чертеж) в данном случае получается при повороте плоскостей П₁ и П₃ в направлениях, указанных стрелками до совмещения с плоскостью П₂. А₁, А₂ и А₃ – ортогональные проекции точки А на плоскости проекций П₁, П₂, П₃ (Рис. 12). Прямые А₁А₂ и А₂А₃ называются линиями связи. Линии связи перпендикулярны осям проекций ОХ и OZ.

Расстояние точки А до плоскостей П₁, П₂, П₃ - это отрезки АА₁, АА₂ и АА₃ (Рис.11). На эпюре (Рис.12) этих отрезков нет, но есть отрезки, им равные.

АА₁= А₂А_х=А₃А_y=Z;

АА₂ = А₁А_х=А₃А_z=Y;

АА₃= А₁А_y=А₂А_z=X

Рис. 12

Следовательно, зная координаты точки X,Y,Z - всегда можно построить три ее проекции на эпюре.

В другом случае (Рис.13) введена дополнительная плоскость проекций П₄, расположенная перпендикулярно только одной из плоскостей проекций П₁ (можно было ввести П₄⊥П₂). Построение третьей проекции точки А производится аналогично построению, описанному а первом случае.

Рис.13

Для получения эпюра (Рис. 14) плоскости проекций П₂ и П₄ совмещают с плоскостью П₁, вращением плоскости проекций П₂ вокруг оси Х₁₂ до совмещения с П_1, и вращением плоскости проекций П₄ вокруг оси Х'₁₄ до совмещения с П_1. При этом образуется дополнительный эпюр с осью Х'_14.

Рис.14

(Будем называть плоскость проекций, с которой совмещаются две другие плоскости проекций – базовой плоскостью проекций, а проекцию на ней – базовой проекцией. Базовая проекция остается неподвижной и соединяет линиями связи, перпендикулярными к соответствующим осям Х₁₂ и Х'₁₄ две другие проекции, которые будем называть небазовыми проекциями. Причем расстояние от одной небазовой проекции до ближайшей оси проекции всегда равно расстоянию другой небазовой проекции до ближайшей оси_).

На Рис. 14 точка А задана проекциями А₂ и А₁ в системе П₂⊥П₁. Введение дополнительной плоскости проекций П₄ образована система плоскостей проекций П₄⊥П₁ с осью Х'₁₄ и построена третья проекция точки А. Для построения третьей проекции через А₁ проведена линия связи, перпендикулярная к оси Х'_14, и на ней от Ах' отложено расстояние, равное расстоянию от точки А до П₁, которое задано в системе плоскостей П₂⊥П₁ отрезком А₂А_х (А₄А'_х=А₂А_х).

На Рис. 15 построена третья проекция точки В на плоскости проекций П₄, которая перпендикулярна П₂ (П₄⊥П₂). При этом плоскость проекций П₂ остается неподвижной, а П₁ и П₄ при вращении совместятся с П₂ в одно поле чертежа.

В этом случае фронтальная проекция точки В2 будет называться базовой и остается неподвижной. Линии связи В₂В₁⊥Х₁₂ и В₂В₄⊥Х'₂₄. Расстояние одной небазовой проекции В₁ до оси Х₁₂ будет равно расстоянию другой небазовой проекции В₄ до оси Х'₂₄.

Рис. 15