Лекція 6

Деякі положення математичної теорії пластичності металів

6.1. Терміни та визначення в теорії напружень

Якщо до тіла прикладені зовнішні сили і воно знаходиться в стані спокою, то це тіло знаходиться у напруженому стані.

Зовнішні сили, що діють на тіло називають активними.

При пластичному формозміненні металів переміщенню тіла протистоять реакції, які утворюються інструментом.

При відсутності тертя між металом та інструментом реакції направлені нормально. В ОМТ важливу роль відіграють сили тертя.

Інтенсивність внутрішніх сил , що виникають в металі, називають

напруженнями (частка сил, яка діє на одиниці площі).

Інтенсивність зовнішніх сил називають питомими силами, або контактними напруженнями.

Зміну форми тіла під дією зовнішніх сил називають деформацією.

Розглядають пружні і пластичні деформації. Пружні деформації зникають, коли зникають зовнішні сили, а пластичні (залишкові) – залишаються.

Під пластичністю металів розуміють здатність металів сприймати залишкову деформацію без руйнування.

При деформації тіла повне напруження на елементарній площадці можна розкласти за правилом паралелепіпеда на три складові:

одно - нормальне до площадки (;

два – в площині площадки –

- дотичні ().

Головні нормальні напруження – ті, що діють нормально до площадок при відсутності на них дотичних напружень:

, ,

Важливою величиною є середне значення цих напружень – середне головне напруження:

(6.1)

Яке ще називають гідростатичним тиском.

Напружений стан в точці тіла , що деформується , визначається дев’ятьма векторами:

- трьома нормальними і

- шістьма дотичними напруженнями.

Розглянемо напруження, які діють на елементарний куб тіла , що деформується (рис.6.1)

Рис.6.1. Нормальні та дотичні напруження на гранях елементарного

куба як компоненти напружень

Ребра куба розташовані у напрямку вісей координат . Напруження, що діють на гранях куба розкладаються на компоненти – нормальніі дотичні- у напрямках:

Матрицю у вигляді:

(6.2)

Називають тензором напружень.

Згідно закону парності дотичних напружень

;

; (6.3)

,

що вказує на рівність симетричних дотичних напружень. Таким чином, напружений стан елементарного куба визначається шістьма компонентами:

(6.4)

Такий тензор називають симетричним.

Якщо напружений стан задано головними напруженнями ,,, то тензор напружень спрощується і має вигляд

(6.5)

З тензорами можна здійснювати різні математичні дії, що й використовується в теорії пластичності. Наприклад, можна виразити , як суму двох тензорів :

(6.5) і (6.6)

Тензор (6,6) називають кульовим , так як довільний еліпсоїд напружень перетворюється на кулю. визначає напружений стан точки елементарного куба , який піддається всебічному рівномірному стисненню (розтягуванню) при відсутності дотичних напружень.

Кульовий тензор може викликати тільки зміну об’єму матеріалу при пружній деформації, але не зміну форми.

Віднімемо від тензора напружень кульовий тензор

=

= (6.7)

- називають девіатором напружень.

Він обумовлює зміну форми без зміни об’єму.

Існують математичні співвідношення поміж напруженнями , які не залежать від вибору системи координат,– інваріанти тензора напружень.

Наприклад, перший інваріант тензора напружень – лінійний:

(6.8)

або

(6.8)

Існують також квадратичні та кубічні – інваріанти тензора напружень, які використовуються у розрахунках напружено-деформованого стану металу, що деформується.

Аналогічно визначаються також інваріанти девіатора напружень.

В тензорному вигляді розглядається в теорії пластичності також тензор деформації , тензор швидкостей деформації.