ifmion_kma_Mykhalin_Dujenkova(Mnozhyny)

Г.О.Михалін, Л.І.Дюженкова

Елементи теорії множин i теорії чисел

Навчальний посібник

НПУ імені М.П.Драгоманова Київ 2003

Л. І. Дюженкова, Г. О. Михалін. Елементи теорії множин і теорії чисел. – К.: НПУ імені М. П. Драгоманова, 2003. – 128 с.

Даний посібник має чітку спрямованість на професію вчителя математики. Складається з двох розділів. У першому розділі викладено елементарні факти теорії множин. Другий розділ присвячено множинам дійсних та комплексних чисел.

Посібник рекомендований до друку засіданням кафедри математичного аналізу Національного педагогічного університету імені М. П. Драгоманова (протокол № 11 від 5 лютого 2003 року).

Рецензенти: академік АПН України, доктор пед. наук, професор М. І. Жалдак, доктор фіз.-мат. наук, професор М. В. Працьовитий

3

Передмова

Теорiя множин i теорiя чисел ¹ базою не тiльки курсу математичного аналiзу, а й багатьoх iнших математичних курсiв, зокрема шкiльного курсу математики. Тому в процесi навчання математичного аналiзу майбутнiх учителiв математики слiд придiляти значну увагу елементам цих теорiй, що й здiйснено у даному посiбнику, який склада¹ться з двох роздiлiв.

У першому роздiлi посiбника викладено елементарнi факти теорi¨ множин, якi допомагають вчителю математики глибше зрозумiти такi поняття, як множина та ¨¨ елементи, вiдповiднiсть i залежнiсть мiж змiнними, вiдображення та функцi¨, вза¹мно однозначне вiдображення i кiлькiсть елементiв (потужнiсть) множин, а також вiдповiсти на запитання типу: "Яких чисел бiльше: натуральних, цiлих, рацiональних чи iррацiональних?", "Що таке скiнченна та нескiнчена множина (кiлькiсть)?"тощо.

У другому роздiлi викладено найважливiшi факти теорi¨ дiйсних i комплексних чисел. Опанування цими фактами допоможе майбутньому вчителю математики зрозумiти, що:

властивостi,перш нiжтребаоперуватипереконатисяз коренямив iснуваннin-го степеняцих коренiв;та вивчати ¨хнi

рiодичнiпершдесятковiнiж вводитидроби,iррацiональнiслiд знати, числащотакеяк нескiнченнiнескiнченнийнепеде--

сятковий дрiб, чому кожне дiйсне число можна ототожнювати з його десятковим зображенням i чи воно ¹дине;

означенняперш нiжоперацiйоперуватинад нимизiррацiональнимита чи завждичислами,¨х можнатребавиконатизнати

òîùî.

Даний посiбник ма¹ оригiнальну структуру.

Кожний параграф мiстить: 1) теоретичний матерiал, який ши-

4

роко проiлюстровано рисунками i прикладами; 2) iсторичну довiдку; 3) зв'язок викладеного матерiалу з шкiльним курсом математики; 4) постановну проблем; 5) контрольнi запитання та завдання.

Матерiал викладено чiтко, стисло i прозоро. Цьому, зокрема, сприя¹ широке використання математично¨ символiки. Змiст деяких математичних символiв розкрито у наведенiй нижче таблицi.

Символ Слова, якi замiню¹ даний символ

8 для будь-якого; для кожного; для всiх

9: iсну¹;такий, знайдетьсящо;тих, кожний з яких; а саме

:= (=:) дорiвню¹ за означенням (нада¹ться значення)

)виплива¹; якщо ..., то

,тодiякщой(втiлькиозначеннi)тодi; необхiдно й достатньо;

I (J ) початок доведення (кiнець доведення)

Nмножина натуральних чисел

Zмножина цiлих чисел

Q множина рацiональних чисел

Rмножина дiйсних чисел

I множина iррацiональних чисел

Cмножина комплексних чисел

Список прикладiв множин можна було б продовжувати як завтотожнiгодно довготермiни:.Замiсть термiнa "множина\ часто використовують

"сукупнiсть\, "ñiì'ÿ\, "êëàñ\ òîùî.

Кожна множина, за винятком однi¹¨ (порожньо¨), склада¹ться ззначуванимелементiв. основнимПоняття"математичнимелемент множинипоняттям,\ такожякевважаютьзадовольня¹нео-

основному вiдношенню належностi данiй множинi.

Якщо позначати множини великими латинськими лiтерами A;ськогоB, C;алфавiту: : : ; X, Y; Z, а елементи множин малими лiтерами латин-

лежить множинi a; b; c; : : : ; x; y; z; òî çàìiñòü ñëiâ "елемент x íà-

òàê"B 63званаx\. диною множиною, яка,якунепозначаютьмiстить жодногосимволомелемента, ¹

усiх ¨¨ елементiв або заданням деяко¨ характеристично¨ властивостi елементiв цi¹¨ множини. Для позначення множини часто використовуютьмножини абофiгурнiумови,дужкищо визначаютьf g, мiж якимицi елементизаписують. усi елементи

Довiльний елемент дано¨ множини, позначений якоюсь лiтерою, називають çìiííîþ, а конкретний елемент цi¹¨ множини значенням дано¨ змiнно¨ . Значеннями змiнно¨ можуть бути об'¹- кти рiзно¨ природи.

Ï ð è ê ë à ä 2. 1) A = fa; b; cg множина з елементами a; b; c; 2) B = fx : x 62Ag множина всiх тих лiтер, кожна з яких не належить множинi A; òóò çìiííîþ ¹ x, яка набува¹ значення, вiдмiннi вiд a; b; c.

чисел. R множина дiйсних чисел, C множина комплексних

Позначення m; n застосовують для множини fm; m+1; : : : ; ng, äå m; n 2 Z. Зокрема, 1; n := f1; 2; : : : ; ng .

оскiлькиДоцiльно розрiзняти позначення елемента x та множини fxg, з одним елементом,? порожняякиймножина,¹ порожньоюа f?множиноюg непорожня. множина

1.1.2. Пiдмножини

1)Для двох заданих множин A i B можливими ¹ такi випадки: або x 2 A ) x 2 B 8x. Тодi кажуть, що A включа¹ться в B

B включа¹ A, àáî A мiститься в B, àáî B мiстить в собi

iAназивають,або A ¹ частиною B. При цьому записують A B àáî B A

2) A пiдмножиною множини B;

íè x 2 B ) x 2 A 8x, тобто B A, B пiдмножина множи- A3);

x 2 A , x 2 B 8x. Тодi пишуть A = B, a множини A i B називають4) рiвними;

9 x 2 A : x 62B i 9 y 2 Bùîäî: y включення62A. Òîäi A. i B називають

непорiвнюваними множинами

Ï ð è ê ë à ä 3. 1) C = fD : D Ag множина всiх

пiдмножин множини A; отже, елементи множини самi можуть бути множинами.

2) N Z Q R C; R Q; N = fn 2 Z : n > 0g; âiäðiçêè [0; 1] i [1; 2] непорiвнюванi щодо включення.

цьомуЗрозумiло, що ? A i A A для будь-яко¨ множини A. Ïðè

? i A називають невласними пiдмножинами множини

A, а всi iншi пiдмножини множини A власними.

1.1.3. Операцi¨ над множинами

такiНадоперацi¨:елементами двох даних множин A i B можна виконувати

1) об'¹днувати ¨х та утворювати множину

A [ B := fx : x 2 A àáî x 2 Bg об'¹днання множин A i B;

2) шукати спiльнi елементи множин A i B та утворювати мно-

æèíó A \ B := fx : x 2 A i x 2 Bg перерiз множин A i B;

3) шукати елементи множини A, що не належить множинi B та утворювати множину A n B := fx : x 2 A i x 62Bg рiзницю

Для геометрично¨A i називаютьiлюстрацi¨цю множинумножинипротилежноюзображують кругами,доA.

якi називають кругами Ейлера. На рис. 1.1 дано геометричнi iлю-

страцi¨ об'¹днання, перерiзу та рiзницi (зокрема, доповнення) множин.

Використовують також зображення у виглядi прямокутникiв чи iнших геометричних фiгур.

Операцi¨ об'¹днання та перерiзу множин можна здiйснювати надзаданабудьмножина-якою сукупнiстю(множина iндексiвмножин Ai, äå i 2 I, à I деяка

i ).

TT

Ai := Ai об'¹днання i перерiз скiнченно¨ кiлькостi мно-

i=1 i2I

æèí Ai.

1.1.5. Iсторична довiдка

Засновниками теорi¨ множин слiд вважати чеського математика Б. Больцано (1781 1841), якому належить робота "Парадокси нескiн-

ченностi\. Множини довiльно¨ природи першим (з 1872 р.) став вивчати нiмецький математик Г. Кантор (1845 1918).

Знаки ) òà , ввiв наприкiнцi ХIХ сторiччя росiйський математик I.I.Жегалкiн (1869 1947); знаки " [ \, " \ \, " 2 \ òà " 62" ââiâ

у 1888 i 1895 роках iталiйський математик Д. Пеано (1858 1932); а знаки " ", " \ òà " 3 \ у 1890 р. нiмецький математик Е. Шредер

(1841 1902).

Òåðìiíè "комутативний\ i "дистрибутивний\ ââiâ ó 1815 ð. ôðàí-

цузький математик Ф. Сервуа (1767 1847), а термiн "асоцiативний\iрландський математик У. Гамiльтон (1805 1865).

1.1.6. Зв'язок iз шкiльним курсом математики

Поняття множини ¹ корисним не тiльки для математики як науки, а й для шкiльного курсу математики. Це зумовлено тим, що дане поняття на iнту¨тивному рiвнi легко сприйма¹ться переважною бiльшiстю учнiв.

Крiм того, хоч у шкiльному курсi математики формально i можна обiйтися без термiнa "множина", але насправдi без нього обiйтися не можна навiть у повсякденному життi, оскiльки це поняття пронизу¹ його i, особливо, курс математики. По сутi, можлива лише замiна термiнa "множина"iншим термiном, який досить часто менш зрозумiлий, нiж "множина": "сукупнiсть", "зiбрання", "кiлькiсть", "багато чогось", "те"тощо.

Введення поняття множини як одного з основних понять, яке не означа¹ться через iншi, а розтлумачу¹ться на конкретних прикладах, можливе навiть у початковiй школi. Те саме можна сказати i про поняття пiдмножини, рiвних множин i про операцi¨ над множинами: об'¹днання, перерiз, рiзниця.

Якщо цi поняття вводити поступово, наприклад, так, як вводяться операцi¨ над числами, iлюструючи ¨х зрозумiлими для учнiв прикладами, то переважна бiльшiсть учнiв засво¨ть ¨х. Принаймнi, якщо порiвнювати поняття множини та операцiй над множинами з геометричним поняттям прямо¨ та ¨¨ основними властивостями, то перше легше сприйма¹ться завдяки, як це не парадоксально, сво¨й бiльшiй загальностi.

1.1.7. Постановка проблем

Найпершою з проблем, яку треба розв'язати, ¹ проблема введення спецiальних множин, якi найчастiше використовуватимуться. Це,

зокрема, стосу¹ться множини R дiйсних чисел та ¨¨ пiдмножин N, Z i

Q.