ifmion_kma_Mykhalin_Dujenkova(Mnozhyny)

Отже, правильним ¹ таке твердження.

Теорема 5 (п р о п о т у ж н i с т ь м н о ж и н Z i Q). Множини Z i Q ¹ зчисленними.

З а у в а ж е н н я. Теорема 5 да¹ вiдповiдь на питання, яких чисел бiльше: натуральних, цiлих чи рацiональних.

Якщо пiд кiлькiстю цих чисел розумiти ¨хнi потужностi, то кiлькiсть натуральних, цiлих та рацiональних чисел ¹ однаковою.

1.5.5. Потужнiсть iндексовано¨ множини

Вважають, що елементи множини A цiлком визначаються n iндексами xk; k 2 1; n, якщо цi елементи можна записати у виглядi

ax1x2:::xn , причому кожний iндекс xk набува¹ значення з певно¨ множини Xk i елементи з множини A ¹ рiзними тодi й тiльки тодi, коли вони вiдрiзняються принаймнi одним iндексом:

òîäi é òiëüêè òîäi, êîëè iñíó¹ òàêå k, ùî xk 6= yk. При цьому запи-

сують A = fax1x2:::xn : xk 2 Xk 8k 2 1; ng i множину A називають iндексованою.

iндексами: A = fax1x2 : x1 2 X1 x2 2 X2g, причому множини X1 i X2зчисленнi.

Тодi ¨хнi елементи можна занумерувати всiма натуральними числа-

ìè:

X1 = fx(1)1 ; x(1)2 ; x(1)3 ; ::: ; x(1)n ; :::g i X2 = fx(2)1 ; x(2)2 ; x(2)3 ; ::: ; x(2)n ; :::g

Позначимо A1 = fax(1)1 x2 : x2 2 X2g, тобто перший iндекс елемента ¹ фiксованим i дорiвню¹ x1.

Аналогiчно вводимо множини A2 = fax(1)2 x2 : x2 2 X2g, A3 = fax(1)3 x2 : x2 2 X2g, i взагалi, Ak = fax(1)k x2 : x2 2 X2g.

Зрозумiло, що кожна множина Ak

ж елементiв, скiльки й X2.

S1

Êðiì òîãî, A = Ak, i за теоремою 4 множина A ¹ зчисленною.

k=1

Використовуючи метод математично¨ iндукцi¨, можна показати, що коли

зчисленнi, то й зчисленна множина. Отже, ма¹ мiсце таке твердження.

Теорема 6 (п р о п о т у ж н i с т ь м н о ж и н и е л е м е н т i в з i н д е к- с а м и). Нехай елементи множини A цiлком визначаються n iндекса-

ìè xk; k 2 1; n, а значення кожного iндекса утворюють зчисленну множину. Тодi й множина A ¹ зчисленною.

З теореми 6 виплива¹ такий наслiдок.

Íàñëiäîê (ï ð î ï î ò ó æ í i ñ ò ü ì í î æ è í è ò î ÷ î ê ï ë î ù èí è ç ð à ö i î í à ë ü í è ì è ê î î ð ä è í à ò à ì è). Множина точок координа-

тно¨ площини з рацiональними координатами ¹ зчисленною.

1.5.6. Потужнiсть множини алгебра¨чних чисел

Повернемося до множини Q рацiональних чисел. Помiча¹мо, що кожне рацiональне число mn ¹ коренем рiвняння nz m = 0, â ëiâié частинi якого сто¨ть многочлен з цiлими коефiцi¹нтами.

У зв'язку з цим вводять таке означення: комплексне число z0 називають алгебра¨чним, якщо воно ¹ коренем рiвняння Pn(z) = 0, у лiвiй частинi якого сто¨ть многочлен з цiлими коефiцi¹нтами степеня

Число z0

òàìè.

З даного означення виплива¹, що кожне рацiональне число ¹ алгебра¨чним.

Отже, множина алгебра¨чних чисел (позначимо ¨¨ собi Q: Al Q.

Разом з тим не кожне алгебрpà¨чне число ¹ рацiональним. Наприклад, iррацiональне число z0 = 2 ¹ нулем многочлена P2(z) = z2 2

з цiлими коефiцi¹нтами, тобто воно також ¹ алгебра¨чним, а тому Al p

2. Отже, множина Al "ширша"за множину Q. Тому природно виника¹ питання, якою ¹ потужнiсть множини Al.

I Для того, щоб дати вiдповiдь на поставлене питання, приймемо без доведення таке твердження: кожний многочлен степеня n ма¹ в комплекснiй площинi не бiльше, нiж n нулiв.

Розглянемо тепер множину Pn елементами яко¨ ¹ всi многочлени a0 + a1z + + anzn степеня n з цiлими коефiцi¹нтами. Зрозумiло,

ùî Pn iндексована множина i роль iндексiв вiдiграють коефiцi¹нти a0; a1; : : : ; an, якi набувають значення iз зчисленно¨ множини Z, àáî

Z n f0g.

Отже, за теоремою 6 множина Pn склада¹ться iз зчисленно¨ кiлькостi многочленiв, кожен з яких ма¹ скiнченну кiлькiсть нулiв. Об'¹днання всiх цих нулiв да¹ не бiльш нiж зчисленну множину

Зрозумiло, що множина Al усiх алгебра¨чних чисел ¹ об'¹днан-

S1

ням множин An : Al = An. Тому за теоремою 4 множина Al íå

n=1

1.5. Зчисленнi множини

бiльш нiж зчисленна. Оскiльки Al Q, òî Al нескiнченна, а тому i зчисленна множина. J

Отже, правильним ¹ таке твердження.

Теорема 7 (п р о п о т у ж н i с т ь м н о ж и н и а л г е б р а ¨ ч н и х ч и с е л)

Множина алгебра¨чних чисел ¹ зчисленною.

1.5.7. Еквiвалентнiсть множин A i A [ B

З теореми 6, зокрема, виплива¹, що коли A зчисленна множина, а B не бiльш нiж зчисленна, то A [ B A. Виника¹ питання, чи залишиться це твердження правильним для довiльно¨ нескiнченно¨ множини A.

I Нехай A довiльна фiксована нескiнченна множина, а B не бiльш нiж зчисленна.

Îñêiëüêè A [ B = A [ (B n A) (переконайтесь у цьому), то A [ B =

A [ B1, äå B1 = B n A i A \ B1 = ?, причому B1 не бiльш нiж зчи- сленна множина. Через те, що зчисленна потужнiсть найменша серед нескiнченних потужностей, дiста¹мо, що множина A мiстить зчислен-

ну пiдмножину C. Згiдно з теоремою 4 ма¹мо C (C [ B1).

Êðiì òîãî, A = (A n C) [ C i A [ B1 = (A n C) [ (C [ B1). Звiдси за вiдомою властивiстю еквiвалентних множин дiста¹мо, що A (A [

B1) = A [ B. J

Отже, доведено таке твердження.

Теорема 8 (п р о е к в i в а л е н т н i с т ь м н о ж и н A i A[B ). ßêùî

A нескiнченна множина, а B не бiльш нiж зчисленна, то A [

B A.

1.5.8. Iсторична довiдка

Усi твердження цього параграфа, за винятком означення алгебра- ¨чного числа, належать нiмецькому математимку Г. Кантору. Поняття агебра¨чного числа ввiв у 1748 р. швейцарський математик Л. Ейлер. Загальна теорiя алгебра¨чних чисел створена росiйським математиком Е. Золотарьовим (1847 1878) та нiмецьким математиком Р. Дедекiндом.

1.5.9. Зв'язок iз шкiльним курсом математики

Факти, викладенi у цьому параграфi, дають змогу вiдповiсти на питання, яких чисел бiльше: натуральних, цiлих чи рацiональних. Знання цих фактiв необхiдне вчителевi математики.

1.5.10. Постановка проблем

З проблем, поставлених у попередньому параграфi, залишилися проблеми про визначення потужностi множини R дiйсних чисел та

множини C комплексних чисел.

1.5.11. Контрольнi запитання та завдання

1. Перевiрити, чи правильними ¹ такi твердження:

1)кожна нескiнченна множина ма¹ зчисленну пiдмножину;

2)якщо множина A ма¹ зчисленну пiдмножину, то й A зчисленна множина;

3)ÿêùî A (0; +1) i A зчисленна множина, то iсну¹ таке число a > 0, ùî A \ (a; +1) зчисленна множина;

4)об'¹днання зчисленно¨ кiлькостi скiнченних множин ¹:

а) скiнченною, б) зчисленною, в) не бiльш нiж зчисленною множиною;

5) ÿêùî A [ B зчисленна множина, то або A зчисленна, або B зчисленна множина;

6)ÿêùî z0 алгебра¨чне число, то воно ¹ нулем деякого много-

члена;

7)твердження, обернене до 6), ¹ правильним;

R áiëüøà çà a, äå a > 0 фiксоване число, то A не бiльш нiж зчисленна множина;

4)множина P простих чисел ¹ зчисленною;

5)ÿêùî S = fA : A Ng, òî S ¹ -алгеброю, а потужнiсть(A); A 2 S, ¹ мiрою, що набува¹ цiлих невiд'¹мних значень або не-

скiнченного значення a = (N).

1.6. Континуальнi множини. Iснування як завгодно велико¨ потужностi

Найважливiшим твердженням цього параграфа ¹ теорема 1 про незчисленнiсть вiдрiзка [0; 1], потужнiсть якого називають континуаль-

ною. Розглянуто деякi властивостi та приклади континуальних множин (зокрема, множин iррацiональних, дiйсних i трансцендентних чи- сел). Показано, що нема¹ найбiльшо¨ потужностi. Деякi приклади континуальних множин будуть розглянутi у роздiлi 2 пiсля введення нескiнченних дробiв.

1.6..Континуальнi множини. Iснування як завгодно велико¨ потужностi

1.6.1.Поняття континуально¨ множини. Порiвняння континуально¨ та зчисленно¨ потужностей

Пiсля ознайомлення зi зчисленними множинами виника¹ питання: чи iснують незчисленнi множини, тобто нескiнченнi множини, якi не ¹ зчисленними? Вiдповiдь на це питання позитивна. Пiдтвердженням цього ¹ наступне твердження.

Теорема 1 (п р о н е з ч и с л е н н i с т ь в i д р i з к а [0; 1] ). Множина

J

У зв'язку з цi¹ю теоремою вводять такi означення.

Означення 1 (п о т у ж н о с т i в i д р i з к а [0; 1] ). Потужнiсть, або кiлькiсть елементiв, множини всiх дiйсних чисел з вiдрiзка [0; 1] називають континуальною i позначають лiтерою c, тобто ([0; 1]) = c.

Означення 2 (к о н т и н у а л ь н о ¨ м н о ж и н и). Множину A на-

зивають континуальною, якщо вона ма¹ континуальну потужнiсть, тобто коли A [0; 1].

I Оскiльки розглянута в теоремi 1 множина C = f1=n : n 2 Ng [0; 1] i C N (переконайтеся у цьому), а згiдно з теоремою 1 ма¹мо N 6 [0; 1], то за означенням меншо¨ потужностi (N) < ([0; 1]), тобто a<c. J

46 Роздiл 1. Елементарнi факти теорi¨ множин

Отже, ма¹ мiсце таке твердження.

Теорема 2 (п р о п о р i в н я н н я з ч и с л е н н о ¨ т а к о н т и н уа л ь н о ¨ п о т у ж н о с т е й). Зчисленна потужнiсть менша за континуальну, тобто a<c.

Таким чином, будь-яка зчисленна множина ма¹ меншу кiлькiсть елементiв, нiж будь-яка континуальна множина.

1.6.2. Потужностi множин ha; bi; R òà I = R n Q

За допомогою теореми 8 iз п. 1.5.7 можна довести, що довiльний промiжок ha; bi, äå a < b, множина R дiйсних чисел i множина I

iррацiональних чисел мають континуальну потужнiсть, тобто континуальну кiлькiсть елементiв.

I Неважко помiтити, що вiдображення f, яке зада¹ться формулою

f(x) = a + (b a)x; x 2 [0; 1];

+1.

Зокрема, ( 2 ; 2 ) [0; 1]. Враховуючи, що функцiя тангенс ( y = tg x) зада¹ вза¹мно однозначне вiдображення ( 2 ; 2 ) íà R, òî ìíî-

æèíà R = ( 1; +1) ¹ континуальною.

Оскiльки показникова функцiя y = 2x зада¹ вза¹мно однозначне вiдображення R íà (0; +1), то iнтервал (0; +1) ¹ континуальною множиною.

За вказаною теоремою 8 ма¹мо [0; +1) = (0; +1) [ f0g (0; +1), тобто промiжок [0; +1) ¹ континуальною множиною.

Тепер неважко довести, що кожний з промiжкiв (a; +1); [a; +1); ( 1; b] i ( 1; b) ¹ континуальною множиною. Пропону¹мо читачевi зробити це самостiйно. J

Отже, доведенo таке твердження.

Теорема 3 (п р о п о т у ж н i с т ь ч и с л о в о г о п р о м i ж к у). Кожний числовий промiжок ha; bi ¹ континуальною множиною, коли

a< b.

Çтеореми 3 вiдразу випливають такi наслiдки.

Íàñëiäîê 1 (ï ð î ï î ò ó æ í i ñ ò ü ì í î æ è í R i I = R n Q). Множини R та I = R n Q ¹ континуальними.

I Îñêiëüêè R = ( 1; +1), òî R континуальна множина за теоремою 4.

1.6..Континуальнi множини. Iснування як завгодно велико¨ потужностi

Позначимо I = R n Q множину iррацiональних чисел. Поки що вiдомо, що вона непорожня (чому?). Помiча¹мо, що R = (R n Q) [ Q. Якщо припустити, що R n Q скiнченна множина, то за властивiстю зчисленних множин множина R також буде зчисленною, що не так. Отже, I = RnQ нескiнченна множина i RnQ R. Тому й множина I = R n Q континуальна. J

теоремою 3 дiста¹мо континуальнiсть вказаних множин. J

1.6.3. Потужнiсть множини трансцендентних чи- сел

У п. 1.5.6 введено поняття алгебра¨чного числа. Виника¹ питання, чи всi числа (дiйснi або комплекснi) ¹ алгебра¨чними.

I Для вiдповiдi на поставлене питання розглянемо множину Al алгебра¨чних дiйсних чисел.

Тодi множина T = R n Al ¹ множиною тих дiйсних чисел, якi не ¹ алгебра¨чними. Оскiльки R = (R n Al) [ Al, то припустивши, що T порожня або, навiть, скiнченна множина, прийдемо до того, що множина R ¹ зчисленною, що неможливо. Отже, множина T нескiнченна, а тому, як i ранiше, перекону¹мось у тому, що RnAl R, тобто T континуальна множина. J

Перш нiж сформулювати доведене твердження, введемо таке озна- чення: комплексне число z0 називають трансцендентним, якщо воно не ¹ алгебра¨чним.

Враховуючи введене означення, сформулю¹мо доведене вище твердження.

Теорема 4 (п р о i с н у в а н н я т р а н с ц е н д е н т н и х ч и с е л). Трансцендентнi числа iснують. Множина дiйсних трансцендентних чисел

¹ континуальною.

Враховуючи теорему 2 та попереднi твердження, дiста¹мо спiввiдношення мiж кiлькiстю елементiв множин N, Z, Q, Al, R, I i T:

(N) = (Z) = (Q) = (Al) < (R) = (I) = (T) .

1.6.4.Потужнiсть множини числових послiдовностей

Можна досить просто розв'язати питання про потужнiсть множини R2, R3 i взагалi, Rn, коли б для континуальних множин мати твер-

дження, аналогiчне твердженню про потужнiсть множини елементiв з iндексами (теорема 6, п. 1.5.5).

Перед тим як сформулювати та довести це твердження, розглянемо спочатку допомiжне, проте дуже важливе твердження.

Теорема 5 (п р о п о т у ж н i с т ь м н о ж и н и п о с л i д о в н о ст е й з н а т у р а л ь н и м и ч л е н а м и). Якщо P множина всiх послiдов-

ностей з натуральними членами, то вона ¹ континуальною.

Цю теорему доведено у п. 2.4.10.

1.6.5. Потужнiсть iндексовано¨ множини

За допомогою теореми 5 неважко довести аналог теореми 6 п. 1.5.5, тобто таке твердження.

Теорема 6 (п р о п о т у ж н i с т ь i н д е к с о в а н о ¨ м н о ж и н и). Нехай елементи множини A цiлком визначаються скiнченною або зчи-

сленною кiлькiстю iндексiв, кожний з яких незалежно вiд iнших набува¹ значення з континуально¨ множини. Тодi множина A ¹ конти-

нуальною.

I За умовою теореми A = fax1;x2;::: : xk 2 Xk 8k 2 f1; 2; : : : gg. Îñêiëüêè Xk континуальна множина, то за попередньою теоремою iсну¹ вза¹мно однозначне вiдображення 'k множини Xk на множину P , äå P множина всiх послiдовностей з натуральними членами. Тому

Переписуючи елементи цi¹¨ матрицi за дiагоналями:

n(1)1 ; n(2)1 ; n(1)2 ; n(3)1 ; n(2)2 ; n(1)3 ; : : : ;

дiста¹мо деяку послiдовнiсть (ni ) 2 P . Покладемо f(ax1;x2;:::) = (ni ). Неважко помiтити, що f : A $ P , à òîìó A континуальна

множина. J

З доведено¨ теореми випливають важливi наслiдки.

Íàñëiäîê 1 (ï ð î ï î ò ó æ í î ñ ò i ï ð î ñ ò î ð i â Rn i C). Простори

Rn (8n 2 N) i C ¹ континуальними множинами.

У зв'язку з доведеною теоремою природно ввести таке означення: для áóäü-ÿêî¨ множини A потужнiстю множини A всiх ¨¨ пiдмножин

називають символ 2 (A). Îòæå,

2 (A) := (fB : B Ag):

1.6.7. Порiвняння потужностей (A) òà 2 (A)

З теореми 7 виплива¹, що 2 (A) > (A) для будь-яко¨ скiнченно¨ множини A. Природно виника¹ питання, чи ¹ правильною ця нерiвнiсть для довiльно¨ множини A.

I Нехай A довiльна нескiнченна множина. Зрозумiло, що мно- æèíà A всiх одноелементних пiдмножин множини A ¹ еквiвалентною

A, тобто A A A = fB : B Ag.

Òîìó

Припустимо, що (A) = 2 (A), тобто A A . Òîäi 9f : A $ A , тобто

(8a 2 A 9 ! f(a) = Ba A) i (8B A 9 ! a 2 A : f(a) = B):

Зокрема, 9 a0 2 A : f(a0) = ? i 9 a1 2 A : f(a1) = A.

Назвемо довiльний елемент a 2 A хорошим , якщо a 2 f(a) = Ba i поганим , якщо a 62f(a) = Ba. Вказаний вище елемент a0 ¹поганим , а a1 хорошим .

Утворимо пiдмножину P A, що склада¹ться з усiх поганих елементiв множини A. Òîäi 9p 2 A : f(p) = P .

Якщо припустити, що p поганий елемент, то p 62f(p) = P , а тому за означенням множини P елемент p 2 P . Îòæå, p íå ìîæå áóòè

поганим елементом.

Якщо вважати, що p хороший елемент, то p 2 f(p) = P , àëå P мiстить лише поганi елементи.

Îòæå, p не може бути нi хорошим , нi поганим елементом A. Але кожний елемент множини A ¹ або хорошим , або поганим . Дiстали

Пропону¹мо читачевi самостiйно довести цей наслiдок. Використовуючи вiдомi потужностi a òà c, утворимо новi: 2a =

2 (N) i 2c = 2 ([0;1]).

Виявля¹ться, що c = 2a > a.