ifmion_kma_Mykhalin_Dujenkova(Mnozhyny)

1.3..Найпростiшi властивостi та класифiкацiя числових функцiй. 31

1.3.8. Iстoрична довiдка

Введена нами класифiкацiя функцiй навiяна вiдповiдною класифiкацi¹ю дiйсних чисел. Вiдповiднi поняття по сутi сформувалися в роботах французького математика Р. Декарта та швейцарського матема-

тика Л. Ейлера. Термiни "алгебра\, "алгебра¨чний\ походять вiд арабського "аль джебр\ арабським математиком аль-Хорезмi (787 850). Термiн "трансцендентний\ походить вiд латинського transcendentis

"що виходить за межi\.

1.3.9. Зв'язок iз шкiльним курсом математики

Наведенi у цьому параграфi найпростiшi властивостi функцiй разом з поняттями областi визначення та множини значень функцi¨ становлять мiнiмальну схему повного дослiдження функцi¨, чим повинен володiти кожен вчитель математики.

У багатьох випадках це дослiдження можна проводити елементарними засобами, тобто користуючись лише вiдповiдними означеннями. На нашу думку, таке дослiдження без використання засобiв диференцiального числення да¹ змогу вчителевi глибше зрозумiти вiдповiднi

властивостi функцiй, а отже, й краще донести ¨х до учнiв.

1.3.10. Постановка проблем

Поки що серед основних елементарних функiй фактично визначенi лише стала та степенева функцiя з цiлим показником.

Тому основною проблемою залиша¹ться проблема означення iнших

основних елементарних функцiй як дiйсно¨, так i комплексно¨ змiнно¨.

1.3.11. Контрольнi запитання та завдання

1. Перевiрити, чи правильними ¹ такi твердження:

1)кожна строго монотонна функцiя ¹ монотонною;

2)якщо функцiя f незростаюча на множинi A, то вона спадна на

цiй множинi;

3)твердження, обернене до 2), ¹ правильним;

4)сума, рiзниця, добуток та частка монотонних функцiй ¹ функцi¹ю монотонною;

5)кожна функцiя ¹ або парною, або непарною;

6)кожну функцiю можна подати у виглядi суми парно¨ та непарно¨ функцiй;

7)iсну¹ функцiя, яка одночасно ¹ i парною, i непарною;

8)áóäü-ÿêà монотонна функцiя не ¹ перiодичною;

9)кожна строго монотонна функцiя не ¹ перiодичною;

10)iсну¹ функцiя, вiдмiннa вiд стало¨, для яко¨ кожне дiйсне число

¹ïåðiîäîì;

11)кожна основна елементарна функцiя ма¹ промiжки монотонно-

ñòi;

12)кожний многочлен ¹ монотонною функцi¹ю;

13)кожний многочлен не ¹ перiодичною функцi¹ю;

14)ÿêùî f многочлен, то f рацiональна функцiя;

15)твердження, обернене до 14), ¹ правильним;

16)сума, рiзниця, добуток i частка рацiональних функцiй ¹ функцi¹ю рацiональною;

17)функцiя f(x) = 1=x ¹ монотонною дробово-рацiональною фун-

кцi¹ю, що ма¹ два промiжки спадання. 2. Довести данi твердження:

1)суперпозицiя двох монотонних функцiй (якщо вона iсну¹) ¹ монотонною функцi¹ю;

2)суперпозицiя двох функцiй (якщо вона iсну¹), одна з яких парна,

àдруга непарна, ¹ парною функцi¹ю;

3)якщо функцiя, вiдмiнна вiд стало¨, ¹ перiодичною, то вона не ¹ монотонною.

1.4. Еквiвалентнi множини та потужностi множин

Вводяться поняття еквiвалентних множин, скiнченних та нескiн- ченних множин, кiлькостi елементiв, або потужностi множин. Розгляда¹ться питання про порiвняння потужностей, зокрема теорема Кантора Бернштейна.

1.4.1. Еквiвалентнi множини

Однi¹ю iз задач, якi привели до поняття числа, ¹ задача визначення кiлькостi елементiв дано¨ множини. Вона розв'зу¹ться пiдрахунком цих

елементiв. Так, множина A = fa; b; cg ма¹ три елементи i ¨х бiльше, нiж у множини B = fx; yg.

Однак процедура пiдрахунку кiлькостi елементiв годиться лише для так званих скiнченних множин. А що треба розумiти пiд "êiëüêiñòþ

елементiв нескiнченно¨ множини , зокрема множин N, Z, Q, R i C?

Як можна порiвнювати цi множини за кiлькiстю елементiв? Вiдповiсти на це питання допоможе зауваження про те, що в про-

цесi пiдрахунку елементiв скiнченно¨ множини по сутi визнача¹ться вза¹мно однозначне вiдображення деяко¨ пiдмножини множини натуральних чисел на задану скiнченну множину.

П р и к л а д 1. Пiдраховуючи кiлькiсть елементiв множини A = fa; b; cg, можна числу 1 поставити у вiдповiднiсть елемент a, числу

2 елемент b, а числу 3 елемент c, тобто вказати вза¹мно однозначну вiдповiднiсть f : f1; 2; 3g $ fa; b; cg.

У зв'язку з цим вводять таке означення.

Означення 1 (е к в i в а л е н т н и х м н о ж и н). Множини A i B називають еквiвалентними i записують A B, якщо iсну¹ вза¹мно

однозначне вiдображення множини A на множину B. Отже, A B , 9f : A $ B.

В iншому разi множини A i B називають нееквiвалентними i записують A 6 B.

П р и к л а д 2. 1) За даним означенням множини A = fa; b; cg

iC = fx; yg нееквiвалентнi: fa; b; cg 6 x;f yg.

2)A = f1; 2; : : : ; n; : : : g i B = f2; 4; : : : ; 2n; : : : g ¹ еквiвалентними, оскiльки формула f(x) = 2x зада¹ вза¹мно однозначне вiдображення

множини A на множину B, в чому легко переконатися.

За означенням вважають, що ? ?.

Тепер можна дати чiтке означення скiнченно¨ та нескiнченно¨ множин.

Означення 2 (с к i н ч е н н о ¨ т а н е с к i н ч е н н о ¨ м н о ж и н). Множину A називають скiнченною, якщо вона або порожня, або iсну¹

таке натуральне число n, що A f1; 2; 3; : : : ng. При цьому кажуть, що множина A ма¹ вiдповiдно або нуль елементiв, або n елементiв. Множину, яка не ¹ скiнченною, називають нескiнченною.

1.4.2. Властивостi еквiвалентних множин

Вкажемо на основнi властивостi еквiвалентних множин.

1)Рефлексивнiсть: A A;

2)симетричнiсть: A B =) B A;

3)транзитивнiсть: A B i B C =) A C;

4)еквiвалентнiсть об'¹днань . Нехай Ai Bi 8i 2 I (I множина

Ai Bi.

ii

Проiлюстру¹мо методи доведення цих властивостей на прикладi

жним двом рiзним елементам з множини A вiдповiдають два рiзнi елементи з множини B.

Оскiльки Ai Bi, то 9fi : Ai $ Bi 8i 2 I. За умовою множини Ai не перетинаються, тому 8x 2 A 9! i 2 I : x 2 Ai. Покладемо f(x) := fi(x). Тодi fi(x) 2 Bi, а тому f(x) 2 B, тобто f : A ! B.

9! i 2 I : y 2 Bi ) 9 x 2 Ai : y = fi(x) ) 9 x 2 A : y = f(x):

34 Роздiл 1. Елементарнi факти теорi¨ множин

Îòæå, f : A íà B.

!

Нехай x1 6= x2 довiльнi елементи з A. Òîäi, ÿêùî x1 i x2 належать до однi¹¨ множини Ai, òî f(x1) = fi(x1) 6= fi(x2) = f(x2), îñêiëüêè fi : Ai $ Bi. À êîëè x1 i x2 належать рiзним множинам

Ai, наприклад x1 2 Ai1 a x2 2 Ai2 ; i1 6= i2, òî f(x1) = fi1 (x1) 2 Bi1 , à f(x2) = fi2 (x2) 2 Bi2 . Враховуючи, що множини Bi1 i Bi2 íå ïåðå- тинаються, дiста¹мо f(x1) 6= f(x2).

Таким чином, f : A $ B i òîìó A B. J

Зауважимо, що коли у властивостi 4) не вимагати, щоб множини Ai (Bi) не перетиналися, то це твердження ста¹ неправильним.

Ï ð è ê ë à ä 3. ßêùî A1 = f1g i A2 = f1g; B1 = f2g i

B2 = f3g, òî A1 B1; A2 B2, проте A1[A2 = f1g 6 2f; 3g = B1[B2.

Iншi властивостi еквiвалентних множин пропону¹мо читачевi довести самостiйно.

1.4.3. Поняття кiлькостi елементiв, або потужностi множини

ßêùî A фiксована множина, то можна утворити клас усiх множин, еквiвалентних множинi A. При цьому, якщо множина B 6 A, то вона утворю¹ iнший клас еквiвалентних множин (еквiвалентних множинi B). Тому можна вважати, що кожна множина попада¹ в один i

тiльки один клас еквiвалентних множин. Зокрема, порожня множина ? попада¹ в клас, який мiстить тiльки ¨¨ одну. Множина f1g íàëå-

жить класу множин, кожна з яких ма¹ один елемент; множина f1; 2g

класу двоелементних множин тощо.

Óзв'язку з цим природно дати таке означення кiлькостi елементiв довiльно¨ множини.

Означення 3 (к i л ь к о с т i е л е м е н т i в, а б о п о т у ж н о с т i м н о - ж и н). Кiлькiстю елементiв або потужнiстю множини A назива-

ють деякий символ (A), який приписують класу множин, кожна з яких еквiвалентна множинi A. При цьому кажуть, що множина A

ма¹ (A) елементiв або ма¹ потужнiсть (A).

З цього означення виплива¹, що для будь-яко¨ скiнченно¨ множини A ¨¨ потужнiстю можна назвати або число нуль, коли A = ?, àáî íàòó-

ральне число n, ÿêùî A f1; 2; : : : ; ng. Отже, скiнченна потужнiсть

це звичайна числова кiлькiсть елементiв вiдповiдно¨ множини. Якщо множина A нескiнченна, то кажуть, що вона ма¹ íåñêií÷åí-

ну кiлькiсть елементiв àáî нескiнченну потужнiсть. Зокрема, потужнiсть (N) множини натуральних чисел називають зчисленною (ç÷è-

сленною кiлькiстю елементiв ) i позначають a, а потужнiсть вiдрiзка

[0; 1] називають континуальною (континуальною кiлькiстю елемен-

òiâ) i позначають c.

Зауважимо, що означення скiнченно¨ множини збiга¹ться з iнту¨- тивним уявленням про скiнченнi множини. Бiльше того, воно сфор-

мульоване на основi цих уявлень. Дiйсно, сам процес пiдрахунку елементiв деяко¨ скiнченно¨ множини A 6= ? поляга¹ в тому, що ми пере-

бира¹мо елементи цi¹¨ множини по порядку i ставимо кожному з них у вiдповiднiсть певний номер (натуральне число). При цьому елемен-

òó a 2 A ми ставимо у вiдповiднiсть ¹дине натуральне число, причо- му рiзним a i b 2 A у вiдповiднiсть ставляться рiзнi натуральнi чи- сла, тобто фактично встановлю¹ться вза¹мно однозначне вiдображення f : A $ f1; 2; : : : ; ng.

За властивiстю транзитивностi еквiвалентних множин ма¹ мiсце таке твердження.

Теорема 1 (п р о е к в i в а л е н т н i с т ь с к i н ч е н н и х м н ож и н).

Скiнченнi множини A i B еквiвалентнi тодi й тiльки тодi, коли вони мають однакову кiлькiсть елементiв.

1.4.4. Порiвняння потужностей (кiлькостi елементiв) множин

Скiнченнi потужностi можна порiвнювати мiж собою:

(fa; b; cg) = 3 > (fx; yg) = 2, (f1; 2g) = (fx; yg) = 2.

За аналогi¹ю iз скiнченними множинами можна ввести такi озна- чення.

Для даних множин A i B кажуть, що:

âîíè мають однаковi потужностi i записують (A) = (B), ÿêùî A B;

потужнiсть A менша за потужнiсть B i записують (A) <

(B), ÿêùî A 6B, однак iсну¹ така пiдмножина B1 B, ùî A B1;

потужнiсть A бiльша за потужнiсть B i записують (A) >(B), ÿêùî (B) < (A);

потужнiсть A не бiльша за потужнiсть B i записують (A)

(B), ÿêùî (A) < (B) àáî (A) = (B);

потужнiсть A не менша за потужнiсть B i записують (A)

(B), ÿêùî (A) > (B) àáî (A) = (B).

ßêùî (A) i (B) скiнченнi потужностi, то за властивостями дiйсних чисел з нерiвностей (A) (B) i (A) (B) виплива¹ рiвнiсть (A) = (B).

Природно чекати, що ця властивiсть ма¹ мiсце i для нескiнченних потужностей. Спробу¹мо це довести.

I Îñêiëüêè (A) > (B), то iсну¹ така множина A1, ùî A A1 B, тобто iсну¹ вза¹мно однозначне вiдображення ' множини B на множину A1. З нерiвностi (A) 6 (B) виплива¹ iснування тако¨ множини B1, ùî B B1 A.

Позначимо '(B1) = A2 A1 i дiстанемо включення A A1 A2, a з еквiвалентностей A B1 i A2 B1 äiñòà¹ìî, ùî A A2.

Îòæå, A A1 A2 i A A2.

Отже, доведено таке твердження.

Теорема 2 (К а н т о р а Б е р н ш т е й н а). ßêùî (A) (B) i

(A) (B) òî (A) = (B).

Наступне важливе твердження приймемо без доведення.

Теорема 3 (п р о п о р i в н я н н я п о т у ж н о с т е й). Для будь-яких множин A i B ма¹ мiсце одне й тiльки одне iз спiввiдношень: або

(A) = (B), àáî (A) < (B), àáî (A) > (B).

1.5. Зчисленнi множини

Розгляда¹ться важливий клас зчисленних множин та ¨хнi властивостi. Показано, що множини цiлих, рацiональних та алгебра¨чних чисел ¹ зчисленними.

1.5.1. Поняття зчисленно¨ множини та ¨¨ критерiй

Означення 1 (п о т у ж н о с т i м н о ж и н и N). Кiлькiсть елементiв (потужнiсть) множини N = f1; 2; 3; : : : ; n; : : : g натуральних чисел називають зчисленною i позначають лiтерою a, тобто (N) = a.

Означення 2 (з ч и с л е н н о ¨ м н о ж и н и). Множину A називають

зчисленною, якщо вона еквiвалентна множинi натуральних чисел N,

тобто якщо вона ма¹ зчисленну кiлькiсть елементiв (зчисленну потужнiсть).

П р и к л а д 1. Множина A = f2; 4; : : : ; 2n; : : : g ¹ зчисленною, тобто (A) = a, îñêiëüêè A N.

I Нехай A зчисленна множина, тобто A N, àáî N A. Це означа¹, що iсну¹ вза¹мно однозначне вiдображення f множини N íà A, тобто виконуються умови:

1) 8n 2 N 9! x = f(n) = xn 2 A;

2) xn1 = f(n1) 6= f(n2) = xn2 8n1 6= n2;

3) 8x 2 A 9n 2 N : x = f(n) = xn.

Останн¹ рiвносильнe тому, що множину A можна записати у виглядi множини членiв деяко¨ послiдовностi, тобто A = fx1; x2; : : : ;

xn; : : : g, причому члени цi¹¨ послiдовностi попарно рiзнi ( xn1 6= xn2 , êîëè n1 6= n2). У цьому випадку кажуть, що елементи множини A

занумеровано всiма натуральними числами . J

Отже, доведено таке твердження.

Теорема 1 (к р и т е р i й з ч и с л е н н о с т i). Для того щоб множина A була зчисленною, необхiдно й досить, щоб ¨¨ елементи можна

було занумерувати всiма натуральними числами, тобто подати A у виглядi множини попарно рiзних членiв деяко¨ послiдовностi.

Множину f1; 2; 3; : : : ; ng =: 1; n називають вiдрiзком множини на-

туральних чисел. Зрозумiло, що кожну скiнченну множину можна занумерувати всiма натуральними числами якогось вiдрiзка множини натуральних чисел.

1.5.2. Найменша нескiнченна потужнiсть

Множину A називають не бiльш нiж зчисленною, якщо вона ¹ або скiнченною, або зчисленною, тобто (A) a. При цьому замiсть слiв

"не бiльш нiж зчисленна потужнiсть"вживають слова "не бiльш нiж зчисленна кiлькiсть". Зрозумiло, що елементи не бiльш нiж зчисленно¨ множини, вiдмiнно¨ вiд порожньо¨, можна занумерувати або скiнченною кiлькiстю натуральних чисел, або всiма натуральними числами.

Якщо в якомусь рядку таблицi (1) скiнченна кiлькiсть елементiв, то вважатимемо, що останнiй елемент повторю¹ться зчисленну кiлькiсть разiв. Якщо кiлькiсть рядкiв таблицi (1) скiнченна, то вважатимемо, що останнiй рядок повторю¹ться зчисленну кiлькiсть разiв.

Тепер занумеру¹мо елементи таблицi (1) за схемою

7: : : : : :

При цьому, якщо зустрiча¹ться елемент, який вже занумеровано, то

i2I

цi (1), то вони занумерованi або всiма натуральними числами, або ¨х скiнченною кiлькiстю. Тому A не бiльш нiж зчисленна множина, а

ÿêùî A нескiнченна, то за теоремою 2 вона ¹ зчисленною. J Отже, доведено таке твердження.

Теорема 4 (п р о о б'¹ д н а н н я н е б i л ь ш н i ж з ч и с л е н н и х м н о ж и н). Об'¹днання не бiльш нiж зчисленно¨ кiлькостi не бiльш нiж зчисленних множин ¹ не бiльш нiж зчисленною множиною. Якщо

це об'¹днання ¹ нескiнченною множиною, то воно зчисленне.

Пропону¹мо читачевi з теореми 4 дiстати наслiдки про потужнiсть об'¹днання:

1)зчисленно¨ кiлькостi скiнченних множин;

2)скiнченно¨ кiлькостi зчисленних множин;

3)зчисленно¨ кiлькостi зчисленних множин.

1.5.4. Потужнiсть множин Z i Q

За допомогою теореми 3 неважко розв'язати питання про поту-

фiксованим натуральним числом. Зрозумiло, що кожна з цих множин