ifmion_kma_Mykhalin_Dujenkova(Mnozhyny)

1.1.8. Контрольнi запитання та завдання

1. Перевiрити, чи правильними ¹ такi твердження:

1)твердження "Множина це багато чогось, на що можна дивитись як на щось цiле"¹ означенням;

2)A = ? , A B 8B;

3)A B , 9 x 2 A : x 2 B;

4)A B , x 62B 8x 62A;

5)iсну¹ множина, усi пiдмножини яко¨ невласнi;

6)x 62A [ B , x 62A àáî x 62B;

7)x 62A \ B , x 62A i x 62B;

8)x 62A n B , x 62A àáî x 2 B;

9)x 62CE(A [ B) , x 62CEA àáî x 62CEB;

10)x 62CE(A \ B) , x 62CEA i x 62CEB.

2. Знайти об'¹днання, перерiз та рiзницю множин A i B:

1)A = fx 2 R : xx + 12 > 1g; B = ( 1; 2);

2)A = fx 2 R : x2 5x + 6 > 0g; B = f2; 3; 4g. x 4

4. Непорожню множину S деяких пiдмножин унiверсально¨ множини називають алгеброю ( -алгеброю), якщо: а) A 2 S, коли A 2 S

Довести, що -алгебра ¹ алгеброю, причому:

TS

1) 2 S i ? 2 S; 2) Ai = Ai;

ii

3)Tn Ai 2 S (для алгебри) i T1 Ai 2 S (для -алгебри);

1.2. Поняття вiдповiдностi, вiдображення, функцi¨

Розглядаються означення функцi¨ як вiдповiдностi мiж множинами та залежностi мiж змiнними, якi грунтуються на одному й тому самому поняттi множини та ¨¨ елементiв. Наведено приклади функцiй, якi надалi часто використовуватимуться. Введено поняття обернено¨ та складно¨ функцiй.

1.2.1.Деякi зауваження щодо введення поняття функцi¨

Поняття функцi¨ одне з найважливiших математичних понять. Досить часто його визначають як залежнiсть одних змiнних величин вiд iнших.

Величезна кiлькiсть практичних задач приводить до поняття функцi¨ та розв'язу¹ться за допомогою саме цього поняття.

П р и к л а д 1. 1) Площа S прямокутника ¹ функцi¹ю його сторiн x i y: S = xy; 2) øëÿõ s, пройдений тiлом зi сталою швидкiстю v ¹ функцi¹ю часу t: s = vt; 3) величина сили F , з якою матерiальнi

точки масою m1 i m2 притягуються одна до одно¨, ¹ функцi¹ю вiдстанi r мiж цими точками: F = k m1m2

r2 .

Однак, якщо проаналiзувати наведене вище поняття, то виникають питання: 1) що розумiти пiд поняттям "залежнiсть\ òà 2) ùî òàêå

"змiнна величина\ i "величина\ взагалi.

Введемо поняття функцi¨, користуючись лише вже введеними поняттями множини, ¨¨ елемента та належностi елемента до множини.

1.2.2. Пари елементiв

Нехай задано двi непорожнi множини A i B. Òîäi впорядкованою

парою (або просто парою) елементiв цих множин називають множину fx; fygg, äå x фiксований елемент однi¹¨ множини, наприклад

A, à y фiксований елемент iншо¨ множини, наприклад B. Вказану множину, тобто пару, позначають (x; y), àáî (x; y), i називають x

першою, à y другою координатою (компонентою) ïàðè.

З а у в а ж е н н я. Множина fx; xg = fxg не ¹ парою на вiдмiну вiд множини fx; fxgg, що ¹ парою (x; x).

Ï ð è ê ë à ä 2. ßêùî A = f1; 2g, à B = f3; 4g, то можливi такi пари: (1; 3), (1; 4), (2; 3), (2; 4), (3; 1), (3; 2), (4; 1) i (4; 2).

Ïàðè (x; y) òà (z; u) називають рiвними i записують (x; y) = (z; u), ÿêùî x = z i y = u. Зокрема, (x; y) = (y; x) , x = y.

1.2.3. Поняття декартового добутку множин

Декартовим добутком непорожнiх множин A i B називають множину A B = f(x; y) : x 2 A; y 2 Bg , тобто множину всiх можливих пар (x; y), äå x 2 A, à y 2 B.

Ï ð è ê ë à ä 3. ßêùî A = f1; 2g, à B = f3; 4g, òî A B = f(x; y) : x 2 A; y 2 Bg = f(1; 3); (1; 4); (2; 3), (2; 4)g, à B A = f(x; y) : x 2 B; y 2 Ag = f(3; 1); (3; 2), (4; 1); (4; 2)g.

Отже, взагалi кажучи, A B 6= B A.

Якщо для простору R1 вважати, що (x1) = x1, то дiстанемо, що

називають вiдповiдно абсцисою, ординатою òà аплiкатою.

1.2.4. Вiдповiднiсть мiж множинами

Вiдповiднiстю (залежнiстю) мiж непорожнiми множинами A i

B називають будь-яку множину A B. При цьому, якщо пара

(x; y) 2 , то кажуть, що елемент y 2 B вiдповiда¹ елементу x 2 A. Множину називають також законом вiдповiдностi мiж множинами

Ai B, àáî залежнiстю мiж змiнними x 2 A i y 2 B.

Ïð è ê ë à ä 4. ßêùî A = f1; 2g, à B = f3; 4g, òî Ã = f(1; 3); (1; 4); (2; 3)g одна з можливих вiдповiдностей мiж множинами

Ai B.

14 Роздiл 1. Елементарнi факти теорi¨ множин

Пропону¹мо читачевi вказати всi можливi вiдповiдностi мiж цими множинами.

Серед вiдповiдностей мiж непорожнiми множинами A i B âè-

дiляють так званi функцiональнi вiдповiдностi (функцiональнi залежностi), тобто такi, коли кожному елементу x 2 A вiдповiда¹ ¹диний

f(1; 4); (2; 3)g ¹ функцiональними, а будь-яка iнша вiдповiднiсть мiж множинами A i B не ¹ функцiональною (впевнитися в цьому).

Введенi вище поняття декартового добутку множин, вiдповiдностi та функцiонально¨ вiдповiдностi мiж множинами можна проiлюструвати графiчно.

Нехай A=fx : x 2 [a; b] Rg; B = fy : y 2 [c; d] Rg.

Тодi прямокутник CDKL áó-

де зображати декартiв добуток A B (äèâ. ðèñ. 1.3); áóäü-ÿêà

фiгура, яка мiститься в прямокутнику

CDKL, наприклад EF GH, зображатиме вiдповiднiсть мiж A

i B, а будь-яка крива P R, яка ма¹ властивостi:

1) проекцiя P R íà âiñü OX çáiãà¹òüñÿ ç A;

2) будь-яка пряма, проведена паралельно осi OY , перетина¹ P R не бiльше нiж в однiй точцi, зображатиме функцiональну вiдповiднiсть мiж множинами A i B.

1.2.5. Вiдображення та функцiя

З поняттям функцiонально¨ вiдповiдностi тiсно пов'язане поняття

вiдображення àáî функцi¨.

Якщо задано функцiональну вiдповiднiсть мiж множинами A i B, òî вiдображенням f множини A â B àáî функцi¹ю f з множини A â B називають трiйку (A; B; ), яку позначають f : A ! B, àáî

f

A!B, або записують y = f(x); x 2 A; y 2 B.

При цьому A називають множиною (областю) визначення функцi¨ f i позначають D(f); називають ãðàôiêîì f; елемент y 2 B, який ¹ образом елемента x 2 A, називають також значенням вiдображення

(функцi¨) f â òî÷öi x i позначають f(x), а множину ff(x) : x 2 D(f)g

називають множиною значень функцi¨ f i позначають E(f). Зрозумiло, що кожне вiдображення f : A ! B цiлком визнача¹-

òüñÿ ñâî¨ì ãðàôiêîì àáî âiäïîâiäíiñòþ

Тому досить часто поняття функцi¨ та функцiонально¨ вiдповiдностi ототожнюють i називають функцi¹ю таку вiдповiднiсть (залежнiсть) мiж двома множинами (змiнними), коли кожному елементу (значенню) однi¹¨ множини (змiнно¨) вiдповiда¹ ¹диний елемент

(¹дине значення) iншо¨ множини (змiнно¨) .

На цьому грунту¹ться графiчний спосiб задання функцi¨ (вiдображення), при якому функцiю f задають ¨¨ графiком (f).

Зрозумiло, що функцiю (вiдображення) f : A ! B можна вважати заданою, якщо для кожного x 2 A вказано його образ f(x) або спосiб (правило) вiдшукання цього образу. Саме тому функцiю f : A ! B часто позначають y = f(x); x 2 A; y 2 B або просто y = f(x).

З цим пов'язаний табличний спосiб задання функцi¨ , при якому функцiя f зада¹ться таблицею, в якiй вказано всi можливi елементи

Найпоширенiшим способом задання функцi¨ f ¹ аналiтичний спо-

ñiá, при якому за допомогою однi¹¨ або декiлькох формул вказу¹ться правило вiдшукання образу f(x) кожного елемента x 2 D(f).

Якщо функцiю задано аналiтично i область ¨¨ визначення не вказано, то вважають, що вона склада¹ться з усiх точок x, при яких заданi формули мають змiст.

Зауважимо, що будь-яка змiна областi визначення функцi¨ при збереженнi правила вiдшукання образу приводить до виникнення ново¨ функцi¨, яка ма¹ вже сво¨ властивостi.

П р и к л а д 6. Функцiя f(x) = x2 з областю визначення [1 ; 2) ма¹ найменше значення, але не ма¹ найбiльшого. Змiнивши область визначення, включивши до не¨ лише одну точку x = 2 (при збереженнi закону вiдповiдностi), дiстанемо якiсно нову функцiю, яка на вiдрiзку [1; 2] матиме як найменше, так i найбiльше значення.

Елементи множини D(f) можуть позначатися не лише буквою x, але й якими завгодно символами. Це саме стосу¹ться елементiв множини E(f) та само¨ функцi¨.

Здебiльшого в математичному аналiзi розглядають так званi чи- словi функцi¨, тобто такi, у яких множина значень E(f) ¹ числовою,

зокрема функцi¨ дiйсно¨ змiнно¨, êîëè D(f) R i E(f) R. Розглянемо деякi приклади функцiй.

16 Роздiл 1. Елементарнi факти теорi¨ множин

Ï ð è ê ë à ä 7. 1) ßêùî A i B довiльнi непорожнi множини, то рiвнiсть f(x) = b (àáî y = b) 8x 2 A, äå b фiксований елемент з B, визнача¹ сталу функцiю (стале вiдображення) f : A ! B.

Зокрема, якщо A = B = R1, òî ãðàôiê (f) стало¨ фун-

кцi¨ можна уявляти як пряму, зображену на рис. 1.4, a).

2) ßêùî A = B 6= ?, òî ðiâíiñòü f(x) = x (àáî y =

x) 8x 2 A визнача¹ òîòî-

жнe вiдображення (тотожну

функцiю).

Це вiдображення зберiга¹ будь-який елемент x 2 A, коли вiд нього перейти до його образу.

ßêùî A = B = R1, òî ãðàôiê (f) тотожного вiдображення мо-

жна уявляти як пряму, зображену на рис. 1.4, б ) (бiсектриса першого й третього координатних кутiв).

3) ßêùî A = N, à B 6= ?, òî ðiâíiñòü f(n) = y = yn 2 B 8n 2 N визнача¹ функцiю, яку називають ïîñëiäîâíiñòþ.

Отже, послiдовнiсть це будь-яка функцiя f, визначена на множинi на-

туральних чисел.

При цьому образ натурального чи- сла n, тобто f(n), позначають yn i íà-

зивають n-м або загальним членом послiдовностi, а саму послiдовнiсть позна- чають f = (yn).

Зокрема, якщо значеннями послiдовностi ¹ числа, то ¨¨ називають числовою. Графiк числово¨ послiдовностi з дiйсни-

ми членами можна зобразити у виглядi множини окремих точок площини OXY (ðèñ. 1.5).

4) ßêùî n 2 Z фiксоване число, то рiвнiсть f(x) = xn визнача¹

степеневу функцiю з цiлим показником .

Область визначення та властивостi цi¹¨ функцi¨, зокрема вигляд

функцiю з довiльним фiксованим рацiональним показником mn Âëà- стивостi таких функцiй та вигляд ¨х графiкiв залежить вiд показника

m=n.

àáî çíàê x (позначають sign x), ðèñ. 1.7.

8) Якщо A = f1; 2; : : : ; ng для деякого n 2 N, а B 6= ?, то рiвнiсть

y = f(k) =: yk 2 B 8k 2 1; n

визнача¹ функцiю, яку називають скiнченíîþ послiдовнiстю i позначають f = (fk); k 2 1; n.

9) Ðiâíiñòü y = [x] визнача¹ функцiю, яку

називають цiлою частиною дiйсного числа , [x]

найбiльше цiле число, що не перевищу¹ зна- чення x (¨¨ графiк зображено на рис. 1.8, а)).

10) Функцiю y = x [x] називають дробовою частиною дiйсного числа x; ¨¨ позначають fxg. Графiк цi¹¨ функцi¨ зображено на рис. 1.8, б ).

1.2.6. Вза¹мно однозначнe вiдображення

Якщо заданo вiдображення f : A ! B i A1 A, то множину образiв всiх елементiв множини A1 позначають f(A1), тобто

f(A1) = fy 2 B : (9 x 2 A1 : f(x) = y)g:

При цьому f(A1) називають образом множини A1. Зокрема, множиною значень вiдображення f : A ! B ¹ множина E(f) = f(A).

Взагалi кажучи, для вiдображення f : A ! B множина значень

E(f) 6= B.

Ï ð è ê ë à ä 8. Âiäïîâiäíiñòü Ã(f) = f(1; 3); (2; 3)g зада¹ вiдображення f : f1; 2g ! f3; 4g, для якого E(f) = f3g 6= f3; 4g.

ßêùî æ E(f) = B, то вiдображення f : A ! B називають вiдображенням множини A на B.

Ï ð è ê ë à ä 9. ßêùî f : f1; 2g ! f3; 4g, òî f вiдображення множини f1; 2g íà f3; 4g òîäi é òiëüêè òîäi, êîëè Ã(f) = f(1; 3); (2; 4)g àáî Ã(f) = f(1; 4); (2; 3)g.

Серед усiх вiдображень множини A íà B видiляють âçà¹ìíî îäíî-

значнi вiдображення, тобто такi вiдображення f : AíàB, äëÿ ÿêèõ

!

f(A) = B i рiзнi елементи множини A мають рiзнi образи. При цьому записують f : A $ B, àáî A f! B, àáî y â.î.f(x); x 2 A; y 2 B.

=

П р и к л а д 10. Кожне вiдображення множини f1; 2g íà f3; 4g ¹ вза¹мно однозначним, а кожне вiдображення f1; 2; 3g íà f1; 2g не ¹ вза¹мно однозначним.

Нехай задано множини Xk; k 2 N. Розглянемо множину P усiх послiдовностей (xk) та множини Pn; n 2 N усiх скiнченних послiдов-

ностей (xk); k 2 1; n, äå xk 2 Xk 8k 2 N. (xk) = (yk) , xk = yk 8k. Якщо iсну¹ вiдображення f : P $ A (f : Pn $ A при деякому n 2 N), то казатимемо, що елементи множини A цiлком визнача-

ються нескiнченною (скiнченною) кiлькiстю iндексiв xk 2 Xk; k 2

N (k 2 1; n) i записуватимемо A = fax1;x2;:::;xn;::: : xk 2 Xk 8k 2

Ng (A = fax1;x2;:::;xn : xk 2 Xk 8k 2 1; ng). Множину A називатимемо при цьому iндексованою множиною, а елементи xk 2 Xk iндексами

елементiв множини A.

1.2.7. Обернене вiдображення, oбернена функцiя

A i називають оберненою функцi¹ю до функцi¨ f, а саму функцiю f у цьому випадку називають оборотною.

Для вiдшукання функцi¨, обернено¨ до y = f(x); x 2 A, достатньо розв'язати вiдносно невiдомого x рiвняння f(x) = y, вважаючи y 2

B = E(f) фiксованим. Якщо для всiх y 2 B такий розв'язок iсну¹ i ¹диний, то вiн i визнача¹ шукану обернену функцiю x = f 1(y); y 2 B.

Âiншому разi вiдповiдна обернена функцiя не iсну¹.

Ïр и к л а д 11. 1) Лiнiйна функцiя y = kx + b ¹ оборотною,

êîëè k 6= 0, i оберненою до не¨ ¹ функцiя x = k1 y kb

2) Квадратична функцiя y = x2 не ¹ оборотною, оскiльки рiвняння y = x2 вiдносно дiйсного невiдомого x ì๠äâà ðîçâ'ÿçêè x = py.

[0; +1), то вона вже ¹ оборотною, i оберненою до не¨ ¹ функцiя x = py. Так само функцiя x = py ¹ оберненою до функцi¨ y = x2,

x 2 ( 1; 0).

Точки M(x; y) i M0(y; x) ¹ симетрични-

ми вiдносно прямо¨ y = x, îñêiëüêè öÿ ïðÿ-

ма ¹ серединним перпендикуляром до вiдрiзка MM0.

Òîìó ãðàôiêè Ã(f) = f(x; f(x)) : x 2 Ag i Ã(f 1) = f(y; f 1(y)) = (f(x); x) : x 2 Ag

¹ симетричними вiдносно прямо¨ y = x, Отже, якщо функцiю x = f 1(y), îáåð-

нену до функцi¨ y = f(x), записати у виглядi y = f 1(x) (що, до речi, й роблять для

зручностi), то ¨¨ графiк стане симетричним до графiка функцi¨ f вiдносно прямо¨ y = x (ðèñ.1.9).

Коли вiдображення f : A ! B не ¹ вза¹мно однозначним, то вва-

жають, що воно не ма¹ оберненого вiдображення (функцiя f не ма¹ обернено¨) у розумiннi даного вище означення вiдображення (функцi¨). Функцiю f при цьому називають необоротною.

П р и к л а д 13. Будь-яке вiдображення f : f3; 4; 5g ! f1; 2g не ма¹ оберненого вiдображення; функцiя f(x) = sin x, визначена на

множинi R, не ма¹ обернено¨ функцi¨.

1.2.8. Композицiя (суперпозицiя) функцiй, або складна функцiя

Нехай задано функцi¨ f : A ! B i ' : E ! A. Òîäi композицi¹ю f ' цих функцiй називають функцiю, значення яко¨ знаходять за формулою f '(x) = f('(x)); 8x 2 E. Функцiю f ' називають також

складною функцi¹ю, àáî суперпозицi¹ю функцiй f та '. При цьому ' називають внутрiшньою, à f зовнiшньою функцi¹ю.

Iз наведеного вище означення виплива¹, що композицiя (суперпо-

sin x; x 2 R, à '(x) = ln x; x 2 (0; +1), проте не iсну¹ суперпозицi¨

жними, ÿêùî D(f) = D(') i f(x) = '(x) 8x 2 D(f). При цьому записують f = '.

[0; +1). Однак, якщо вважати, що D(f) = D(') = R, òî f i ' âæå

не ¹ тотожними функцiями.

1.2.10. Числовi функцi¨

У класичному математичному аналiзi найчастiше мають справу з функцiями f : A ! B, якi, залежно вiд того, якому простору нале-

жать множини D(f) i E(f) мають спецiальну назву (див. таблицю).

1) Функцi¨ однi¹¨ дiйсно¨ змiнно¨ , тобто такi, що

D(f) R i E(f) R;

¨х найчастiше позначають y = f(x); x 2 A; y 2 B;

2) функцiями комплексно¨ змiнно¨ , тобто такими, що

D(f) C i E(f) C;

¨х позначають w = f(z); z 2 A; w 2 B;

3) функцi¨ кiлькох змiнних, тобто такi, що

D(f) Rn i E(f) R;

¨х позначають

u = f(x1; x2; : : : ; xn); (x1; x2; : : : ; xn) 2 A; u 2 R:

Зокрема, при n = 2 ìà¹ìî функцiю двох змiнних u = f(x; y); (x; y) 2 D(f); u 2 R;

à ïðè n = 3 функцiю трьох змiнних

u = f(x; y; z); (x; y; z) 2 D(f); u 2 R:

Графiком функцi¨ двох змiнних часто ¹ деяка поверхня у просторi OXY Z.

Кожна з названих у таблицi функцiй вiдноситься до числових функцiй, тобто до функцiй, значеннями яких ¹ числа (дiйснi або комплекснi).

Над числовими функцiями можна виконувати арифметичнi операцi¨, вважаючи за означенням, що сума f +', рiзниця f ', добуток f '