ifmion_kma_Mykhalin_Dujenkova(Mnozhyny)

Десятковi дроби були вiдомi вже в ХIУ ХУ сторiччi. Арабський маьтематик аль-Кашi описав ¨х у 1427 р. В вропi десятковi дроби ввiв нiдерландський вчений С.Стевiн (1548 1620).

2.4.12. Зв'язок iз шкiльним курсом математики

У шкiльному курсi математики досить детально вивчаються рацiональнi числа, чого не можна сказати про дiйснi числа. Викладенi у цьому параграфi факти про дiйснi числа показують, чому в курсi математики загальноосвiтньо¨ школи можна лише продекларувати деякi вiдомостi про дiйснi числа. У класах з поглибленим вивченням математики цi вiдомостi можна значно розширити та поглибити. Тому вчи- тель математики повинен володiти теорi¹ю дiйсних чисел принаймнi на викладеному рiвнi.

2.4.13. Постановка проблем

У процесi вивчення властивостей дiйсних чисел, грунтуючись на ¨хнiх визначальних властивостях, прийшли до проблеми визначення дiйсних за допомогою нескiнченних десяткових дробiв. Цю проблему до кiнця ще не розв'язано. Було показано, що на точки прямо¨ можна дивитися у певному розумiннi як на дiйснi числа. Виника¹ питання, чи не можна розглядати точки площини теж як деякi числа, якi мiстять серед себе дiйснi числа.

2.4.14. Контрольнi запитання та завдання

m = p i n = q;

4)множина Q рацiональних чисел задовольня¹ властивостi I IУ дiйсних чисел;

5)(a; b) \ Q 6= ? 8a; b 2 R;

6)ÿêùî c скiнченний десятковий дрiб, то c 2 Q;

7)твердження, обернене до 6), ¹ правильним;

8) якщо множина E Q i E обмежена зверху, то sup E 2 Q;

9)кожне дiйсне число ¹ рацiональним або iррацiональним;

10)кожне iррацiональне число ¹ нескiнченним десятковим дробом.

2. Довести данi твердження:

1)не кожний нескiнченний десятковий дрiб ¹ iррацiональним чи-

ñëîì;

2)ÿêùî a 2 Q, то воно ¹ нескiнченним перiодичним дробом;

умови iснування право¨ частини рiвностi). Показати, що цей степiнь ма¹ властивостi:

0 < a < 1;

11

5)an < bn , êîëè a < b i n = 2k 1 àáî 0 < a < b i n = 2k.

2.5. Комплекснi числа

У п. 2.4.12 поставлено питання про можливiсть розглядати точки площини як деякi числа, частинним випадком яких ¹ дiйснi числа. Позитивну вiдповiдь на це питання дано в цьому параграфi завдяки введенню множини комплексних чисел.

Розглянуто рiзнi форми запису та зображення комплексних чисел, властивостi модуля й аргументу, арифметичнi операцi¨ та добування кореня, а також доведено важливу формулу бiнома Ньютона для довiльних комплексних чисел.

2.5.1. Поняття комплексного числа i множини C

Якщо у площинi XOY (див. рис. 2.7) вибрати декартову прямокутну систему координат, то кожну точку (x; y) цi¹¨ площини можна ототожнити з виразом x + iy, який назвемо комплексним числом i позначимо z = x + iy.

При цьому число x називають дiйсною частиною комплексного числа z i позначають Re z, а число y називають уявною частиною

OX називають дiйсною вiссю, à âiñü OY , точки яко¨ (0; y) (крiм точки

z = 0 , Re z = 0 i Im z = 0, а число z = 0 називають нулем множини C комплексних чисел.

але вiн не ¹диний. Множину всiх значень аргументу z позначають Arg z, а те його значення, що лежить

ó ïðîìiæêó ( ; ], називають головним значенням аргументу i позначають arg z (äèâ. ðèñ. 2.8).

Неважко помiтити, що Arg z = farg z + 2k :

де враховано, що i2 = 1.

Неважко помiтити, що сума й добуток комплексних чисел задовольняють властивостi I II дiйсних чисел (див. п. 2.1.1). Пропону¹мо читачевi впевнитися в цьому самостiйно.

Зауважимо тiльки, що одиницею в C ¹ число z = 1 = 1 + i0, протилежним елементом для z = x+iy ¹ число ( z) = x iy, а оберненим

тобто з комплексними числами оперують, як iз многочленами: розкри-

вають дужки та зводять подiбнi члени, вважаючи, що i i = i2 = 1:

2.5.4. Основнi властивостi модуля i аргументу

Вiдмiтимо деякi важливi властивостi модуля та аргументу комплексного числа.

Властивiсть 1 (к р и т е р i й р i в н о с т i к о м п л е к с н и х ч ис е л).

96 Роздiл 2. Множини дiйсних i комплексних чисел

Ç à ó â à æ å í í ÿ. Ðiâíiñòü Arg z1 = Arg z2 розумiють як рiвнiсть двох множин. Аналогiчно розумiють i рiвностi з властивостi 4.

Проiлюстру¹мо можливi методи доведення цих властивостей. Зрозумiло, що

p

jz1 z2j 6 jz1j + jz2j , (x1 x2)2 + (y1 y2)2 6

qq

6x21 + y12 + x22 + y22 , x21 + x22 + y12 + y22 2(x1x2 + y1y2) 6

q q

6 x21 + x22 + y12 + y22 2 x21 + y12 x22 + y22 ,

q q

, (x1x2 + y1y2) 6 x21 + y12 x22 + y22:

Якщо лiва частина останньо¨ нерiвностi ¹ вiд'¹мною, то нерiвнiсть правильна. А коли лiва частина нерiвностi невiд'мна, то вона рiвносильна такiй нерiвностi

(x1x2 + y1y2)2 6 (x21 + y12)(x22 + y22) ,

, x21 x22 + y12 y22 + 2x1 x2 y1 y2 6 x21 x22 + y12 y22 + x1y22 + y22x22 , , 2x1 x2 y1 y2 6 x21y22 + x22y12 , (x1y2 y1x2)2 > 0;

i знову дiста¹мо правильну нерiвнiсть. Тому правильною ¹ нерiвнiсть про модуль суми та рiзницi: jz1 z2j 6 jz1j + jz2j.

Iншi нерiвностi пропону¹мо читачевi довести самостiйно.

Для доведення властивостi 4 розглянемо комплекснi числа z1 i z2, записанi в тригонометричнiй формi. Тодi матимемо:

z1 z2 = jz1j(cos Arg z1 + i sin Arg z2) jz2j(cos Arg z2 + i sin Arg z2) =

jz1jjz2j((cos Arg z1 cos Arg z2 sin Arg z1 sin Arg z2)+ +i(cos Arg z1 sin Arg z2 + sin Arg z1 sin Arg z2)) = jz1jjz2j((cos(Arg z1 + Arg z2) + i sin(Arg z1 + Arg z2) ) ) jz1 z2j = jz1j jz2j i Arg(z1 z2) = Arg z1 + Arg z2:

Мiркування для частки пропону¹мо читачевi довести самостiйно.

Використовуючи метод математично¨ iндукцi¨, неважко узагальни-

Qn Pn

Рiвнiсть (3) називають формулою Муавра.

Ï ð è ê ë à ä 3. (1 + i)16 = (p2)16(cos 4 + i sin 4 ) = 28 = 256.

За допомогою формули (3) можна розв'язати рiвняння wn = z вiдносно w äëÿ âñiõ n 2 N.

2.5.5. Êîðiíü n-го степеня з комплексного числа

w = jwj(cos ' + i sin ') ¹ коренем, n-го степеня з числа z òîäi é òiëüêè òîäi, êîëè

вершинами правильного n-кутника, вписаного у коло з центром у точцi 0 i радiусом r = n jzj.

p

частiше позначають n z.

комплекснiй площинi C. При цьому множину = fz 2 C : jz z0j = rg доцiльно назвати колом, а множину K = fz 2 C : jz z0j < rg кругом з центром у точцi z0 i радiусом

Круг K називають також околом точки z0. Якщо, зокрема, r = ", то його називають також "-околом точки z0 у комплекснiй площинi C i позначають O"(z0) (рис. 2.11, а ).

Множину O"(z0) n fz0g називають проколеним околом ("-околом) точки z0 i позначають O" (z0) (рис. 2.11, б ), тобто це множина точок

z, що задовольняють нерiвнiсть

0 < jz z0j < ":

Якщо до C при¹днати так звану нескiнченно вiддалену точку 1, то дiстанемо розширену комплексну площину C = C [ f1g.

Околом (проколеним "-околом) нескiнченно вiддалено¨ точки 1 називають множину O" (1) = O"(1) = fz 2 C : jzj > "g (ðèñ. 2.11, â ).

П р и к л а д 5. Якщо " = 0; 01, то "-окiл та проколений "-окiл точки z0 = 1+i визначаються вiдповiдно нерiвностями jz 1 ij < 0; 01 та 0 < jz 1 ij < 0; 01; a "-окiл точки z0 = 1 нерiвнiстю jzj > 0; 01:

Множину E C називають обмеженою, якщо iсну¹ число H > 0 таке, що jzj 6 H 8z 2 E, тобто E лежить в деякому околi точки z = 0. У противному разi множину E називають необмеженою.

100 Роздiл 2. Множини дiйсних i комплексних чисел

2.5.7. Бiном Ньютона

Нарештi, доведемо важливу рiвнiсть, яка ма¹ назву бiнома Ньюто-

íà.

У зв'язку з цим виника¹ гiпотеза про правильнiсть такого твердження.

Теорема 1 (п р о б i н о м Н ь ю т о н а). Äëÿ áóäü-ÿêèõ комплексних

яку називають бiномом Ньютона .

I Скориста¹мося методом математично¨ iндукцi¨. Для n = 1 рiвнiсть (5) правильна.

Припустимо, що вона ¹ правильною для n = m i розглянемо випадок n = m + 1:

(a + b)m+1 = (a + b)m(a + b) = ( Pm Cmk am kbk)(a + b) =

k=0

à òîìó

(a + b)m+1 = am+1 + Pm (Cmk + Cmk 1)am+1 kbk + bm+1: k=1