ifmion_kma_Mykhalin_Dujenkova(Mnozhyny)

98k > n0. У випадку, коли n0 = 0, вважа¹мо, що 0 = 0. Тодi для всiх n 2 N : n > n0 ма¹мо

насправдi ¹ нескiнченна кiлькiсть, вiдмiнних вiд 9.

Враховуючи проведенi мiркування, назвемо нескiнченним десятковим дробом вираз вигляду

називають n-им рацiональним наближенням числа a âiäïîâiäíî ç íå-

достачею та з надлишком, або рацiональним наближенням з недоста- чею (надлишком) з точнiстю до 10 n.

Зауважимо, що числа вигляду an i a+n називають також ñêií÷åí-

ними десятковими дробами .

Проведенi вище мiркування показують, що для кожного дiйсного числа a iсну¹ його зображення у виглядi нескiнченного десяткового дробу.

Виника¹ питання, скiльки таких зображень для даного числа a iсну¹.

за означенням

a0 6 a < a0 + 1 i b0 6 a < b0 + 1 ) a0 = [a] i b0 = [a]:

За властивiстю про ¹динiсть цiло¨ частини ма¹мо a0 = b0. Враховуючи це, дiста¹мо:

a0 + 1 10 1 6 a < a0 + 1 10 1 + 10 1;

a0 + 1 10 1 6 a < a0 + 1 10 1 + 10 1 ) ) 1 6 (a a0) 10 < 1 + 1;

1 6 (a a0) 10 < 1 + 1 )

1 = [(a a0) 10]; 1 = [(a a0) 10] ) 1 = 1:

Методом математично¨ iндукцi¨ неважко показати, що k = k 8k 2

N. J

Отже, враховуючи властивiсть 11 п. 2.3.2, дiста¹мо таке тверджен-

íÿ.

Теорема 3 (п р о д е с я т к о в е з о б р а ж е н н я д i й с н о г о ч ис л а).

Для кожного дiйсного числа a > 0 iсну¹ його ¹дине десяткове зображення (у виглядi нескiнченного десяткового дробу ).

Зокрема, якщо a > 0, то

i серед чисел k ¹ нескiнченна кiлькiсть, вiдмiнних вiд 9.

2.4.6.Спiввiдношення мiж дiйсними числами та нескiнченними десятковими дробами

Розглянемо множину дiйсних чисел та множину R íåñêií÷åí-

них десяткових дробiв. Теорема 3 стверджу¹, що кожне дiйсне число можна розглядати як нескiнченний десятковий дрiб.

Виника¹ питання, чи правильне обернене твердження, тобто, чи можна кожний десятковий нескiнченний дрiб вважати десятковим зображенням деякого дiйсного числа.

I Розглянемо довiльний фiксований нескiнченний десятковий дрiб,

an = a0 + k 10 k i a+n = a0 + k 10 k + 10 n:

k=1 =1

n 2 N ìà¹ìî an < a+m; a+n > am.

Тому iснують supfan g = a òà inffa+n g = b, причому a 6 b.

Òîìó a+n1+1 < a+n1 6 a+n0 = a, що суперечить нерiвностi a 6 a+n . Îò- же, викону¹ться нерiвнiсть (2), а це й означа¹, що взятий нескiнченний

десятковий дрiб ¹ десятковим зображенням вказаного числа a 2 R.

Припустимо, що цей дрiб ¹ також десятковим зображенням i числа b 6= 0, наприклад, b > 0. Òîäi

0 < b a < a+n an = 10 n 8n 2 N;

що неможливо за наслiдком про рiвнiсть нулю дiйсного числа. J

Цим доведено таке твердження.

Теорема 4 (п р о с п i в в i д н о ш е н н я м i ж д i й с н и м и ч и сл а м и т а н е с к i н ч е н н и м и д е с я т к о в и м и д р о б а м и). Кожне дiйсне чи-

сло можна ототожнювати з його зображенням у виглядi нескiнченного десяткового дробу:

P1

a = a0 + k 10 k =: a0; 1 2 : : : n : : :

k=1

Дiйснi числа, заданi ¨хнiми десятковими зображеннями, називають

десятковими дiйсними числами .

Íàñëiäîê (ï ð î ð i â í i ñ ò ü ä å ñ ÿ ò ê î â è õ ä i é ñ í è õ ÷ è ñ å ë). Десятковi дiйснi числа a0; 1 2 ::: n ::: i b0; 1 2 ::: n ::: ¹ рiвними тодi й тiльки тодi, коли a0 = b0 i k = k 8k 2 N.

Враховуючи ¹динiсть десяткового зображення дiйсного числа, приходимо до висновку, що коли знаходити шукане десяткове зображення рiзними методами, результат буде одним i тим самим. Тому серед цих

методiв вибирають найзручнiший.

Наприклад, якщо a = mn , äå m; n десятковi натуральнi числа, то щоб дiстати десяткове зображення числа, можна подiлити "кутом"число

m íà n.

Виявля¹ться, що десяткове зображення будь-якого рацiонального числа mn обов'язково ¹ так званим перiодичним нескiнченним десятковим дробом, тобто ма¹ вигляд mn = a0; 1 2 ::: n :::, äå (k+i) =

(k+i+pm), êîëè i 2 1; p для деякого k > 0; p > 1 i 8m 2 N0.

рiодичного дробу. Якщо цей перiод дорiвню¹ нулю, то його не пишуть i мають випадок скiнченного десяткового дробу.

Ï ð è ê ë à ä 3. 14 = 0; 25(0) = 0; 25 скiнченний десятковий

äðiá; 13 = 0; (3) i 1770 = 0; 2(428 571) перiодичнi нескiнченнi десятковi дроби, що не ¹ скiнченними десятковими дробами.

Можна довести, що кожний нескiнченний перiодичний десятковий дрiб обовязково ¹ зображенням рацiонального числа.

Таким чином,

множину рацiональних чисел ототожнюють iз множиною нескiн- ченних перiодичних десяткових дробiв,

à

кожний нескiнченний неперiодичний десятковий дрiб ¹ десятковим зображенням iррацiонального числа.

2) ßêùî a = a0; 1 2 ::: k(b1b2 : : : bp) мiшаний перiодичний десятковий дрiб , òî

10ka = a0 1 2 ::: k; (b1b2 : : : bp) =: b0; (b1b2 : : : bp) = b

За формулою (5) дiста¹мо цей самий результат, якщо покласти p = 1 i k = 2:

2.4.8.Сума i добуток нескiнченних десяткових дробiв

Уже вiдомо, що треба розумiти пiд сумою та добутком двох рацiональних чисел. Враховуючи це, можна показати, що коли a = a0; 1 2 : : :

i b = b0; 1 2 : : : n : : : , то ¨хню суму та добуток можна визначити рiв-

ностями

a + b = sup(an + bn ) = inf(a+n + b+n );

ab = sup(an bn ) = inf(a+n b+n ); êîëè a > 0 i b > 0; ab = (a ( b)); êîëè a > 0 i b < 0;

ab = (( a) b); êîëè a < 0 i b > 0; ab = ( a) ( b); êîëè a < 0 i b < 0:

I Äiéñíî, äëÿ âñiõ n 2 N ìà¹ìî

an + bn 6 a + b < a+n + b+n ) c = sup(an + bn ) 6 a + b 6

Мiркування для добутку пропону¹мо читачевi провести самостiйно.

2.4.9. Неперервнiсть множини нескiнченних десяткових дробiв

I Припустимо, що дiйснi числа визначено як нескiнченнi десятковi дроби i нехай A 6 B в тому розумiннi, що a 6 b äëÿ âñiõ a 2 A i äëÿ âñiõ b 2 B. При цьому вiдношення ¾ " введено за допомогою теореми 5.

Покажемо, що iсну¹ число c òàêå, ùî A 6 c 6 B.

Äiéñíî, ÿêùî iñíó¹ c òàêå, ùî c 2 A i c 2 B, òî c шукане число. Тому розглянемо випадок A < B, тобто x < y 8x 2 A i 8y 2 B.

Позначимо

n0 = maxf[x] : x 2 Ag; m0 = minf[y] : y 2 Bg:

Тодi, зрозумiло, n0 6 m0. ßêùî n0 < m0, то число c = m0 задовольня¹ нерiвнiсть A 6 c 6 B.

ßêùî n0 = m0, то розглянемо всi числа

x = n0; 1(x) 2(x) : : : n(x) : : : 2 A; y = n0; 1(y) 2(y) : : : n(y) : : : 2 B;

якi утворюють вiдповiдно множини A1 i B1 òàêi, ùî A 6 A1 6 B1 6 B.

Позначимо 1 = max 1(x) i 1 = min 1(y).

x2A1 y2B1

Отже, можливими ¹ такi два випадки:

1) на якомусь n-ìó êðîöi n < n, i тодi число

c = n0; 1 2 : : : n 1 n0 : : : 0 ¹ шуканим;

2) на будь-якому кроцi дiста¹мо n = n, i òîäi

Таким чином, множина нескiнченних десяткових дробiв задовольня¹ властивiсть IУ неперервностi множини дiйсних чисел. Тому для

цих дробiв справджу¹ться теорема Вей¹рштрасса про iснування sup E

òà inf E. Саме тому суму та добуток нескiнченних десяткових дробiв

можна ввести вказаним вище способом.

Можна показати, що при цьому множина нескiнченних десяткових дробiв задовольня¹ властивостi I IУ дiйсних чисел.

2.4.10.Нескiнченнi r-ковi дроби та ¨хня потужнiсть

Подiбно до того, як вводяться нескiнченнi десятковi дроби, можна ввести так званi нескiнченнi r-ковi дроби.

Нехай r > 1 фiксоване натуральне число. Нескiнченним r-ковим дробом називають вираз вигляду

äå k 2 0; r 1, причому серед чисел k ¹ нескiнченна кiлькiсть вiдмiнних вiд r 1. Зокрема, якщо r = 2, то дiста¹мо нескiнченний

двiйковий, r = 3 нескiнченний трiйковий, r = 10 нескiнченний

десятковий дроби тощо.

Так само, як i для нескiнченних десяткових дробiв, можна показати, що для кожного дiйсного числа a iсну¹ його ¹дине подання у

Множина нескiнченних r-кових дробiв ¹ континуальною. Зокрeма, мно-

жини нескiнченних двiйкових та трiйкових дробiв з нульвою цiлою частиною ¹ континуальними.

Тепер можна довести теорему, сформульовану у п. 1.6.4 (теорема

5).

Теорема 7 (п р о п о т у ж н i с т ь м н о ж и н и п о с л i д о в н о ст е й з н а т у р а л ь н и м и ч л е н а м и). Якщо P множина всiх послiдов-

ностей з натуральними членами, то P континуальна множина.

I Нехай P = f(nk) : nk 2 N 8k 2 Ng. За означенням вважа¹мо, що коли ма¹мо двi послiдовностi (nk) i (mk), то вони рiвнi мiж собою тодi й тiльки тодi, коли nk = mk 8k 2 N.

Розглянемо спочатку пiдмножину P1 множини P , яка склада¹ться з тих елементiв множини P , якi ¹ зростаючими послiдовностями, тобто

P1 = f(nk) : nk 2 N i nk+1 > nk 8k 2 Ng.

Для кожно¨ послiдовностi (nk) ç P1 визначимо вiдображення f за такою формулою:

f((nk)) = 0; 1 2; : : : ; n; : : : ;

äå nk = 0 8k 2 N i n = 1, êîëè n 6= nk.

Неважко помiтити, що f вза¹мно однозначно вiдобража¹ множи-

íó P1 на множину D двiйкових дробiв промiжку [0; 1). Òîìó P1 континуальна множина.

Введемо тепер вiдображення ', поклавши '((mk)) = (nk) для довiльно¨ послiдовностi (mk) 2 P , причому n1 = m1, a nk = m1 + m2 +

+ mk; k > 1. Зрозумiло, що ' : P $ P1, i цим доведено континуальнiсть множини P . J

2.4.11. Iсторична довiдка

Позначення Q i R ïiøëè âiäïîâiäíî âiä ñëiâ Quotite частка та Reel дiйсний.

Iдея означення дiйсного числа за допомогою нескiнченних десяткових дробiв належить нiмецькому математику К. Вей¹рштрассу.

Iсторично введення дробових чисел пов'язане з потребою проводити вимiри довжин, площ, об'¹мiв. З дробовими числами мали справу вже ¹гипетськi (2000 р. до н.е.) та вавiлонськi математики. Вважають, що сучасне позначення дробiв ввели iндiйськi математики.

Поняття дробу в ¹вропейську наук увiйшло вiд арабiв завдяки iталiйському математику Леонардо Пiзанському (Фiбоначчi) (1170 1228).