ifmion_kma_Mykhalin_Dujenkova(Mnozhyny)

1.6..Континуальнi множини. Iснування як завгодно велико¨ потужностi

Тепер зрозумiло, як можна утворити множину, потужнiсть яко¨ бiльша за континуальну.

1.6.8. Iсторична довiдка

Рiзницю мiж зчисленними та континуальними множинами першим помiтив чеський математик Б. Больцано. Поняття трансцендентного числа ввiв Л. Ейлер. Iснування трансцендентних чисел першим довiв у 1851 р. французький математик Ж. Лiувiлль (1809 1882). Наведенi нами доведення iснування трансцендентних чисел, як i всi iншi твердження даного параграфа належать Г. Кантору.

Трансцендентнiсть числа e довiв у 1873 р. французький математик

Ш. Ермiт (1822 1901), а числа у 1882 р. нiмецький математик

К. Лiндеман (1852 1939).

Творець теорi¨ множин Г. Кантор сформулював гiпотезу про те, що нема¹ потужностi, промiжно¨ мiж зчисленною та континуальною. Ця гiпотеза дiстала назву континуум-гiпотези. У 1939 р. австрiйський математик К. Гьодель (1906 1978) довiв, що нiякими логiчними мiркуваннями не можна спростувати цю гiпотезу. А в 1963 р. американський математик С. Коен (народився у 1934 р.) довiв, що континуум-гiпотезу не можна й довести нiякими логiчними мiркуваннями.

1.6.9. Зв'язок iз шкiльним курсом математики

Використовуючи факти, викладенi у цьому параграфi, вчитель математики зможе вiдповiсти на питання, яких числел бiльше: рацiональних чи дiйсних, дiйсних чи комплексних, рацiональних чи iррацiональних, алгебра¨чних чи трансцендентних.

Цi вiдповiдi ¹ дещо несподiваними, оскiльки навести конкретнi приклади чисел, яких менше (наприклад, рацiональних або алгебра¨чних) значно простiше, нiж чисел, яких бiльше (наприклад, iррацiональних

або трансцендентних).

1.6.10. Постановка проблем

Основнi проблеми, що стосуються потужностей, i вiдповiдi на якi корисно знати вчителевi математики, розв'язано. Постановку складнiших проблем та ¨х розв'язання вдумливий читач може знайти в спецi-

альнiй лiтературi, наприклад в [11] та [12].

1.6.11. Контрольнi запитання та завдання

1. Перевiрити, чи правильними ¹ такi твердження:

1)множина A незчисленна, якщо вона не ¹ зчисленною;

2)áóäü-ÿêèé ïðîìiæîê ha; bi ¹ континуальною множиною;

3)множина [a; b] n Q ¹ континуальною;

4)ÿêùî z0 трансцендентне число, то воно iррацiональне;

5)множина трансцендентних чисел заданого вiдрiзка ¹ континуальною;

6)множина деяких кiл (кругiв), що попарно не перетинаються i лежать у площинi XOY , може бути незчисленною множиною;

7)ÿêùî A незчисленна множина, то (A) = c;

8)множина всiх скiнченних пiдмножин множини N ¹ зчисленною;

9)об'¹днання не бiльш нiж зчисленно¨ кiлькостi множин, якi попарно не перетинаються, ¹ континуальною множиною;

10)множина всiх трансцендентних чисел ¹ кoнтинуальною;

11) множина всiх скiнченних пiдмножин вiдрiзка [0; 1] ¹ континуальною;

12)8n 2 N 9A : 2 (A) = n;

13)iсну¹ множина A òàêà, ùî 2 (A) = 1; 2 (A) = 3.

2. Довести данi твердження:

1)ÿêùî (A [ B) = c, òî (A) = c àáî (B) = c;

2)множина знакiв ? на площинi XOY , якi можуть мати рiзнi

розмiри, але попарно не перетинаються, ¹ континуальною;

3)множина комплексних трансцендентних чисел ¹ континуальною;

4)2 (N) = c, тобто 2a = c;

5)множина всiх дiйсних функцiй, визначених на вiдрiзку [a; b] ма¹ потужнiсть 2c = 2 ([0;1]).

3. Нехай = [0; 1], à S сукупнiсть пiдмножин множини , кожна

з яких ¹ або не бiльш нiж зчисленною, або континуальною. Довести, що S ¹ -алгеброю, а потужнiсть (A); A 2 S, ¹ ìiðîþ.

II. Властивостi добутку.

II1 (i ñ í ó â à í í ÿ ä î á ó ò ê ó): для будь-яких чисел a i b iсну¹ ¹диний добуток c 2 R, який позначають c = a b або c = ab;

II2 (ê î ì ó ò à ò è â í à, àáî ï å ð å ñ ò à â í à): a b = b a;

II3 (à ñ î ö i à ò è â í à, àáî ñ ï î ë ó ÷ í à): a (b c) = (a b) c;

II4 (i ñ í ó â à í í ÿ î ä è í è ö i): iсну¹ число 1 òàêå, ùî 1 6= 0 i a 1 =

a.

При цьому 1 називають одиничним елементом, àáî одиницею;

II5 (i ñ í ó â à í í ÿ î á å ð í å í î ã î ÷ è ñ ë à): äëÿ будь-якого числа a 2

R; a 6= 0, iсну¹ число a 1 2 R òàêå, ùî a a 1 = 1. При цьому a 1 називають оберненим числом до a;

II6 (ä è ñ ò ð è á ó ò è â í à, àáî ð î ç ï î ä i ë ü í à): a (b+c) = a b+a c. Операцiю вiдшукання добутку називають операцi¹ю множення.

III. Властивостi упорядкованостi.

III1 (i ñ í ó â à í í ÿ â i ä í î ø å í í ÿ ¾ " ): на множинi R введено вiдношення "менше", яке позначають символом ¾ " , так, що для довiль-

Властивостi I IY називають основними, àáî визначальними властивостями дiйсних чисел. х називають також аксiомами дiйсних чисел. Лише за допомогою цих аксiом можна довести всi iншi властивостi дiйсних чисел.

2.1.2. Координатна (числова) пряма

IIрикладом множини дiйсних чисел може бути множина точок так

звано¨ координатно¨, àáî числово¨ прямо¨.

Координатною прямою називають будь-яку пряму, на якiй зафiксовано двi рiзнi точки: O, що зобража¹ число 0 нуль, i A1, ùî

êiíöåì ó òî÷öi A1 çàä๠додатний напрям координатно¹ прямо¨, що познача¹ться стрiлкою (рис. 2.1).

Напрям, протилежний до додатного, називають âiä'¹ìíèì.

Для зображення числа 2 = 1+ 1 на координатнiй прямiй вiдкладають вiд точки A1 в додатному напрямi вiдрiзок A1A2, ðiâíèé âiäðiçêó OA1. Тодi точка A2 зобража¹ число 2. Так само буду¹мо точку A3, що зобража¹ на координатнiй прямiй число 3 i т.д. Аналогiчно зобража¹мо на координатнiй прямiй будь-яке натуральне число n 2 N.

Для зображення на координатнiй прямiй цiлого вiд'¹много числа ( n), що ¹ протилежним до натурального числа n, áóäó¹ìî íà êîîð-

ба вiдкласти вiдрiзок OA 1 у додатномк напрямi m ðàçiâ, êîëè m > 0,

тнiй прямiй точкою Aa, що ¹ спiльною точкою вiдрiзкiв Aan Aa+n , äå an i a+n n-i рацiональнi наближення числа a вiдповiдно з недоста-

чею та з надлишком (див. п. 2.4.5).

Точки координатно¨ прямо¨ називають дiйсними числами, а дiйснi числа називають точками координатно¨ прямо¨. Таким чином отото-

жнюють поняття координатно¨ прямо¨ i множини R, точку координатно¨ прямо¨ i дiйсного числа.

2.1.3. Деякi iншi властивостi дiйсних чисел

Розглянемо iншi властивостi множини дiйсних чисел, якi будемо доводити, використовуючи основнi властивостi дiйсних чисел, розглянутi у п. 2.1.1.

Властивiсть 1 (п р о ¹ д и н i с т ь н у л я): нуль у множинi R ¹диний.

56 Роздiл 2. Множини дiйсних i комплексних чисел

I Äiéñíî, ÿêùî 0 i 0 нулi множини R, то за властивостями I4

òà I2 ìà¹ìî: 0 = 0 + 0 = 0 + 0 = 0 . J

Пропону¹мо читачевi самостiйно довести ¹динiсть одиничного, про-

Навпаки, якщо x = b+( a), òî x+a = (b+( a))+a = b+(a+( a)) = b + 0 = b, тобто x + a = b. J

Властивiсть 3 (п р о д о б у т о к x 0): x 0 = 0 8x 2 R.

I Згiдно з властивостями I4 òà II6, ìà¹ìî x 0 = x (0+0) = x 0+x 0, а тому за попередньою властивiстю x 0 = 0. J

За допомогою вiдношення < (менше) на множинi

ношення 6 (менше або рiвне), > (áiëüøå) òà > (áiëüøå àáî ðiâíå): a 6 b () a < b àáî a = b;

a > b () b < a;

a > b () a > b àáî a = b:

Число a називають: 1) додатним, ÿêùî a > 0; 2) âiä'¹ìíèì, ÿêùî a < 0; 3) недодатним, ÿêùî a 6 0; 4) íåâiä'¹ìíèì, ÿêùî a > 0.

Властивiсть 4 (п р о д о д а т н i с т ь 1): 1 > 0.

I Справдi, 1 6= 0 (за властивiстю II4), а тому за властивiстю III 1

1 > 0 àáî 1 < 0.

Якщо припустити, що 1 < 0, то за властивiстю III4 ç òîãî, ùî 1 < 0, виплива¹ 1 1 > 0 1 = 1 0 = 0 (останнi двi рiвностi випливають

з властивостей II2 i II4.

Àëå 1 1 = 1 (за властивiстю II4). Îòæå, 1 < 0 i 1 > 0. Дiстали протирiччя, яке й доводить, що 1 > 0. J

Íàñëiäîê 1 (ï ð î ç í à ê a 1). ßêùî a > 0, òî a 1 > 0, à ÿêùî a < 0, òî é a 1 < 0.

Властивiсть 5 (п р о з н а к д о б у т к у):

I Äiéñíî, ÿêùî a b > 0, то за властивiстю 3 a 6= 0 i b 6= 0. IIрипустимо, що a > 0. Òîäi çà íàñëiäêîì 1 a 1 > 0, а тому за властивостями i 3 ма¹мо a 1(a b) > a 1 0 = 0: Звiдси, враховуючи властивостi

II3, II5 i II4, äiñòà¹ìî 1 b > 0 ) b > 0. Аналогiчно розгляда¹ться випадок, коли a < 0.

Навпаки, якщо a > 0 i b > 0 àáî a < 0 i b < 0, то за властивiстю ма¹мо a b > a 0 = 0. J

Властивiсть 8 (п р о с у м у н е р i в н о с т е й). ßêùî a 6 b i c 6 d, òî a + c 6 b + d.

I За властивiстю III3, ÿêùî a 6 b, òî a + c 6 b + c, à ÿêùî c 6 d, òî c+b 6 d+b. Îòæå, a+c 6 b+c i c+b 6 d+b, а тому за властивiстю

III2 ìà¹ìî a + c 6 b + d. J

Пропону¹мо аналогiчно довести таку властивiсть.

Властивiсть 9 (п р о д о б у т о к н е р i в н о с т е й). ßêùî 0 6 a 6 b i 0 6 c 6 d, òî ac 6 bd.

Властивiсть 10 (п р о п р о т и л е ж н е ч и с л о д о п р о т ил е ж н о г о ч и с л а): ( a) = a:

I Справдi, згiдно з властивiстю I 4 ìà¹ìî ( a) + ( ( a)) = ( a) + a = 0 òîäi é òiëüêè òîäi, êîëè ( a) = (( a) + a) + ( ( a)) = (( a) + ( ( a))) + a = a (тут використано властивостi 2 та I 3). J

Властивiсть 11 (к р и т е р i й п о р i в н я н н я ): a > b ,

a b > 0. Аналогiчний критерiй ма¹ мiсце для спiввiдношень ¾", " 6 " i ¿".

I ßêùî a > b, то за властивiстю 8 ма¹мо a + ( b) > b + ( b) ) a b > 0. Навпаки, якщо a b > 0, знову ж таки за властивiстю 8

(a b) + b > a + b ) a + (b b) > b ) a > b. J

58 Роздiл 2. Множини дiйсних i комплексних чисел

Пропону¹мо читачевi самостiйно довести, що: (a 1) 1 = a 8a 6= 0; a a > 0 8a 2 R; a a > 0 8a 6= 0; ( a) = ( 1) a 8a; ( 1) ( 1) = 1; a(b c) = ab bc.

2.1.4.Супремум, iнфiмум, максимум i мiнiмум числово¨ множини

Множину E називають числовою, ÿêùî E R. Геометрично число-

ву множину зображають деякими точками координатно¨ прямо¨ (див. рис. 2.2).

Числову множину називають обмеженою зверху (знизу), якщо iсну¹ число a 2 R òàêå, ùî E 6 a (E > a), тобто x 6 a (x > a) 8x 2 E. Ïðè

цьому число a називають верхньою (нижньою) межею множини E. Якщо, крiм того, число a 2 E, то його називають найбiльшим

(найменшим) числом множини E, àáî максимумом (мiнiмумом) öi¹¨

множини i позначають max E (min E).

Геометрично точки обмежено¨ зверху (знизу) числово¨ множини лежать лiвiше (правiше) вiд точки a або збiгаються з нею.

Множину називають обмеженою, якщо вона обмежена i зверху, i знизу.

Найменшу з усiх верхнiх меж ножини E називають ¨¨

ньою межею, àáî верхньою гранню, àáî супремумом sup E.

Найбiльшу з усiх нижнiх меж ножини E називають ¨¨ точною нижньою межею, àáî нижньою гранню, àáî iнфiмумом i позначають inf E.

Iз латинi supremum означа¹ найвищий, а infimum найнижчий. Таким чином, супремум "схожий"на максимум, а iнфiмум на мiнiмум множини. Вони стають ними, коли належать множинi A.

Теорема 1 (В е й ¹ р ш т р а с с а п р о i с н у в а н н я sup E ò à inf E).

Якщо непорожня множина E R обмежена зверху (знизу), то вона ма¹ супремум (iíôiìóì).

I Якщо множина ? 6= E 2 R обмежена зверху, то множина E = fx 2 R : x верхня межа E g непорожня i E 6 E . Òîìó çà властивiстю неперервностi iсну¹ дiйсне число таке, що E 6 6 E . Звiдси виплива¹, що верхня межа E, à òîìó 2 E , îòæå, = min E , тобто = sup E.

Мiркування для inf E аналогiчнi. J

Íàñëiäîê (ê ð è ò å ð i é ñ ó ï ð å ì ó ì ó ò à i í ô i ì ó ì ó):