ifmion_kma_Mykhalin_Dujenkova(Mnozhyny)
.pdf
2.5. Комплекснi числа |
|
|
|
|
|
|
|
101 |
|||
Îñêiëüêè |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Cmk + Cmk 1 = |
m! |
+ |
|
|
m! |
|
|
= |
||
|
k!(m k)! |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
(k 1)!(m + 1 k)! |
|||||
|
= |
|
m! |
( |
1 |
|
+ |
1 |
) = |
|
|
|
(k 1)!(m k)! |
|
m + 1 k |
|
|
||||||
|
|
k |
|
|
|
|
|||||
= |
m!(m + 1 k + k) |
|
|
|
= |
(m + 1)! |
= Cmk +1; |
||||
|
|
|
k!(m + 1 k)! |
||||||||
òî |
(k 1)!(m k)!(m + 1 k)k |
|
|
|
|||||||
|
kP |
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
m+1 |
|
|
(a + b)m+1 = am+1 + Cmk +1am+1 kbk + bm+1 = |
|
Cmk +1am+1 kbk; |
|||||||||
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
k=0 |
|
|
|
i, згiдно з принципом математично¨ iндукцi¨, рiвнiсть (5) правильна для всiх n 2 N. J
У процесi доведення теореми показано також, що
Cnk + Cnk 1 = Cnk+1 8k; n 2 N0 : 0 6 k 6 n: Неважко помiтити також,
ùî Ck = Cn k n n .
Враховуючи рiвнiсть Cnk + Cnk 1 = Cnk+1, зручно визначати бiномнi
коефiцi¹нти за допомогою трикутника Паскаля (рис. 2.12), у якого в n-ìó (n 2 N0) рядку записано числа Cnk, à â (n + 1)-му числа Cnk+1,
якi можна дiстати додаванням сусiднiх чисел (якi знаходяться злiва i справа вiд нього) n-го рядка.
|
1 |
|
|
C00 |
|
|
|
1 1 |
|
C10 C11 |
|||
1 |
2 1 |
|
C20 |
C21 |
C22 |
|
1 3 3 1 |
àáî |
C30 C31 C32 C33 |
||||
1 4 |
6 4 1 |
C40 C41 |
C42 |
C43 C44 |
||
|
||||||
1 5 10 10 5 1 |
|
C50 C51 C52 C53 C54 C55 |
||||
1 6 15 |
20 15 6 1 |
|
C60 C61 C62 |
C63 |
C64 C65 C66 |
|
: : : : : : : : : : : : : : : : |
|
: : : : : : : : : : : : : : : : : : : |
||||
Ðèñ. 2.12
2.5.8. Потужнiсть множини комплексних чисел
Розв'яжемо питання про потужнiсть множини комплексних чисел,
тобто доведемо |
наслiдок 1 з п. 1.6.5. Оскiльки кожний елемент z |
= |
x+iy множини C комплексних чисел визнача¹ться двома iндексами |
x |
|
i y, якi набувають незалежно один вiд одного значень з континуально¨ множини R, то за теоремою про потужнiсть iндексовано¨ множини (див. теорему 6 п. 1.6.5) дiста¹мо, що C континуальна множина.
102 Роздiл 2. Множини дiйсних i комплексних чисел
2.5.9. Iсторична довiдка
Уперше уявнi числа з'явилися в 1545 р. у роботi "Велике мистецтво, або про алгебра¨чнi правила"iталiйського математика Д. Кардано (15011576), проте вiн вважав цi числа зайвими.
Першим значення комплексних чисел оцiнив iталiйський матема-
тик Р. Бомбеллi (1526 1572). p
Символ i = 1 запропонував швейцарський математик Л.Ейлер
(1707 1783), а термiн "комплексне число"ввiв французький математик Л. Карно (1753 1823). Геометричне тлумачення комплексних чи- сел вперше з'явилося в роботах датського математика К. Бесселя (17451818).
2.5.10. Зв'язок iз шкiльним курсом математики
Усi наведенi факти про комплекснi числа вивчаються в класах з поглибленим вивченням математики. Правда, при цьому не застосову¹ться поняття аргументу комплексного числа, хоча це поняття загально прийняте i корисне при розв'язуваннi багатьох задач. Так, з його
допомогою неважко показати, що корiнь n-го степеня з дiйсного чи- сла z ма¹ тiльки одне дiйсне значення, коли n = 2k 1; два дiйсних значення, коли n = 2k, à z > 0; i жодного дiйсного значення коли n = 2k i z < 0.
2.5.11. Постановка проблем
Пiсля введення поняття суми та äîбутку скiнченно¨ кiлькостi дiйсних i комплексних чисел zk; k 2 1; n, природно поставити питання, чи не можна узагальнити цi поняття на випадок нескiнченно¨ кiлькостi чисел zk, äå k, наприклад, пробiга¹ множину N натуральних чисел.
Одним з важливих математичних понять, яке вивча¹ться в шкiльному курсi математики, ¹ поняття степеня a ; äå a i фiксованi
числа, дiйснi або комплекснi. Уже вiдомо, що треба розумiти пiд a , êîëè 2 N àáî 2 Z. Природно виника¹ питання, що треба розумiти ïiä a äëÿ iíøèõ .
2.5.12. Контрольнi запитання та завдання
1. Перевiрити, чи правильними ¹ такi твердження:
1)кожне дiйсне число ¹ комплексним;
2)ÿêùî z уявне число, то воно ¹ комплексним;
3)твердження, обернене до 2), ¹ правильним;
4)комплексне число z суто уявне тодi й тiльки тодi, коли Im z 6=
0;
5) комплексне число z суто уявне тодi й тiльки тодi, коли Re z =
0;
6)кожне комплексне число ма¹ модуль та аргумент;
7)z1 = z2 , jz1j = jz2j i Arg z1 = Arg z2;
2.5. Комплекснi числа |
|
|
|
|
|
103 |
|
8) для будь-яких комплексних чисел |
z1 i z2 iсну¹ ¨х сума, рiзниця, |
||||||
добуток i частка; |
|
|
|
|
p |
|
|
9) для будь-якого |
n 2 N |
i |
z 2 C |
|
|
; |
|
|
|
iсну¹ ¹дине значення n |
z |
|
|||
|
|
|
|
|
|||
10)äëÿ будь-якого z 2 C iñíó¹ n рiзних значень кореня n-го степеня з цього числа;
11)об'¹днання, перерiз та рiзниця двох околiв точки z0 ¹ околом цi¹¨ точки;
12)кожний проколений окiл точки z0 ¹ околом цi¹¨ точки.
2. |
|
Довести данi твердження: |
|
|
|
|
|
||||||||||||
2) |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
можна обчислювати за формулами (2); |
||||||||||||||||
1) |
|
|
azk 1 = |
a(1 |
z) |
|
8 |
a; z |
2 |
C; z = 1; |
|||||||||
|
k=1 |
|
|
|
|
1 |
|
z |
|
|
|
|
|
|
6 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
arg z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5) |
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
Q |
|
|||||
|
P |
|
|
|
|
|
Q |
|
|
|
|
||||||||
3) |
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
n |
|
||||
|
|
zk = |
z |
; |
4) |
|
|
zk = |
z |
; |
|
||||||||
|
k=1 |
|
|
k=1 |
|
|
|
k=1 |
|
|
|
k=1 |
|
||||||
|
ÿêùî |
|
E C |
обмежена множина, то iснують |
|||||||||||||||
supfjzj : z 2 Eg òà |
inffjzj : z 2 Eg. |
|
|
|
|
||||||||||||||
3. Зобразити на комплекснiй площинi множину точок, що задовольня¹ умову:
1) jz z0j = r; |
2) jz z0j < r; |
3) jz z0j 6 r; |
4) jz z0j > r; |
5) jz z0j > r; |
6) jzj + Re z = 1; |
|
|
|
|
jz2j |
|
|
|
|
p |
|
|
|||
7) z |
Im z |
6 |
1; 8) |
> |
2; 9) |
Im z |
> |
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
z |
|
|
2 ; |
|||||||||||
j j |
|
Re z |
|
j |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
10) |
< arg(z z0) < ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
11) |
z = z0 + r(cos ' + i sin '); ' 2 [0; 2 ]: |
|
|
|
|
|||||||||
104 |
Роздiл 2. Множини дiйсних i комплексних чисел |
Лiтература
1.Давидов М.О. Курс математичного аналiзу: У 3-х ч. Ч. 1. К.: Вища школа, 1990. 384 с. Ч. 3, 1992. 360 с.
2.Дьедоне Ж. Основы современного анализа. М.:Мир,1964. 430с.
3.Дюженкова Л.I., Дюженкова О.Ю., Михалiн Г.А. Вища математика. Приклади i задачi. К.: Видавничий центр "Академiя", 2002. 624 с.
4.Дюженкова Л.I., Колесник Т.В., Лященко М.Я., Михалiн Г.О., Шкiль М.I. Математичний аналiз у задачах i прикладах:
У 2-х ч. Ч. 1. К.: Вища школа, 2002. 462 с.
5.Зорич В.А. Математический анализ: В 2-х ч. Ч.1. М.: Наука, 1981. 543 с.
6.Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа: В 2-х ч. М.: Наука, 1971 1973. Ч.1 2.
7.Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1972. 496 с.
8.Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа. М.: "Наука", 1988. 736 с.
9.Михалiн Г.О., Томащук О.П. Що повинен знати вчитель математики про елементарнi функцi¨. К.: УДПУ, 1995. 100 с.
10.Михалiн Г.О. Томащук О.П. Усунення деяких логiчних прогалин шкiльного курсу математики засобами маиематичного аналiзу. К.: УДПУ, 1995. 96 с.
11.Михалiн Г.О. Вступ до аналiзу у метричних просторах та диференцiальне числення функцiй кiлькох змiнних. К.: НПУ iменi М.П.Драгоманова, 1999. 196 с.
12.Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. М.: Наука, 1974, 480 с.
13.Никольский С.М. Курс математического анализа: В 2-х т. Т.1. М.: Наука, 1990. 528 с.
14.Райков Д.А. Одномерный математический анализ. М.: Высшая школа, 1982. 416 с.
15.Рудин У. Основы математического анализа. М.: Мир, 1966. 320с.
16.Шилов Г.Е. Математический анализ. Функции одной переменной: В 3-х ч. М.: Наука, 1970. Ч.1 528 c.
17.Шкiль М.I. Математичний аналiз: У 2-х ч. Ч. 1. К.: Вища школа, 1994. 424 с.
Çìiñò
1 Елементарнi факти теорi¨ множин |
5 |
1.1. Поняття множини. Операцi¨ над множинами . . . . . . . . |
5 |
1.1.1 . Множина та ¨¨ елементи . . . . . . . . . . . . . . . . |
5 |
1.1.2 . Пiдмножини . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
7 |
1.1.3 . Операцi¨ над множинами . . . . . . . . . . . . . . . |
7 |
1.1.4 . Властивостi операцiй над множинами . . . . . . . . |
9 |
1.1.5 . Iсторична довiдка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
10 |
1.1.6 . Зв'язок iз шкiльним курсом математики . . . . . . |
10 |
1.1.7 . Постановка проблем . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
10 |
1.1.8 . Контрольнi запитання та завдання . . . . . . . . . |
11 |
1.2. Поняття вiдповiдностi, вiдображення, функцi¨ . . . . . . . |
11 |
1.2.1 . Деякi зауваження щодо введення поняття функцi¨ |
12 |
1.2.2 . Пари елементiв . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
12 |
1.2.3 . Поняття декартового добутку множин . . . . . . . |
12 |
1.2.4 . Вiдповiднiсть мiж множинами . . . . . . . . . . . . |
13 |
1.2.5 . Вiдображення та функцiя . . . . . . . . . . . . . . |
14 |
1.2.6 . Вза¹мно однозначнe вiдображення . . . . . . . . . . |
17 |
1.2.7 . Обернене вiдображення, oбернена функцiя . . . . . |
18 |
1.2.8 . Композицiя (суперпозицiя) функцiй, |
|
або складна функцiя . . . . . . . . . . . . . . . . . |
19 |
1.2.9 . Тотожнi функцi¨ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
20 |
1.2.10. Числовi функцi¨ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
20 |
1.2.11. Iсторична довiдка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
21 |
1.2.12. Зв'язок iз шкiльним курсом математики . . . . . . |
22 |
1.2.13. Постановка проблем . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
22 |
1.2.14. Контрольнi запитання та завдання . . . . . . . . . |
22 |
1.3. Найпростiшi властивостi та класифiкацiя числових фун- |
|
êöié. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
24 |
1.3.1 . Обмеженi функцi¨ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
24 |
1.3.2 . Монотоннi функцi¨ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
25 |
1.3.3 . Парнi (непарнi) функцi¨ . . . . . . . . . . . . . . . . |
26 |
1.3.4 . Перiодичнi функцi¨ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
27 |
105
106 |
Çìiñò |
|
1.3.5 . Основнi елементарнi функцi¨ . . . . . . . . . . . . . |
28 |
|
1.3.6 . Елементарнi функцi¨ |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . |
29 |
1.3.7 . Важливi класи елементарних функцiй . . . . . . . |
29 |
|
1.3.8 . Iстoрична довiдка . . |
. . . . . . . . . . . . . . . . . |
31 |
1.3.9 . Зв'язок iз шкiльним курсом математики . . . . . . |
31 |
|
1.3.10. Постановка проблем . |
. . . . . . . . . . . . . . . . . |
31 |
1.3.11. Контрольнi запитання та завдання . . . . . . . . . |
31 |
|
1.4. Еквiвалентнi множини та потужностi множин . . . . . . . |
32 |
|
1.4.1 . Еквiвалентнi множини . . . . . . . . . . . . . . . . . |
32 |
|
1.4.2 . Властивостi еквiвалентних множин . . . . . . . . . |
33 |
|
1.4.3 . Поняття кiлькостi елементiв, |
|
|
або потужностi множини . . . . . . . . . . . . . . . |
34 |
|
1.4.4 . Порiвняння потужностей (кiлькостi елементiв) мно- |
|
|
æèí . . . . . . . . . . |
. . . . . . . . . . . . . . . . . |
35 |
1.4.5 . Iсторична довiдка . . |
. . . . . . . . . . . . . . . . . |
37 |
1.4.6 . Зв'язок iз шкiльним курсом математики . . . . . . |
37 |
|
1.4.7 . Постановка проблем . |
. . . . . . . . . . . . . . . . . |
37 |
1.4.8 . Контрольнi запитання та завдання . . . . . . . . . |
37 |
|
1.5. Зчисленнi множини . . . . . |
. . . . . . . . . . . . . . . . . |
38 |
1.5.1 . Поняття зчисленно¨ множини та ¨¨ критерiй . . . . |
38 |
|
1.5.2 . Найменша нескiнченна потужнiсть . . . . . . . . . |
38 |
|
1.5.3 . Об'¹днання не бiльш нiж зчисленних множин . . . |
39 |
|
1.5.4 . Потужнiсть множин |
Z i Q . . . . . . . . . . . . . |
40 |
1.5.5 . Потужнiсть iндексовано¨ множини . . . . . . . . . |
41 |
|
1.5.6 . Потужнiсть множини алгебра¨чних чисел . . . . |
42 |
|
1.5.7 . Еквiвалентнiсть множин A i A [ B . . . . . . . . . |
43 |
|
1.5.8 . Iсторична довiдка . . |
. . . . . . . . . . . . . . . . . |
43 |
1.5.9 . Зв'язок iз шкiльним курсом математики . . . . . . |
43 |
|
1.5.10. Постановка проблем . |
. . . . . . . . . . . . . . . . . |
43 |
1.5.11. Контрольнi запитання та завдання . . . . . . . . . |
44 |
|
1.6. Континуальнi множини. Iснування як завгодно велико¨ |
|
|
потужностi . . . . . . . . . . |
. . . . . . . . . . . . . . . . . |
44 |
1.6.1 . Поняття континуально¨ множини. Порiвняння |
|
|
континуально¨ та зчисленно¨ потужностей . . . . . |
45 |
|
1.6.2. Потужностi множин ha; bi; R òà I = R n Q . . . . 46
1.6.3. Потужнiсть множини трансцендентних чисел . . 47
1.6.4. Потужнiсть множини числових послiдовностей . . 48
1.6.5 . Потужнiсть iндексовано¨ множини . . . . . . . . . . 48 1.6.6 . Кiлькiсть пiдмножин скiнченно¨ множини . . . . . 49 1.6.7 . Порiвняння потужностей (A) òà 2 (A) . . . . . . 50
1.6.8 . Iсторична довiдка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
51 |
1.6.9 . Зв'язок iз шкiльним курсом математики . . . . . . |
51 |
1.6.10. Постановка проблем . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
51 |
1.6.11. Контрольнi запитання та завдання . . . . . . . . . |
51 |
Çìiñò |
107 |
2 Множини дiйсних i комплексних чисел |
53 |
2.1. Властивостi дiйсних чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
53 |
2.1.1 . Визначальнi властивостi дiйсних чисел . . . . . . . |
53 |
2.1.2 . Координатна (числова) пряма . . . . . . . . . . . . |
54 |
2.1.3 . Деякi iншi властивостi дiйсних чисел . . . . . . . . |
55 |
2.1.4 . Супремум, iнфiмум, максимум i мiнiмум числово¨ |
|
множини . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
58 |
2.1.5 . Модуль дiйсного числа . . . . . . . . . . . . . . . . |
60 |
2.1.6 . Поняття околу та проколеного околу точки . . . . |
62 |
2.1.7 . Iсторична довiдка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
63 |
2.1.8 . Зв'язок iз шкiльним курсом математики . . . . . . |
63 |
2.1.9 . Постановка проблем . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
63 |
2.1.10. Контрольнi запитання та завдання . . . . . . . . . |
63 |
2.2. Множина N натуральних чисел . . . . . . . . . . . . . . . |
64 |
2.2.1 . Поняття iндуктивно¨ множини . . . . . . . . . . . . |
64 |
2.2.2 . Принцип та метод математично¨ iндукцi¨ . . . . . . |
64 |
2.2.3 . Найпростiшi властивостi натуральних чисел . . . . |
65 |
2.2.4 . Принцип Архiмеда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
67 |
2.2.5 . Нерiвнiсть Бернуллi . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
67 |
2.2.6 . Десяткове зображення натуральних чисел . . . . . |
68 |
2.2.7 . Iсторична довiдка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
70 |
2.2.8 . Зв'язок iз шкiльним курсом математики . . . . . . |
70 |
2.2.9 . Постановка проблем . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
70 |
2.2.10. Контрольнi запитання та завдання . . . . . . . . . |
71 |
2.3. Множина Z цiлих чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
72 |
2.3.1 . Поняття цiлого числа та множини цiлих чисел . . |
72 |
2.3.2 . Найпростiшi властивостi цiлих чисел . . . . . . . . |
72 |
2.3.3 . Iсторична довiдка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
74 |
2.3.4 . Зв'язок iз шкiльним курсом математики . . . . . . |
75 |
2.3.5 . Постановка проблем . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
75 |
2.3.6 . Контрольнi запитання та завдання . . . . . . . . . |
75 |
2.4. Множини Q рацiональних та R дiйсних чисел . . . . . . |
76 |
2.4.1 . Поняття рацiонального числа та множини Q . . . |
76 |
2.4.2 . Основнi властивостi рацiональних чисел . . . . . . |
76 |
2.4.3 . Поняття дiйсного кореня та його iснування . . . . |
78 |
2.4.4 . Спiввiдношення мiж множинами N; Z; Q i R . . |
80 |
2.4.5 . Десяткове зображення дiйсного числа . . . . . . . . |
80 |
2.4.6 . Спiввiдношення мiж дiйсними числами та нескiн- |
|
ченними десятковими дробами . . . . . . . . . . . |
83 |
2.4.7 . Упорядкованiсть множини |
|
нескiнченних десяткових дробiв . . . . . . . . . . . |
87 |
2.4.8 . Сума i добуток нескiнченних десяткових дробiв . . |
88 |
2.4.9 . Неперервнiсть множини нескiнченних |
|
десяткових дробiв . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
88 |
2.4.10. Нескiнченнi r-ковi дроби та ¨хня потужнiсть . . . . |
89 |
108 |
Çìiñò |
2.4.11. Iсторична довiдка . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
. 90 |
2.4.12. Зв'язок iз шкiльним курсом математики . . . . . . |
91 |
2.4.13. Постановка проблем . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
91 |
2.4.14. Контрольнi запитання та завдання . . . . . . . . . |
91 |
2.5. Комплекснi числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
92 |
2.5.1 . Поняття комплексного числа i множини C . . . . . |
92 |
2.5.2 . Модуль, аргумент i тригонометрична форма ком- |
|
плексного числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
93 |
2.5.3 . Арифметичнi операцi¨ над комплексними числами |
94 |
2.5.4 . Основнi властивостi модуля i аргументу . . . . . . |
95 |
2.5.5 . Êîðiíü n-го степеня з комплексного числа . . . . 97 |
|
2.5.6 . Околи точок комплексно¨ площини . . . . . . . . . |
99 |
2.5.7 . Бiном Ньютона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
100 |
2.5.8 . Потужнiсть множини комплексних чисел . . . . . . |
101 |
2.5.9 . Iсторична довiдка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
102 |
2.5.10. Зв'язок iз шкiльним курсом математики . . . . . . |
102 |
2.5.11. Постановка проблем . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
102 |
2.5.12. Контрольнi запитання та завдання . . . . . . . . . |
102 |