Теория_Вероятностей_КР7

УДК 517(07)

Теория вероятностей (теория, практика, контрольная работа №7). — Ростов-на-Дону: Ростовский государственный строительный университет, 2009 – 76 с.

Пособие предназначено для студентов заочной формы обучения. Содержит основные понятия теории вероятностей, формулировки теорем, соответствующие формулы, примеры с подробными решениями. Приведены контрольные задания.

Кафедра прикладной математики и вычислительной техники РГСУ Составители: д.т.н. Белявский Г.И. к.ф.-м.н. Мисюра В.В.

♥РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ, 2009

1

1. Некоторые формулы комбинаторики

При решении вероятностных задач часто приходится в заданном множестве выбирать подмножества элементов, которые обладают определенными свойствами. Поскольку в таких задачах речь идет про те или иные комбинации объектов, то их называют комбинаторными задачами.

Пусть некоторое множество А содержит n элементов.

Будем выбирать из множества А m элементов. Тогда каждая выборка из m элементов может быть записана в виде {a1,a2,...,am}, где ai — номер элемента,

извлеченного на i-м шаге.

Будем различать два случая: упорядоченные выборки и неупорядоченные выборки. В первом случае выборки, состоящие из одних и тех же элементов, но отличающиеся порядком следования этих элементов, объявляются различными. Во втором случае порядок следования элементов не принимается во внимание, и такие выборки являются тождественными. Далее упорядоченные выборки бу-

дем обозначать (a1, a2 ,..., am ), а неупорядоченные [a1,a2 ,...,am ].

Рассмотрим различные способы выбора m элементов из n различных элементов. Возможны два варианта последовательного выбора элементов: без возвращения ai в исходное множество перед извлечением ai+1 и с возвращением ai в

исходное множество перед извлечением ai+1.

1.Выбор без возвращения.

Будем предполагать, что m ≤ n и, что извлеченные из множества A элементы обратно не возвращаются. В этом случае рассматривается две возможности, связанные с различением упорядоченных и неупорядоченных выборок.

Будем выбирать из множества А различные упорядоченные подмножества из m элементов. Размещениями из n элементов по m назовем все упорядоченные наборы (ai1 ,ai2 ,...,aim ) элементов множества А.

Через Anm обозначают число всех размещений из n элементов по m элементов (читается: «А из n по m») и

Для упрощения расчетов воспользуемся понятием факториала.

Напомним, что символ k! (читается: «k (ка) факториал») есть сокращенное обозначение произведения 1 2 3 ... k .

Например: 5!= 1 2 3 4 5 = 120 . Заметим, что 0!= 1.

Тогда

2

Пример 1.1. Пусть даны четыре цифры: 1; 2; 3; 4. Определим сколько двузначных чисел можно составить из этих цифр, так чтобы цифры в полученном числе не совпадали.

Решение. Очевидно, что полученные двузначные цифра можно представить как

можно составить 12 двузначных чисел, запись каждого из которых состоит из не-

совпадающих цифр: 12, 13, 14, 21, 23, 24, 31, 32, 34, 41, 42, 43. ►

Частный случай размещения при m=n называется перестановкой из n эле-

ментов. Т.е. комбинации из n элементов отличаются только порядком расположения этих элементов. Число всех перестановок из n элементов обозначается Pn

и вычисляется по формуле

Пример 1.2. На книжной полке выставлены 8 книг различных авторов. Сколько способов имеется для расстановки этих книг в разном порядке?

Решение. Имеем Р8 = 8!= 1 2 3 4 5 6 7 8 = 40320 . Т.о. имеется 40 320 способов переставить 8 книг в разном порядке.►

Пусть теперь из множества А выбирается без возвращения неупорядоченное подмножество, состоящее из m элементов. Сочетаниями из n элементов по m на-

зываются подмножества из m элементов, отличающиеся друг от друга хотя бы одним элементом. Общее число всех сочетаний из n по m обозначается Cnm (читается: «С из n по m»). Из неупорядоченного набора [a1 ,a2 ,...,am ], состоящего из различных элементов, можно получить m! упорядоченных наборов. Следовательно, Cnm m! = Anm и число сочетаний вычисляется по формуле:

Заметим, что справедливо равенство Cnm = Cnn−m .

Пример 1.3. В шахматном турнире участвуют 8 человек. Сколько партий должно быть сыграно в турнире, если между любыми двумя участниками должна быть сыграна одна партия?

3

Решение. Каждая партия играется двумя участниками из 8 и отличается от других только составом пар участников, т.е. представляет собой сочетание из 8 эле-

2. Выбор с возвращением.

В случае упорядоченных выборок любое множество, состоящее из элементов множества A имеет следующую структуру (ai1 ,ai2 ,...,aim ), где каждое aik +1 из-

влекается после возвращения aik во множество А. Число различимых множеств

(ai1 ,ai2 ,...,aim ), называемых в комбинаторике размещениями из n элементов по m с

возвращением (обозначение A(mn) ), равно nm , т.е.

Если же рассматриваются неупорядоченные выборки с возвращением, то

множества [ai1 ,ai2 ,...,aim ], составленные из элементов множества A называются сочетаниями из n элементов по m c повторениями. Число таких подмножеств обозначается C(mn) и вычисляется по формуле

Пример 1.4. Сколько различных пятизначных чисел можно составить, используя цифры а) 1, 2, 3, 4; б) 0, 1, 2.

Решение. а) Пусть множество A = {1,2,3,4}. Любое пятизначное число b1b2b3b4b5 , составленное из цифр 1, 2, 3, 4, можно представить как множество (b1,b2 ,b3 ,b4 ,b5 ), где bi — любой элемент из множества A. Например, число 11244, можно представить как упорядоченное множество (1,1,2,4,4). Очевидно, что упорядоченные множества, состоящие из пяти элементов, выбранных из четырех заданных по схеме выбора с возвращением, являются размещениями из 4 элементов по 5 с возвращением и A(54) = 45 = 1024 .

б) Пусть множество A = {0,1,2}. Если не учитывать, что первой цифрой 0 быть не может, то число всех упорядоченных множеств выбранных из множества А по схеме с возвращением равно A(53) . Для подсчета числа всех пятизначных чисел

(обозначим N), составленных из цифр 0, 1, 2, необходимо из A(53) вычесть число упорядоченных множеств, первым элементом которых является 0. Тогда N = A(53) − A(43) = 35 − 34 = 2 34 = 162 . Этот же результат можно получить, рассуждая следующим образом. Первую цифру слева можно выбрать двумя способами,

5

2.События и вероятность

2.1.Случайные события.

Опытом, испытанием, случайным экспериментом будем называть выполнение определенного комплекса условий, в результате чего осуществляется регистрация наблюдения.

Непосредственные исходы опыта называются элементарными событиями и обозначаются через ω . Элементарные события (их называют также «элементами», «точками», «случаями») рассматриваются как неразложимые и взаимоисключающие исходы опыта.

Множество всех элементарных событий называется пространством элементарных событий Ω (ПЭС) или пространством исходов, т.е. Ω = {ω}.

Рассмотрим несколько примеров описания структуры ПЭС:

Пример 2.1. Опыт — бросание игральной кости: Ω = {ω1 ,ω2 ,ω3 ,ω4 ,ω5 ,ω6 }. Событие ωi означает, что в результате бросания кости выпало i очков, i = 1,2,3,4,5,6. ►

Пример 2.2. Опыт — стрельба по цели до первого попадания:

Ω = {ω1( П ),ω2 (НП),ω3 (ННП),...}, П означает попадание в цель, Н — непопадание.►

Пример 2.3. Опыт — наблюдение за временем безотказной работы некоторого агрегата: Ω = {t,0 ≤ t < ∞}, t — время безотказной работы некоторого агрегата; время t меняется непрерывно. ►

Заметим, что в опыте, приведенном в примере 2.1., Ω конечно, в примере 2.2. – счетно (т. е. элементы этого множества можно пронумеровать с помощью множества натуральных чисел), в примере 2.3. — несчетно (континуально).

!В пределах раздела «События и вероятность» будем рассматривать только конечные ПЭС.

Случайным событием А (или просто событием А) называется любое под-

множество множества Ω : A Ω .

События обозначаются, как правило, заглавными буквами латинского алфа-

вита: A, B,C… .

Элементарные события, входящие в подмножество А пространства Ω , называются благоприятствующими событию А.

Вернемся к первому опыту. Примером события А является выпадение четного числа очков; очевидно, что A = {ω2 ,ω4 ,ω6}. Событию А благоприятствуют

элементарные события ω2 ,ω4 ,ω6 .