Теория_Вероятностей_КР7

►

Рассмотрим непрерывную случайную величину X с плотностью распределения f(х). Если у = g(x) - дифференцируемая монотонная функция, обратная которой есть x = ϕ ( y) , то плотность распределения p(y) случайной величины

Пример 5.10. Случайная величина X задана плотностью распределения

1, если1 ≤ x < 2

f (x) = 0, если x < 1 или x ≥ 2.

Найти плотность распределения функции Y = X 2 .

Решение. На отрезке возможных значений случайная величина X функция y = x2 – монотонно возрастающая. Обратная ей функция x = y также монотонно возрастает на отрезке [1,4] – области возможных значений случайной величины Y.

Рассмотрим функции двух случайных аргументов.

Если каждой паре возможных значений случайных величин X и Y по определенному правилу g поставлено в соответствии одно возможное значение случайной величины Z, то Z называют функцией двух случайных аргументов X и Y: Z = g(X ,Y ) .

Простейшими функциями двух случайных аргументов являются функции X+Y, X – Y, X Y . Ограничимся рассмотрением лишь дискретных случайных величин.

48

Если X и Y – дискретные случайные величины, принимающие значения x1, x2 ,..., xn и y1, y2 ,..., ym , то закон распределения функции

Z = X + Y ( X − Y , X Y ) можно найти, используя совместный закон распределе-

Если X и Y – независимые дискретные случайные величины, то вероятности вычисляются по формуле

Аналогично вычисляются законы распределений для остальных функций.

Пример 5.11. Даны законы распределения двух независимых случайных величин:

Найти закон распределения функций Z = X − Y , U = X Y .

Решение. Для удобства нахождения всех значений разности Z = X − Y и соответствующих вероятностей составим вспомогательную таблицу, в каждой клетке которой поместим в левом углу значения разности Z = X − Y , а в правом углу — вероятности этих значений, полученные в результате перемножения вероятностей соответствующих значений случайных величин X и Y.

49

Так как среди 9 значений Z имеются повторяющиеся, то соответствующие вероятности их складываем по теореме сложения вероятностей.

В результате получаем распределение

►

5.3.Числовые характеристики случайных величин

5.3.1.Числовые характеристики дискретной случайной величины

Пусть имеем дискретную случайную величину Х с законом распределения

Математическим ожиданием дискретной случайной величины Х называется сумма произведений всех ее возможных значений на их вероятности

k =1

Если дискретная случайная величина X принимает бесконечное, но счетное множество значений x1, x2 ,..., xn ,..., то математическим ожиданием такой слу-

чайной величины называется сумма ряда (если он абсолютно сходится):

M (X ) = ∑ xk pk .

k =1

Т.к. ряд (5.19) может и не сходится абсолютно, то соответствующая случайная величина может и не иметь математического ожидания.

На практике, как правило, множество возможных значений случайной величины распространяется лишь на ограниченный участок оси абсцисс, и, значит, математическое ожидание существует.

Математическое ожидание обладает следующими свойствами.

1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:

50

2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий этих величин:

4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий:

Математическое ожидание рассчитывается в том случае, когда желают определить среднее значение исследуемой величины. Существуют отличные друг от друга случайные величины, имеющие одинаковые математические ожидания. Акции двух компаний могут приносить в среднем одинаковые дивиденды, однако вложение денег в одну из них может быть гораздо более рискованной операцией, чем в другую. Следовательно, нужна числовая характеристика, которая оценивает разброс возможных значений случайной величины относительно ее математического ожидания (среднего).

Характеристиками рассеивания возможных значений случайной величины вокруг математического ожидания служат, в частности, дисперсия и среднеквадратичное отклонение.

Дисперсией случайной величины Х называют математическое ожидание квадрата отклонения значений величины от ее математического ожидания:

Если случайная величина X – дискретная с конечным числом значений, то

Если случайная величина X – дискретная с бесконечным, но счетным множеством значений, то

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его при этом в квадрат:

51

3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

4. Дисперсия случайной величины равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом ее математического ожидания:

Дисперсия имеет размерность, равную квадрату размерности случайной величины. Для того чтобы представить разброс значений случайной величины в тех же единицах, что и сама случайная величина, вводится другая числовая характе-

ристика — среднее квадратическое отклонение.

Средним квадратическим отклонением случайной величины называется корень квадратный из ее дисперсии:

Пример 5.12. В задаче о доходе компании за квартал (см. пример 5.6) был построен закон распределения для случайной величины X — дохода компании за квартал.

Вычислим математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X.

Решение. По формуле (5.18) находим математическое ожидание

M (X ) = −4 0,15 + 1 0,25 + 5 0,4 + 10 0,2 = 3,65.

Таким образом, ожидаемый доход компании составляет 3,65 млн. рублей. Для вычисления дисперсии используем формулу (5.25).

D(X ) = (−4 − 3,65)2 0,15 + (1− 3,65)2 0,25 + (5 − 3,65)2 0,40 + (10 − 3,65)2 0,20 = 19,3275.

Далее находим среднее квадратическое отклонение

σ (X ) = 19,3275 = 4,40.

Стандартное отклонение в размере 4 400 000 рублей показывает, что в данном случае доход может оказаться на 4 400 000 рублей выше или ниже ожидаемого дохода. ►

Во многих случаях в коммерческой деятельности стандартное отклонение характеризует риск, показывая, насколько неопределенной является ситуация. Рассмотрим следующий пример.

Пример 5.13. Перед вами стоит задача — оценить три разных проекта А, В, С и разработать рекомендации для руководства. По каждому из проектов необходимы инвестиции в объеме $12 000, а возврат средств планируется на следующий год. По проекту А гарантированный возврат составит $14 000 (СВ X). По проекту В

55

Дискретная случайная величина Х имеет биномиальный закон распределения с параметрами n и p, если она принимает только целые неотрицательные значения до n включительно с вероятностями

где p+q=1, p>0, q>0.

Ряд распределения случайной величины, подчиненной биномиальному закону, можно представить в следующем виде:

(Использован бином Ньютона).

Определим числовые характеристики биномиального распределения. Пусть Х – число появлений события А в n испытаниях. Если обозначим через Xk – число

Легко видеть, что M(Xk)=p, D(Xk)=pq.

n

D(X ) = ∑ D(X k ) = npq .

k =1

Пример 6.1. Вернемся к условию примера 5.4. Экзаменатор задал студенту 4 дополнительных вопроса. Вероятность того, что студент ответит на любой заданный вопрос 0,9. Составить закон распределения случайной величины Х – числа ответов на заданные вопросы, найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х.

Решение. По условию Х – число ответов на заданные 4 вопроса. Понятно, что число ответов может быть равно 0, 1, 2, 3, 4.

56

Для вычисления вероятностей события X = xk ( xk = 0,1,2,3,4 ) мы использо-

Для вычисления числовых характеристик случайной величины X можно воспользоваться формулами (5.18) и (5.30).

Тогда M (X ) = 0 0,001 + 1 0,0036 + 2 0,0486 + 3 0,2916 + 4 0,6561 = 3,6,

D(X ) = 02 0,001+ 12 0,0036 + 22 0,0486 + 32 0,2916 + 42 0,6561 − 3,62 = 0,36

Учитывая, что X распределена по биномиальному закону можно найти числовые характеристики случайной величины по формулам (6.2).

Тогда M (X ) = 4 0,9 = 3,6 , D(X ) = 4 0,9 0,1 = 0,36, σ (X ) = 0,36 = 0,6 . ►

6.2. Закон распределения Пуассона

Дискретная случайная величина Х имеет закон распределения Пуассона с параметром λ, если ее возможные значения: 0,1,2,..., k,...(счетное множество значений), а соответствующие вероятности выражаются формулой Пуассона:

k=0, 1, 2, …

Распределение Пуассона является предельным для биномиального, когда n → ∞ и p → 0 так, что λ=np – постоянно.

Примерами случайных величин, имеющих распределение Пуассона, являются: число вызовов на телефонной станции за время t; число опечаток в большом тексте; число бракованных деталей в большой партии и т.д. При этом считается, что события появляются независимо друг от друга с постоянной средней интенсивностью, характеризующейся параметром λ.

Случайная величина X распределенная по закону Пуассона, имеет следующий ряд распределения