Теория_Вероятностей_КР7

8

Противоположное событию A Ω событие A Ω является дополнением множества А (см. рис.4).

Очевидно, что события А и A являются несовместными: A А = .

Событие А влечет событие В (или А является частным случаем В), если из того, что происходит событие А, следует, что происходит событие В. Множе-

ственная трактовка данного факта проиллюстрирована на рис. 5. Событие А влечет событие В (обозначается A B ), если каждый элемент события А содержится в В.

По определению: A для любого А.

Рис. 5. A B

Если A B и B A , то события А и В называются равными; записывают

Полную группу образуют, например события А и А ( A + А = Ω ).

Пример 2.4. Вернемся к опыту описанному в примере 2.1. Определим следующие события.

Событие А — «выпадение нечетного числа очков»: A = {ω1,ω3 ,ω5}, событие В — «выпадение четного числа очков»: B = {ω2 ,ω4 ,ω6 }, событие С — «выпадение 3 очков»: C = {ω3},

событие D — «выпадение менее 3-х очков»: D = {ω1,ω2 }, событие Е — «выпадение не менее 3-х очков»: E = {ω3 ,ω4 ,ω5 ,ω6 }.

Суммой событий A и B является ПЭС: A + B = {ω1,ω2 ,ω3 ,ω4 ,ω5 ,ω6 }= Ω .

Суммой событий C и D является событие, означающая выпадение не более трех очков: C + D = {ω1,ω2 ,ω3}.

Произведением событий А и В является невозможным событием: A B = { }.

9

Произведением событий В и E является событие, означающее выпадение 4-х очков или 6-ти очков. : B E = {ω4 ,ω6 }.

Противоположным к событию А является событие В: A = B .

Очевидно, что событие С влечет событие А: С A. События А и В образуют полную группу. ►

Отметим некоторые очевидные следствия приведенных выше определений:

требовалось доказать.

Т.о. мы построили систему случайных событий F, которая вместе с любыми двумя событиями содержит их сумму, произведение, разность. Такая система F

называется алгеброй случайных событий.

Приведем примеры алгебры событий.

1.F = {Ω, } — система, состоящая из Ω и пустого множества.

2.F = {A, A,Ω, } — система, порожденная событием A.

3.F = {A : A Ω} — совокупность всех (включая и пустое множество ) подмножеств Ω.

Пример 2.5. Рассмотрим опыт, описанный в примере 2.1. Алгебра событий F для

множества Ω состоит из 26 = 64 подмножеств этого множества, которые содержат по одному, два, три, четыре, пять, шесть элементарных событий и пустое множество:

10

2.3. Определение вероятности события

Для математического изучения случайного события необходимо ввести количественную оценку случайности события. Понятно, что одни события имеют больше шансов («более вероятны») наступить, чем другие. Вероятность события

— это численная мера объективной возможности его появления. Т.о. событию можно поставить в соответствие определенное число — его вероятность.

Вероятность случайного события обозначается P(A) . Вероятность — это функция множества.

Таким образом, каждому событию А из алгебры событий F, построенной на множестве Ω, поставим в соответствие число P(A) — вероятность события А, удовлетворяющую следующим аксиомам.

•А1. Аксиома неотрицательности: P(A) ≥ 0. Вероятность любого слу-

чайного события есть неотрицательное число.

•А2. Аксиома аддитивности: P( A + B) = P(A) + P(B) . Вероятность суммы

несовместных событий A и B равна сумме вероятностей этих событий. Вероятность рассматривается как численная мера возможности наступления события при проведении опыта. Главное свойство всякой меры состоит в том, что мера суммы двух объектов без общих элементов равна сумме мер. Для вероятности как меры это свойство является справедливым.

•А3. Аксиома нормировки: P(Ω) = 1. Вероятность достоверного события равна единице.

Определим вероятность случайного события для случая, когда Ω конечное. Пусть F — алгебра, состоящая из всех подмножеств множества Ω. Поставим в соответствие каждому ω из Ω неотрицательное число p(ω ),

которое назовем элементарной вероятностью, т.е. зададим на Ω числовую функцию от аргумента произвольной природы, удовлетворяющую условию

∑ p(ω) = 1.

ωΩ

Вероятность события А вычисляется как отношение числа элементарных событий, благоприятствующих этому событию, к общему числу элементарных событий.

Данное определение вероятности называется классическим определением вероятности.

Пример 2.6. В урне 10 пронумерованных шаров с номерами от 1 до 10. Вынули один шар. Какова вероятность того, что номер вынутого шара не превосходит 10? Какова вероятность, что номер вынутого шара больше 10?

Решение. ПЭС Ω = {ω1,ω2,ω3,ω4,ω5,ω6,ω7 ,ω8,ω9,ω10} (событие ωi означает, что в результате опыта вынутый шар соответствует i-му номеру, i = 1,2,…,10). Следовательно n = 10 (см. формулу (2.3)).

Пусть событие А – «номер вынутого шара не превосходит 10». Число случаев благоприятствующих появлению события А равно числу всех возможных случаев m=n=10 ( A = Ω ). Следовательно, событие А является достоверным событи-

ем и Р(А)=1.

Пусть событие В – «номер вынутого шара больше 10». Очевидно, что B = { } и m = 0. Т.о. событие В — невозможное событие и P( B ) = 0. ►

Пример 2.7. Из колоды в 36 карт вынимается одна карта. Какова вероятность появления карты пиковой масти?

Решение. Исходы опыта (вынимание карты из колоды) равновозможны, мощность ПЭС равно 36, т.е. n=36.

Событие А – «появление карты пиковой масти». Число случаев, благоприятствующих появлению события А равно 9 (в колоде 9 карт пиковой масти). Следо-

вательно, P( A ) = 369 = 14 .►

Пример 2.8. Бросаются одновременно две монеты. Какова вероятность выпадения орла на обеих монетах? Какова вероятность того, что решка выпадет хотя бы на одной монете?

Решение. Определим ПЭС. Ω = {ω1 = (о,о),ω 2 = (о, р),ω3 = ( р,о),ω 4 = ( р, р)} («о» — выпал «орел», «р» — выпала «решка»). Т.о. n = 4 .

Событие А — «орел выпал на обеих монетах»: А= {ω1}. Число элементарных исходов, благоприятствующих событию А, равно 1, т.е. m = 1. Следовательно

P( A ) = 14 .

Событие B — «решка выпадет хотя бы на одной монете»: B = {ω 2,ω3,ω 4}.

13

Т.о. m = 3 и P( B ) = 34 . ►

Пример 2.9. Из урны, в которой M белых и N -M чёрных шаров, наудачу, без возвращения вынимают k шаров, k<N. Термин «наудачу» означает, что появление любого набора из k шаров равновозможно. Найти вероятность того, что будет выбрано ровно k1 белых и k - k1 чёрных шаров (событие А).

Решение. Заметим, что при k1 > M или k - k1 > N - M искомая вероятность равна 0, так как соответствующее событие невозможно. Пусть k1 ≤ M. Результатом эксперимента является набор из k шаров. При этом можно не учитывать или учитывать порядок следования шаров.

1. Выбор без учета порядка. Общее число элементарных исходов есть число k –элементных подмножеств множества, состоящего из n элементов, то есть

Ω = СNk .

Обозначим через A событие, вероятность которого требуется найти. Событию A благоприятствует появление любого набора, содержащего k1 белых шаров и k - k1 черных.

Число благоприятных исходов равно произведению числа способов выбрать k1 белых шаров из M и числа способов выбрать k - k1 черных шаров из N - M:

A = СMk1 СNk −−kM1 .

Сk1 Сk −k1

Вероятность события A равна: P(A) = M kN − M .

СN

2. Выбор с учетом порядка. Общее число элементарных исходов есть число способов разместить N элементов на k местах Ω = ANk .

При подсчете числа благоприятных исходов нужно учесть, как число способов выбрать нужное число шаров, так и число способов расположить эти шары среди k. Можно, скажем, посчитать число способов выбрать k1 мест среди k (рав-

ное Сkk1 ), затем число способов разместить на этих k1 местах M белых шаров (равное AMk1 — не забывайте про учет порядка!), и затем число способов разместить на

В рассмотренной задаче мы сопоставили каждому набору из k1 белых и k-k1 черных шаров вероятность получить этот набор при выборе k шаров из урны,

14

содержащей M белых и N-M черных шаров. Очевидно, что если k1 = k и k1 = 0 ,

Пример 2.10. В урне 10 шаров: 6 белых и 4 черных. Вынули два шара. Какова вероятность, что оба шара белые (событие А)?

Пример 2.11. В цехе работают 6 мужчин и 4 женщины. По табельным номерам наудачу отобраны 7 человек. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц три женщины (событие А).

Решение. Для решения данной задачи можно также использовать схему, приведенную в примере 2.9. Общее число возможных исходов равно числу способов,

которыми можно отобрать 7 человек из 10, т.е. n = C107 .

Найдем число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию: трех женщин можно выбрать из четырех C43 способами; при этом остальные че-

тыре человека должны быть мужчинами, их можно отобрать C64 способами. Сле-

Какова вероятность, что числа 1,2,...,m < n стоят рядом в любом порядке (событие В), в порядке возрастания (событие А)?

Решение. По условию задачи ПЭС — это множество всех перестановок из n элементов, Ω = n!. Для определения A объединим эти m чисел в одно число α и

рассмотрим (n − m + 1)! перестановок нового множества {α , m + 1, m + 2,..., n}.

Очевидно, A = (n − m + 1)! и P(A) = (n − m + 1)! . n!

Числа, входящие в объединенное число α , можно представлять m! спосо-

бами, следовательно, B = A m! и P(B) = (n − m + 1)!m! . ► n!

Пример 2.13. Пять книг расставляются на полку. Найти вероятность того, что две определенные книги окажутся рядом (событие А).

15

Решение. Для решения задачи можно применить схему, приведенную в приме-

ре 2.12.

Число всех способов, которыми можно расставить на полке пять книг, равно числу перестановок из пяти элементов n = Ω = A55 = 5! и m = A = 2! 4!. Итак,

P(A) = 2!5!4! = 0,4 .►

Пример 2.14. В лифт 9-тиэтажного дома вошли 4 человека. Каковы вероятности следующих событий: все четверо выйдут на одном этаже; все четверо выйдут на разных этажах?

Решение. Опыт состоит в том, что люди выходят из лифта произвольным образом: каждый из четырех человек может выйти на любом из восьми этажей (со второго по девятый). Общее число исходов этого опыта n = 84 (первый человек может выйти на любом из восьми этажей, второй - также на любом из восьми этажей и т.д.; имеем размещения с повторениями из множества {2, 3,…,9}).

Пусть событие А состоит в том, что все 4 человека выйдут на одном и том же этаже, тогда число исходов описанного опыта, благоприятствующих наступ-

лению события А, равно 8. Поэтому, P(A) = 884 = 813 ≈ 0,002 .

Пусть событие В состоит в том, что все 4 человека выйдут на разных этажах, тогда число исходов опыта, благоприятствующих наступлению события В,

равно A84 = 8 7 6 5 (у первого пассажира есть 8 возможностей выйти, тогда у

второго — 7 возможностей, у третьего — 6 и у четвертого — 5). Тогда

P(A) = 8 7846 5 ≈ 0,41. ►

Пример 2.15. Наудачу взятый телефонный номер без нуля впереди состоит из 7 цифр. Найти вероятность того, что все цифры различны.

Решение. Событие А состоит в том, что в наудачу набранном телефонном номере все цифры будут различны. Поскольку первая цифра не ноль, то для выбора первой цифры существует 9 вариантов. Каждая из последующих 6 цифр может быть выбрана 10 способами. Число всех различных номеров равно n = 9 106 . Число номеров с различными цифрами равно m = 9 9 8 7 6 5 4 = 9 A96 (первую

цифру можно выбрать 9 способами, вторую —9, третью — 8, четвертую — 7 и

2.4. Свойства вероятностей. Теорема сложения вероятностей

Приведенные выше аксиомы позволяют доказать ряд теорем и свойств вероятностей.

16

Из аксиом А1-А3 нетрудно доказать следующие свойства вероятностей:

•С1. вероятность невозможного события равна нулю: P( ) = 0;

•С2. вероятность любого события не превосходит единицы: P( A) ≤ 1;

•С3. если событие А влечет событие В, т.е. A B , тоP( A) ≤ P(B) ;

•С4. вероятность суммы двух событий не превышает суммы вероятностей этих событий: P(A + B) ≤ P(A) + P(B) ;

• С5. сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

P(A) + P(A) = 1.

Как известно, вероятность суммы двух несовместных событий определяется аксиомой А2:

Является справедливой следующая теорема сложения вероятностей. Ве-

роятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступлении:

Пример 2.16. В урне 10 белых, 15 черных, 20 синих и 25 красных шаров. Вынули один шар. Найти вероятность того, что вынутый шар а) синий или черный; б) белый или черный или синий.

Решение. Обозначим следующие события:

A– «вынули белый шар»: P(A) = 1070 ;

B– «вынули черный шар»: P(B) = 1570 ; С – «вынули синий шар»: P(C) = 7020 ;

D– «вынули красный шар»: P(D) = 7025 .