Теория_Вероятностей_КР7

27

Тогда по формуле полной вероятности

P( A) = P(Н1)P( A / Н1) + P(Н2 )P( A / Н2 ) + P(Н3 )P( A / Н3 ) + P(Н4 )P( A / Н4 ) = 0,6044 . ►

2.7. Формула Байеса

Если известно, что в результате опыта событие A произошло, то эта информация может изменить вероятности гипотез: повышаются вероятности тех гипотез, при которых событие A происходит с большей вероятностью, и уменьшаются вероятности остальных. Для переоценки вероятностей гипотез при известном результате опыта используется формула Байеса, которая является следствием теоремы умножения вероятностей и формулы полной вероятности:

n

где P( A) = ∑ P(Hi )P( A / Hi ) — формула полной вероятности.

i=1

Заметим, что вероятности гипотез Hi , принятых до опыта называют апри-

орными, а переоцененные по результатам уже проведенного опыта — апостери-

орными вероятностями.

Пример 2.32. 30% приборов собирает специалист высокой квалификации и 70% специалист средней квалификации. Надежность работы прибора, собранного спе-

циалистом высокой квалификации 0,9, надежность прибора, собранного специа-

листом средней квалификации 0,8. Взятый прибор оказался надежным. Определить вероятность того, что он собран специалистом высокой квалификации.

Решение. Обозначим следующие гипотезы:

Н1 – «прибор собран специалистом высокой квалификации»; Н2 – «прибор собран специалистом средней квалификации».

Вероятности гипотез: P(Н1) = 0,3, P(Н2 ) = 0,7 ( P(H1) + P(H2 ) = 1).

Событие А – «безотказная работа прибора». По условию задачи необходимо найти вероятность гипотезы H1 при условии, что событие А произошло –

P(H1 / A) .

Условные вероятности события А: P(A / Н1) = 0,9 , P( A / Н2 ) = 0,8 .

Вероятность события А: P(A) = 0,3 0,9 + 0,7 0,8 = 0,83.

Воспользуемся формулой Байеса:

P(Н1 / A) = P(Н1)P(A / Н1) = 0,3 0,9 = 0,325. P( A) 0,83

Можно заметить, что вероятность гипотезы H1 увеличилась. ►

28

Пример 2.33. Два руководителя планируют создать совместное предприятие, если в течение года каждому из них удастся сформировать свою долю начального ка-

питала. Вероятности этого равны соответственно p1 и p2 . По истечение года вы-

яснилось, что совместное предприятие не может быть создано. Какова вероят-

ность того, что оба участника не сумели накопить свою долю начального капита-

ла?

Решение. Обозначим следующие гипотезы: Н1 – «оба участника накопили капитал»;

Н2 – «первый накопил, а второй — нет»;

Н3 – «второй накопил, а первый — нет»;

P(H1) + P(H2 ) + P(H3 ) + P(H4 ) = 1.

Наблюдалось событие А — «совместное предприятие не может быть создано», которое могло произойти со следующими условными вероятностями:

Р(А/Н1) = 0, P(A/H2) = Р(А/Н3) = Р(А/Н4) = 1.

Следовательно, по формуле полной вероятности

P(A) = P(H2 ) + P(H3 ) + P(H4 ) = 1− P(H1) = 1− p1 p2 .

Пример 2.34. Есть два золотоносных района, поделенных на четыре участка каж-

дый, причем по прогнозам известно, что в первом районе три участка из четырех,

а во втором районе два участка из четырех являются золотоносными. Наугад выбран район и куплен один участок, который оказался золотоносным. Какова веро-

ятность вторичной удачной покупки.

Решение. Обозначим следующие гипотезы: Н1 – «выбран первый район»;

Н2 – «выбран второй район».

Вероятности гипотез: P(H1) = P(H2 ) = 12 .

Событие А — «первый раз куплен золотоносный участок». Условные вероятности события А: P( A/ H1) = 34 , P(A / H2 ) = 12 .

По формуле полной вероятности P(A) = 12 34 + 12 12 = 85 .

Для вторичного эксперимента с покупкой участка можно ввести снова две гипотезы, связанные с его предысторией: H1' — «выбран первый район, на кото-

ром впервые был куплен золотоносный участок», H2' — «выбран второй район,

на котором был куплен золотоносный участок». Тогда P(H1' ) = 35, P(H2' ) = 25 .

Пусть B — вторичная покупка золотоносного участка. Очевидно, что

P(B / H1' ) = 23 , P(B / H2' ) = 13 .

Тогда вероятность вторичной удачной покупки по формуле полной вероят-

ности равна P(B / A) = P(H1' )P(B / H1' ) + P(H2' )P(B / H2' ) = 53 23 + 52 13 = 158 . ►

3. Повторные независимые испытания

3.1. Формула Бернулли

Рассмотрим случай, когда требуется определить вероятность того, что событие А произойдет заданное количество раз в серии из n опытов. Будем считать при этом, что вероятность A в каждом опыте одинакова и результат каждого опыта не зависит от результатов остальных. Такая постановка задачи называется

схемой независимых испытаний или схемой Бернулли. При выполнении указанных условий вероятность того, что при проведении n независимых испытаний событие A будет наблюдаться ровно k раз (неважно, в каких именно опытах), опреде-

ляется по формуле Бернулли:

Пример 3.1. Победу в волейбольном матче одерживает команда, выигравшая 3 партии. Найти вероятность того, что матч между командами, для которых вероят-

ность выигрыша каждой партии равна соответственно 0,8 и 0,2, будет состоять из

5 партий.

Решение. Для того, чтобы потребовалось играть пятую партию, нужно, чтобы

после четырех партий счет в матче был 2 : 2 . Следовательно, каждая из команд должна выиграть любые две партии из четырех. Если p = 0,8 есть вероятность

выигрыша в каждой партии для первой команды, а q = 0,2 — вероятность ее проигрыша, то, применяя формулу Бернулли (3.1), найдем, что

P4 (2) = С42 0,82 0,22 = 2!4!2! 0,64 0,04 = 0,1536. ►

30

Вероятность того, что в n опытах схемы Бернулли событие А появится от k1 до k2 раз ( 0 ≤ k1 ≤ k2 ≤ n ) обозначим Pn (k1 ≤ k ≤ k2 ) , тогда

Пример 3.2. Монета подброшена 10 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет: а) от 4 до 6 раз; б) хотя бы один раз.

Решение. По формуле (3.2) при n = 10, k1 = 4, k2 = 6 , p = q = 0,5 находим

Пример 3.3. Вероятность изготовления на автоматическом станке стандартной детали равна 0,8. Найти вероятности наивероятнейшего числа появления бракованных деталей среди 5 отобранных.

Решение. Вероятность изготовления бракованной детали p = 1 − 0,8 = 0,2 . Ис-

комые вероятности найдем по формуле Бернулли (3.1):

Полученные вероятности изобразим графически точками с координатами

(k, Pn (k)) . Соединяя эти точки, получим многоугольник, или полигон, распреде-

ления вероятностей (рис.9.).

31

Рассматривая многоугольник распределения вероятностей (рис.9), мы ви-

дим, что есть такие значения k (в данном случае оно одно — k0 = 1) обладающие наибольшей вероятностью. ►

Число k0 наступления события A в n независимых испытаниях называется наивероятнейшим, если вероятность осуществления этого события Pn (k0 ) по крайней мере не меньше вероятностей других событий Pn (k) при любом k.

При заданных n и p это число определяется условиями:

k0' = np − q и k0'' = np + p .

Пример 3.4. По данным примера 3.3 найти наивероятнейшее число появления бракованных деталей из 5 отобранных и вероятность этого числа.

Решение. По формуле (3.4) 0,2 ≤ k0 ≤ 1,2 . Очевидно, что единственное целое число, удовлетворяющее полученному неравенству, k0 = 1. Его вероятность P5 (1) = 0,4096 вычислена в примере 3.3. ►

Пример 3.5. Какова вероятность наступления события A в каждом испытании, если наивероятнейшее число наступлений события A в 120 опытах равно 32?

Решение. По условию n = 120, k0 = 32 . Неравенства (3.4) принимают вид

120 p − (1 − p) ≤ 32 ≤ 120 p + p .

Решая эту систему неравенств, находим, что 12132 ≤ p ≤ 12133 . ►

Пример 3.6. При стрельбе по мишени вероятность попадания при одном выстреле

равна 0,7. При каком числе выстрелов наивероятнейшее число попаданий равно

16?

Решение. По условию p = 0,7 q = 0,3 , k0 = 16 .

По формуле (3.4) найдем n.

Итак, n1 = 22 , n2 = 23, т.е. число всех выстрелов может быть 22 или 23. ►

Пример 3.7. Предположим, что из озера вылавливают 1000 рыб, помечают их красной краской и выпускают обратно. При повторном отлове 1000 рыб среди них оказалось 100 помеченных. Можно ли определить число рыб в озере?

32

Решение. Если предположить, что было произведено 1000 испытаний, в каждом из которых либо появилась, либо не появилась помеченная рыба и считать число 100 (число помеченных рыб) наивероятнейшим числом помеченных рыб, то неравенства (3.4) позволят ответить положительно на поставленный вопрос.

Откуда 9891 ≤ N ≤ 10010 .

Т.о., мы нашли границы, в которых находится число рыб в озере. ►

3.2. Формула Пуассона

При большом числе испытаний n формулой Бернулли пользоваться неудобно, например, вычислить трудно P300 (250) = C300250 p250q50 . В этом случае вероятно-

сти того, что в n испытаниях (n – велико) событие произойдет k раз определяется приближенными формулами, которые устанавливается теоремами Пуассона, локальной и интегральной теоремами Муавра-Лапласа.

Теорема Пуассона. Если при большом числе испытаний n ( n → ∞ ) вероятность p появления А в одном опыте стремится к нулю ( p → 0 ), а произведение

пр = λ сохраняет постоянное значение для разных серий опытов (т. е. среднее число появлений события А в разных сериях испытаний остается неизменным), то вероятность Pn (k) удовлетворяет предельному равенству

Пример 3.8. Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо один от другого. Вероятность отказа любого элемента в течении времени Т равна 0,002. Найти вероятность того, что за время Т откажут ровно три элемента.

Решение. По условию n=1000, p=0,002, λ=np=2, k=3.

Искомая вероятность P1000 (3) = λ3 e−λ = 232 = 0,18 . ► 3! 2e

33

Пример 3.9. Завод отправил на базу 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути 0,004. Найти вероятность того, что в пути повреждено меньше трех изделий.

Решение. По условию n=500, p=0,004, следовательно, λ=2. По теореме сложения вероятностей

P500 (k < 3) = P500 (0) + P500 (1) + P500 (2) = e−2 + 12!e−2 + 24!e−2 = 5e−2 = 0,68. ►

Пример 3.10. Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка окажется разбитой, равна 0,003. Найти вероятность того, что магазин получит более двух разбитых бутылок.

Решение. λ=np=1000·0,003=3.

P1000 (k > 2) = 1− P1000 (k ≤ 2) = 1− (P1000 (0) + P1000 (1) + P1000 (2)) =

=1 − (e−3 + 3e−3 + 4,5e−3 )= 0,5678 . ►

3.3.Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа

Втех случаях, когда число испытаний п велико, а вероятности р не близка к нулю, для вычисления биномиальных вероятностей используют теоремы МуавраЛапласа.

Локальная теорема Муавра-Лапласа. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, а число независимых испытаний достаточно велико, то вероятность Рп(k) может быть вычислена по приближенной формуле

Для функции ϕ (x) составлены таблицы значений (см. приложение 1). Пользуясь таблицей, следует учитывать, что:

а) функция ϕ (x) четная, т.е. ϕ (−x) = ϕ (x) ;

б) при x ≥ 4 можно считать, что ϕ (x) = 0.

34

Пример 3.11. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для данного стрелка равна 0,7. Найти вероятность того, что при 200 выстрелах мишень будет поражена 160 раз.

Решение. Здесь п = 200, р = 0,7, q = 0,3, k=160. Применим формулу (3.8). Име-

В тех случаях, когда требуется вычислить вероятность того, что в п независимых испытаниях событие А появится не менее m1 раз, но не более m2 раз, т.е.

Pn (m1 ≤ k ≤ m2 ) , используют интегральную теорему Муавра-Лапласа (является частным случаем более общей теоремы — центральной предельной теоремы).

2.Φ0 (0) =0.

что Φ0 (x) = 12 ).

4.Φ0 (−∞) = − 12 .

5.Φ0 (x) монотонно возрастает при всех x (−∞,+∞) .

6.Φ0 (x) – функция нечетная: Φ0 (− x) = −Φ0 (x) .

Наряду с нормированной функцией Лапласа (3.10) используют функцию

35

называемую также функцией Лапласа. Она связана с функцией Φ0 (x) формулой

Имеются таблицы приближенных значений функций Φ0 (x) и Φ(x) (инте-

грал не берется в элементарных функциях), которые приводятся в большинстве учебников по теории вероятностей (см. также приложение 2).

Пример 3.12. . Известно, что при контроле бракуется 10% изделий. На контроль отобрано 625 изделий. Какова вероятность того, что среди отобранных не менее 550 и не более 575 стандартных изделий?

Решение. По условию, n=625; p=0,9; q=0,1; k1=550; k2=575.

Искомую вероятность находим по формуле (3.9). Имеем

Ф0 (1,67)− Ф0 (− 1,67) ≈ 0,4526 + 0,4526 = 0,9052.

4.Геометрическое определение вероятности

Впредыдущих разделах мы рассматривали лишь конечные ПЭС. Когда ПЭС (или Ω ) есть несчетное множество может применяться геометрическое определение вероятности. Рассмотрим на плоскости некоторую область Ω , имеющую площадь SΩ , и внутри области Ω область D с площадью SD (см. рис.10).

Рис.10.

В области Ω случайно выбирается точка X. Этот выбор можно интерпретировать как бросание точки X в область Ω . При этом попадание точки в область

36

Ω — достоверное событие, в D — случайное. Предполагается, что все точки области Ω равноправны (все элементарные события равновозможны), т. е. что брошенная точка может попасть в любую точку области Ω и вероятность попасть в область D пропорциональна площади этой области и не зависит от ее расположения и формы. Пусть событие А = { X D }, т. е. брошенная точка попадет в область D.

Геометрической вероятностью события А будем называть отношение

площади области D к площади области Ω , т. е. P( A) = SD . SΩ

Геометрическое определение вероятности события применимо и в случае,

когда области Ω и D обе линейные или объемные. В первом случае P(A) = lD , во lΩ

втором случае P(A) = VD , где l — длина, V — объем соответствующей области.

VΩ

Геометрической вероятностью события А называется отношение меры области, благоприятствующей появлению события A, к мере всей области, т.е..

Геометрическая вероятность обладает всеми свойствами классического определения вероятности.

Пример 4.1. Задача о встрече. Два лица условились встретиться в определенном месте между двумя и тремя часами дня. Пришедший первым ждет другого в течение 10 минут, после чего уходит. Чему равна вероятность встречи этих лиц, если каждый из них может прийти в любое время в течение указанного часа независимо от другого?

Решение. Будем считать интервал с 14 до 15 часов дня отрезком [0,1] длиной 1 час. Пусть x и y — моменты прихода первого и второго лица соответственно(точки отрезка [0,1]).Все возможные результаты эксперимента — это множество точек квадрата со стороной 1:

Ω = {(x, y): 0 ≤ x ≤1, 0 ≤ y ≤1 } (см. рис. 11).

Можно считать, что эксперимент сводится к бросанию точки наудачу в квадрат. При этом благоприятными исходами являются точки множества

A = {( x , y): │x - y│ ≤ 1/6 } (лица встретятся, если разность между моментами их прихода будет не более 10 минут = 1/6 часа). То есть попадание во множество A наудачу брошенной в квадрат точки означает, что лица встретятся.