МОМ - частная методика

Рекомендовано к печати кафедрой математики и методики её преподавания

Саратовского государственного университета имени Н.Г.Чернышевского

С.В. Лебедева – Саратов, 2012. – 128 с.

© С.В. Лебедева, 2012

2

3

4

СОДЕРЖАНИЕ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ

Тема 1. Расширение понятие «число» в школьном курсе математики

I. Предваряющее задание. (1) Подберите соответствующий теме историко-математический материал (2) Изучить материал статьи Кузнецова Л. Экзамен для девятиклассников: содержание алгебраической подготовки / Л. Кузнецова, С. Суворова, Л. Рослова // Математика, 2010, №18 (465). – С.37-45. (3) Какой может быть мотивация изучения чисел новой природы?

II.Практическая работа – 90 минут.

Задание 1. Провести анализ конспекта урока (см. Приложение 1).

Задание 2. Как можно использовать следующий историко-математический материал при изучении темы Квадратные уравнения? Составить фрагмент конспекта урока.

Как можно записать и выразить иррациональное число? Для решения этого вопроса можно пойти двумя путями.

Первый путь еще в глубокой древности придумали греки. Обратимся еще раз к рисунку. Мы видим квадрат, его сторону тоже видно, мы можем ее, так сказать, «потрогать». И мы знаем, что ее длина равна единице выбранного нами масштаба. В этом квадрате проведена диагональ, ее тоже видно, ее тоже можно «потрогать». И эта диагональ имеет длину... Вот тут-то и начинаются неприятности. Длину-то она, конечно, имеет, мы это

обойти трудности, связанные с иррациональностями, и очень далеко продвинуться вперед в развитии математики, но затем они встретились с совершенно непреодолимыми трудностями

– «сильная» геометрия разрешала пользоваться только циркулем и линейкой (вы и сейчас на уроках геометрии решаете так называемые «задачи на построение», это нам осталось в наследство от греческой математики), а некоторые задачи с их помощью решить невозможно! Надо искать другой путь. Но вы его знаете.

Если выписать последовательно десятичные дроби, квадрат которых меньше 2, то получится 1,4; 1,41; 1,414; ... Многоточие означает, что таких дробей можно написать сколько угодно, или, по-другому, что мы можем написать сколько угодно десятичных знаков числа, квадрат которого как угодно близок к 2. Если выписать последовательно десятичные дроби, квадрат которых больше 2, то получится 1,5; 1,42; 1,415; ... И таких дробей мы можем написать сколько угодно. Тогда становится понятным такое определение: иррациональным числом называется непериодическая бесконечная десятичная дробь.

Правда, надо еще пояснить, почему в определении сказано «непериодическая»,– дело в том, что периодические дроби есть просто другая форма записи обыкновенных дробей,

например 0,3333... = 1/3

Иррациональные числа вместе с рациональными составляют множество, которое называют множеством действительных чисел и обозначают буквой R (от латинского слова реальный, вещественный, действительный, существующий в действительности).

5

Задание 3. Проанализируйте содержание уроков по теме «Степень с рациональным показателем» (по материалам статьи Кротова М. Тема урока «Степень с рациональным показателем». // Математика. – 2010. – № 18. – С.10-12.).

«Понятие степени с натуральным показателем сформировалось еще у древних народов. Квадрат и куб числа использовались для вычисления площадей и объемов. Мы с вами начинали знакомство с понятием степени числа

еще на уроках математики в 5-м классе.

В 7-м классе вы познакомились со степенью с натуральным показателем. Давайте вспомним определение.

Задание. По аналогии с данным, составьте свой пример. В III веке вышла книга греческого ученого Диофанта «Арифметика», в которой было положено начало введению буквенной символики. В этой книге Диофант вводит символы для первых шести степеней. Древние славяне тоже умели записывать большие числа, для этого у них были специальные названия для большого счета: «тысяща» = 103, «тьма» = 106, «легион» = 1012, «леодр» = 1024, «ворон» = 1048, «колода» = 1049.

Ответьте на вопросы.

1.Как из «тысящи» получить «тьму»?

2.На какое число надо умножить 1048 , чтобы получить 1049?

3.Определите закономерность получения каждой из степеней.

4.Какие свойства степени с натуральным показателем при этом вы применили?...»

Разработайте (по аналогии) содержание уроков по любой теме числовой линии ШКМ.

III. Внеаудиторные задания.

(1)Разработайте проблемные ситуации к каждому разделу темы «Степень

снатуральным показателем» (7 класс).

(2)Разработать презентацию «Введение чисел новой природы» / десятичные дроби, обыкновенные дроби, отрицательные числа, иррациональные (радикалы), иррациональные (тригонометрические), иррациональные (логарифмы) по схеме: (а) Предваряющая проблемная задача, приводящая к необходимости введения чисел новой природы, (б) Историкоматематический материал по теме, (в) Упражнения на выделение и распознавание новых чисел.

(3)Как можно расширить / углубить знания учащихся по теме «Расширение понятия «число»»? Составьте библиографический перечень по данной теме. Результаты оформите в таблицу

6

Тема 2. Методика изучения тождественных преобразований

I. Предваряющее задание. (1) Проведите логико-дидактический анализ темы. (2) Классифицируйте задачи Раздела II.1 Выражения и их преобразования из Сборника итоговой аттестации в 9 классе. (3) Решите по одной задаче каждого класса, оцененной в 6 баллов. Какие методические трудности возможны при использовании подобных задач в учебном процессе? Перечислите.

Задание 3. Разработка и создание опорного сигнала (Систематизация знаний и умений: основные результаты) по теме «Свойства степени с натуральным показателем». Ниже приведена часть параграфа из учебника А.Г. Мордковича «Алгебра-7»

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ Здесь собраны основные определения, свойства, теоремы, формулы, правила,

которые мы с вами изучали в § 4-8. Всё это записано на сухом математическом языке без всяких комментариев, поскольку комментарии, обоснования были приведены ранее.

а1 = а;

ап = а · а · … · а;

Знание этих формул – ключ к успеху в работе с любыми алгебраическими выражениями. К этой работе мы приступаем постепенно, начиная со следующей главы.

В заключение – одно предостережение. Мы знаем, что

Если же умножение и деление выполняется над степенями с различными основаниями и разными показателями, то ничего сделать нельзя. Так, 35 · 24 можно вычислить только «в лоб»: сначала вычислить 35, затем 24 и, наконец, выполнить умножение. Будьте внимательны!

7

III. Семинар «Изучение темы Тождественные преобразования алгебраических выражений» – 20 минут – обсуждение вопросов:

Арифметические операции над одночленами.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ Как обычно, закончим главу перечислением основных полученных в ней

результатов.

В этой главе мы с вами изучили следующие понятия: многочлен, в частности, двучлен, трёхчлен; приведение подобных членов многочлена, взаимное уничтожение членов многочлена; стандартный вид многочлена; алгебраическая сумма многочленов.

Мы с вами изучили следующие правила: правило составления алгебраической суммы многочленов, правило умножения многочлена на одночлен, правило умножения многочлена на многочлен; правило деления многочлена на одночлен.

Мы с вами изучили следующие формулы:

В написанном виде это – формулы сокращённого умножения; если же их читать справа налево (например, а2 – в2 =(а + в)(а – в)), то это – формулы разложения многочлена на множители (то есть формулы, позволяющие многочлен, записанный в правой части равенства, представить в виде произведения более простых многочленов, которые записаны в левой части равенства).

4. Методические рекомендации к изучению темы Разложение многочленов на множители.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

В этой главе мы ввели новые (для вас) понятия математического языка: разложение многочлена на множители; алгебраическая дробь, сокращение алгебраической дроби; тождество, тождественно равные выражения, тождественное преобразование выражения.

Вы познакомились со следующими приёмами разложения многочлена на множители: вынесение общего множителя за скобки, группировка, использование формул сокращённого умножения, выделение полного квадрата.

IV. Лабораторная работа – 35 минут.

Задание 1. Выявить основные типы иррациональных выражений (Сборник итоговой аттестации в 9 классе) и сформулировать в виде правил методы и способы преобразований иррациональных выражений.

Задание 2. Разработать образец ответа по преобразованию иррациональных выражений. Результат оформить в таблицу.

8

Задание 3. Составить по теме «Преобразование иррациональных выражений»

Вариант 1: долгосрочную индивидуальную работу, Вариант 2: рабочую карту (см. Приложение 2).

Задание 4. Разработать проект урока повторения и обобщения материала по теме «Преобразование иррациональных выражений»

V. Самостоятельное изучение нового материала – 10 минут – Изучить материал статьи Михайлева А.А. Возможность применения теории поэтапного формирования умственных действий в школьном курсе математики при изучении темы «Алгебраические выражения».

Тема «Алгебраические выражения» изучается в течение двух лет и используется на протяжении всего курса математики.

Традиционно изучение этой темы начинается в седьмом классе, и строится следующим образом: учитель формулирует определение одночлена и приводит примеры выполнения заданий. Далее на нескольких уроках учащиеся решают множество однотипных задач по образцу. Так же репродуктивно вводится определение многочлена, и только через год – понятие целого и дробного выражения.

В результате такого «обучения» ни один из студентов первого курса не может вспомнить, что же называется многочленом, степенью многочлена и т. д.

Мы предлагаем для изучения темы: «Алгебраические выражения» в восьмом классе строить ориентировочную основу действия по третьему типу ориентировки, что позволяет реализовать далее и все последующие этапы [1, с. 120-128].

Разделите предложенные выражения на классы в соответствии с выбранным признаком:

Получится следующая схема

9

Для мотивации введения понятия одночлен необходимо рассмотреть задачу классификации всех алгебраических выражений, для чего нужно выбрать существенный признак – последнее действие, связывающее переменные.

Для составления схемы ориентировочной основы действия учащимся предлагается следующее задание: Необходимо обратить внимание, что в классах «Сложение» и «Умножение» есть тождественно равные выражения: а2 – 1 и (а + 1) (а – 1). а в классах

Учащимся необходимо предложить подумать, как избежать таких недоразумений.

Врезультате они должны прийти к следующим выводам:

–необходимо ввести договоренность о стандартном виде алгебраического выражения.

–проводить классификацию можно только после раскрытия всех скобок и приведения алгебраических выражений к стандартному виду, иначе два тождественных выражения могут попасть в разные классы.

Далее следует обратить внимание на то, что элементы классов «Сложение» и «Деление» строятся из элементов двух классов «Умножение» и «Числа и переменные». Поэтому элементы этих классов (как «мельчайшие») называют одночленами, а элементы класса «Сложение» – многочленами. Получается следующее определение: «Одночлен – это алгебраическое выражение, которое представляет собой произведение чисел, переменных и их степеней».

Аналогично, используя классификацию можно сформулировать и определение алгебраической дроби (дробного выражения) как элемента класса «Частное». Также необходимо поставить вопрос: «Любое ли алгебраическое выражение можно отнести однозначно к одному из четырех выделенных классов?» Результатом работы учащихся должен стать вывод, что классификация алгебраических выражений аналогична классификации чисел:

Литература

1. Талызина, Н.Ф. Практикум по педагогической психологии. – М.: Академия, 2002.

VI. Внеаудиторное задание.

(1)Провести сравнительный анализ презентаций «Тождественные преобразования многочленов» (http://festival.1september.ru/articles/504843/) и «Одночлены и многочлены» (http://festival.1september.ru/articles/415021/).

(2)Изучите содержание и структуру исследовательской работы (Приложение 3), разработайте текст исследовательской работы аналогичной структуры по теме «Преобразование логарифмических выражений (11 класс)».

(3)Описать возможности применения ресурса «Сложение многочленов» – (http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/67ada755-57ad-4fe2-adc1- b9f413a8f55f/D203.swf).

10