МОМ - частная методика

у=х2+0,3. Проверить правильность сделанного эскиза: вычислить значения функции у = х2 при х=±0,5; ±1,5 и отметить точки графика. Каким преобразованием

можно перевести график функции у=х2–1 в график функции у=х2?

Цель задания – согласовать зрительный образ графика, его геометрические свойства и формулу.

«пробных» значений аргумента. Положение точек на чертеже должно выправить распространенную неточность в изображении графиков квадратичных функций: нарисованные «от руки» ветви параболы, как правило, расположены гораздо шире, чем должны быть. Поэтому пробные точки (их ординаты вычисляются по условию, а не ищутся по чертежу) попадают в полосу между изображенными линиями. То, что графики сближаются по мере удаления от

квадратичных функций, основанный на использовании геометрических преобразований для построения графика произвольной кубической функции из кубической параболы стандартного положения – графика функции у=ах3, а 0.

Как и в случае с квадратичной функцией замечаем, что характер изменения значений функции у=ах3 неравномерный: на одних участках она растет быстрее, на других – медленнее. Эта особенность выявляется при построении графика, причем целесообразно рассмотреть два графика … и т.д., по аналогии. Важно отметить свойство кубической параболы – симметричность её графика относительно начала координат.

Далее вводится более широкий класс функций, имеющий вид у=ах3+с. И здесь также коэффициент с получает ясную геометрическую интерпретацию, подойти к которой можно либо явно используя понятие параллельного переноса вдоль оси ординат, либо независимым рассуждением.

Пример 5. Задан график функции у=ах3. Построить на этом чертеже график функции у=ах3–2.

Здесь также можно поступить по аналогии с рассмотренными примерами при рассмотрении квадратичной функции.

Далее необходимо подвести учащихся к основным свойствам функции у=ах3: (1) Область определения – вся числовая прямая; (2) у=ах3 – нечетная функция; (3) Функция возрастает на всей числовой прямой.

21

Задание 3. Опишите методику решения задачи (4 балла, ГИА).

Задание 4. Опишите методику решения задачи (6 баллов, ГИА, раздел «Функции и графики», №№ 5.36-5.40) и методику организации деятельности учащихся по решению этой задачи.

22

Тема 5. Методика изучения уравнений и неравенств

I.Предваряющее задание: (1) Выявить основные типы задач линии уравнений и неравенств, решаемых в основной школе и дать образцы решения этих задач (по материалам Сборника итоговой аттестации). (2) Решить задачи 2.13, 2.29, 2.48, 4.33 из Сборника итоговой аттестации. (3) Заполнить пропуски

вучебном материале (Приложение 7).

II.Практическая работа – 90 минут.

Задание 1. Составить текст долгосрочной индивидуальной самостоятельной работы по решению неравенств с учётом уровневой дифференциации в трёх вариантах.

Задание 2. Составить диагностическую карту по теме Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций.

Задание 3. Изучите содержание главы 2 учебника Мордкович А.Г. Алгебра 9. Разработайте структуру изучения материала данной темы (оформите в виде структуры уроков по теме)

Задание 4. Разработать алгоритмическое предписание по решению дробнорациональных уравнений на одном из этапов изучения систематического курса алгебры. В алгоритмическое предписание включить вопросы для самопроверки правильности рассуждений.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

23

Задание 5. Разработать алгоритмическое предписание по решению иррациональных уравнений, в которое включить вопросы для самопроверки правильности рассуждений.

24

Задание 6. Оформить ОСК Системы уравнений, используя материал учебника.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

В этой главе вы познакомились с новой математической моделью, которая часто служит описанием математической сущности реальных процессов, – системой двух рациональных уравнений с двумя переменными.

Вы познакомились с новыми математическими понятиями: рациональное уравнение с двумя переменными; решение уравнения с двумя переменными; система двух уравнений с двумя переменными;

решение системы двух уравнений с двумя переменными; равносильность уравнений с двумя переменными, равносильность систем уравнений.

Мы обсудили различные методы решения систем двух уравнений с двумя переменными:

графический метод; метод подстановки;

метод алгебраического сложения; метод введения новых переменных.

Обратили внимание на то, что метод введения новых переменных при решении систем двух уравнений с двумя переменными применяется в двух вариантах. Первый вариант: вводится одна новая переменная и используется только в одном уравнении системы. Второй вариант: вводятся две новые переменные и используются одновременно в обоих уравнениях системы.

Мы вспомнили две теоремы из курса геометрии, которые имеют

непосредственное отношение и к курсу алгебры:

х2 + у2 = r2 – уравнение окружности, построенной на координатной плоскости, с центром в начале координат и радиусом r;

(х – а)2 + (у – в)2 = r2 – уравнение окружности, построенной на координатной плоскости, с центром в точке (а; в) и радиусом r.

III.Внеаудиторное задание.

(1)Проведите экспертизу ЦОР «Как Ал-Хорезми решал квадратные уравнения» – http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/5c9a9b61-b2d6-4be2- 92bd-6748a14b8c8a/M22D2.swf.

(2)Изучить материал статьи Равносильность и логическое следование (Приложение 8), дополнить содержание статьи конкретными примерами.

(3)Разработайте ЦОР по теме «Логарифмические и показательные уравнения и неравенства».

(4)Разработайте план-конспект урока по любой теме линии уравнений и неравенств с использованием наиболее подходящей для этого технологии; обоснуйте выбор этой технологии.

(5)Опишите работу учителя по формированию мотивации изучения различных методов и способов решения уравнений и неравенств.

25

Тема 6. Методика изучения основных геометрических фигур (точка, прямая, плоскость)

I.Предваряющее задание:

(1)Выявить основные типы задач по теме из Сборника ГИА: геометрия.

(2)Решить задачи 7, из Сборника ГИА: геометрия.

(3) Подберите задачу на использование алгоритма установления расстояния между скрещивающимися прямыми (Приложение 9).

26

II. Практическая работа – 90 минут.

Задание 1. Проанализируйте содержание первого варианта ГИА (Приложение 10). Укажите все свойства основных геометрических фигур, применяемые при решении задач 1 варианта; оформите в виде перечня.

Задание 2. Сопоставьте выявленные в задании 1 свойства с аксиомами/

III.Внеаудиторное задание. (1) Проведите экспертизу ЦОР к урокам «Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве»

(http://festival.1september.ru/articles/593938/) и «Перпендикулярность прямых и плоскостей» (http://festival.1september.ru/articles/600424/); результаты оформите в таблицу сравнений.

(2) Изучить материал статьи Альтшулер, И. Прямые в пространстве / Математика и физика в средней в школе. 1935. № 3. С. 52–56 (Текст статьи Вы можете найти на сайте «Математическое образование: прошлое и настоящее» – http://www.mathedu.ru/journals-collections/). Чем отличается методика изучения материала темы в 30 годах ХХ века от методики её изучения в начале ХХI века. Почему?

(3) Разработайте ЦОР по теме занятия. Сопроводите ЦОР аннотацией.

(4) Какая из технологий обучения математике наиболее подходит для изучения данного материала? Ответ обоснуйте.

(5) Составьте аннотированный список статей учителей математики по теме «Методика изучения основных геометрических фигур: точка, прямая, плоскость» опубликованных на сайтах сетевых сообществ учителей математики.

27

Лабораторная работа «Методика изучения основных геометрических фигур» в педагогических ситуациях

Задание 1. Проанализируйте педагогическую ситуацию-1.

На уроке при изучении понятия «отрезок» учитель напомнил, что учащиеся уже знакомились с понятием отрезка на уроках математики в 5-6 классах, и теперь этому понятию нужно дать определение. Затем он сформулировал определение отрезка и попросил учащихся повторить его. Несколько первых попыток школьников повторить определение были неудачными, но потом они начали довольно бойко его формулировать. Получив несколько безупречных по форме ответов, учитель перешёл к следующей части урока.

Спрогнозируйте возможные последствия предложенной методики введения понятия. Какие методические ошибки были допущены учителем? Выделите этапы введения нового понятия.

Задание 2. Проанализируйте педагогическую ситуацию-2.

Студент-практикант, проектируя урок изучения признаков параллельных прямых по учебнику Л.С. Атанасяна, подготовил следующие вопросы и задания для базового повторения в форме фронтального опроса.

1.Какие прямые называются параллельными?

2.Сформулируйте признаки равенства треугольников.

3.Какие углы называются смежными?

4.Сформулируйте свойство смежных углов.

5.В чём заключается метод доказательства от противного?

Какие методические ошибки допустил студент-практикант? Выделите этапы изучения теоремы.

Задание 3. Разработайте систему заданий для осуществления актуализации необходимого теоретического материала и мотивации изучения первого признака параллельности прямых. Выполните чертёж к теореме, запишите данные условия и заключение. Выберите вариант организации поиска идеи доказательства (нужное подчеркнуть): объяснение учителем, привлечение учеников к выделению этапов доказательства, самостоятельное открытие, работа с книгой. Обоснуйте свой выбор.

Задание 4. Составьте на готовых чертежах систему устных упражнений к

28

Лабораторная работа «Прямые и плоскости в пространстве»

Задание 1. Обоснуйте приём указание-вопрос решения задач.

Задание 3. Приведите пример использования приёма одношаговых задач. Задание 4. Приведите пример использования приёма опорных задач. Задание 5. Решить задачи с использование приёма формулировки и

решения аналогичной задачи.

29

Для стереометрической задачи: Скрещивающиеся прямые а и b

пересекают плоскость γ в точках А и В. Доказать, что на этих прямых существуют точки М а и N b такие, что расстояние МN равно заданному расстоянию d и прямая MN параллельна плоскости γ, – аналогом является планиметрическая: Построить отрезок, равный и параллельный данному так, чтобы его концы принадлежали данным пересекающимся прямым. Решение

последней задачи наталкивает учащихся на способ решения первой.

Решим задачу. Построить отрезок, равный и параллельный данному так,

чтобы его концы принадлежали данным пересекающимся прямым.

Итак, для того, чтобы решить стереометрическую задачу, необходимо … Теперь решим задачу. Скрещивающиеся прямые а и b пересекают

плоскость γ в точках А и В. Доказать, что на этих прямых существуют точки М а и N b такие, что расстояние МN равно заданному расстоянию d и прямая MN параллельна плоскости γ.

Задание 6. Приведите пример использования приёма равносильных преобразований требования задачи.

Задание 7. Приведите пример использования приёма получения следствий из условия задачи.

Задание 8. Приведите пример использования приёма постановки и выполнения производного задания.

Задание 9. Приведите пример использования приёма сопоставимого вычленения.

Задание 10. Приведите пример использования приёма упрощения условия. Задание 11. Приведите пример использования приёма введения

вспомогательного объекта.

Задание 12. Приведите пример использования частных приёмов решения. Задание 13. Решите задачу по теме занятия, выявите суть решения.

Обобщите его до эвристического приёма.

Эвристический приём. ________________________________________________

Какой класс задач охватывает эта эвристика? _____________________________

Задание 14. На основе аксиомы «___________________________________»

получите несколько частных эвристик.

(1)__________________________________________________________________

(2)__________________________________________________________________

(3)__________________________________________________________________

(4)__________________________________________________________________

Задание 15. Проанализируйте способы решения задач, приведённых в качестве примеров решения в тексте учебника геометрии. Какие приёмы были использованы в ходе решения?

30