МОМ - частная методика

Тема 7. Методика изучения аналитической геометрии в ШКМ: Векторы и координаты

I. Предваряющее задание: (1) Проведите сравнительный анализ тем Векторы и Метод координат. (2) Какие требования предъявляет образовательный стандарт к уровню подготовки учащихся по темам, реализующим линию аналитической геометрии? (3) Решить задачи раздела «Координаты и графики» Сборника ГИА: алгебра (стр.138-147) на 2, 4 и 6 баллов.

II. Практическая работа (90 минут).

Задание 1. Проанализируйте план-конспект урока.

Тема: «Элементы векторной алгебры» (40 мин)

Цели: 1. познакомить с элементами векторной алгебры;

2.сформировать понятие вектора;

3.развитие абстрактного мышления.

Ход урока.

I Организационный момент (2 мин).

II ИНМ — лекция (20 мин):

Опр. Вектором наз. направленный отрезок.

Опр. Векторы одинаково направлены, если полупрямые одинаково направлены.

Опр. Абсолютной величиной (или модулем) вектора наз. длина отрезка, изображающего вектор.

Опр. Два вектора наз. равными, если они совмещаются параллельным переносом.

a

b

Равные векторы одинаково направлены и равны по абсолютной величине.

Опр. Пусть вектор a имеет началом точку A1(x1, y1), а концом — точку A2(x2, y2). Координатами вектора будем

называть числа a1=x2-x1 и a2=y2-y1. Обозн. a(a1, a2) (a1, a2).

Равные векторы имеют равные соответствующие координаты.

31

Опр. Суммой векторов a и b с координатами a1, a2 и b1, b2 наз. вектор

c координатами a1+b1, a2+b2.

Опр. Разностью векторов a(a1, a2) и b(b1, b2) называется такой вектор c(c1, c2), который в сумме с вектором b дает вектор a: b+c=a, c1=a1-b1, c2=a2-b2.

Опр. Произведением вектора (a1, a2) на число µ называется вектор (µa1, µa2), т. е. µ(a1, a2)=(µa1, µa2).

Опр. Скалярным произведением векторов a(a1, a2) и b(b1, b2) наз. число a1b1+a2b2.

IIIУНМ (15 мин):

1)найти сумму векторов:

a)a(3, 2) и b(1,5), c(-2, 4) d(2, -5);

b)a и b, c и d

b

2)найти разность векторов a(3,7) и b(-4, 8);

3)найти вектор 2a, 0.5b, 3c, 1/3d;

4)найти скалярное произведение векторов a(-4, 2) и b(2, 5).

IV Итог урока (3 мин):

1)поурочный балл;

2)домашнее задание: составить по два задания на нахождение суммы, разности и скалярного произведения двух векторов.

ВЫВОД.

32

Задание 2. Изучите эвристики по использованию векторного метода решения задач. Выделите эвристики по использованию координатного метода решения задач.

Введённый в среднюю школу векторный аппарат даёт новый эффективный метод для решения геометрических задач. По значимости его можно уподобить методу составления уравнения. Так как этот метод является новым для учащихся, необходимо:

А) заинтересовать учащихся, показав им эффективность его использования на специально подобранных задачах;

Б) обучать учащихся некоторым эвристикам, которые помогут создать у них навык в его применении;

В) обучать этому методу на достаточно простых задачах, не отвлекая внимание на трудности чисто геометрического содержания.

Следует иметь в виду, что векторный метод не является универсальным, к решению некоторых задач он неприменим или малоэффективен.

Можно выделить следующие эвристики:

b)Доказать равенство OC pOA qOB , где p + q = 1 и О – произвольная точка;

c)Доказать равенство αOA βOB γOC 0 , где и О – произвольная точка

a b

33

Задание 3. Понятие вектора, которое нашло широкое распространение в прикладных науках, явилось плодотворным и в геометрии. Аппарат векторной алгебры позволил упростить изложение некоторых сложных геометрических понятий, доказательства некоторых теорем школьного курса геометрии, позволил создать особый метод решения различных геометрических задач. Проиллюстрируйте это положение, рассмотрев методику доказательства одной из теорем:

Средняя линия треугольника параллельна его стороне и равна половине этой стороны.

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов длин всех его сторон.

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны

Диагонали в прямоугольнике имеют равные длины.

Задание 4. Решите задачу (оформить в виде образца решения): Два предприятия А и В производят продукцию с одной и той же ценой т за одно изделие. Однако автопарк, обслуживающий предприятие А, оснащён более современными и более мощными грузовыми автомобилями. В результате транспортные расходы на перевозку одного изделия составляют для предприятия А составляют 10 рублей на один километр, а для предприятия В

– 20 рублей на один километр. Расстояние между предприятиями 300 км. Как территориально должен быть разделён рынок сбыта между двумя предприятиями для того, чтобы расходы потребителей при покупке изделий были минимальными?

Задание 5. Опишите методику решения задач 6.18 и 6.20 (ГИА: алгебра) алгебраическим, векторным и координатным методом.

34

III. Внеаудиторное задание.

(1)Вспомните основные требования к эвристической беседе. Разработайте эвристическую беседу (составить вопросы) к решению задачи из задания 4.

(2)Решите задачи, опишите методику работы с данными задачами на

уроке:

«Лестница, стоящая на гладком полу у стены, соскальзывает вниз. По какой линии движется котёнок, сидящий на середине лестницы?»

«Два наблюдаемых пункта находятся в точках А(х1; у1) и В(х2; у2). Пункт наблюдения О находится на прямой АВ и удалён от точки А на расстояние а км, а от точки В на расстояние с км, причём, с больше, чем а. Наблюдатель для безопасности должен идти по такому пути, чтобы расстояние от него до пункта А всё время оставалось в 2 раза больше, чем расстояние от него до пункта В. по какой линии должен идти наблюдатель?»

(3)Провести сравнительный анализ ЦОР к урокам Векторы в пространстве (http://festival.1september.ru/articles/530054/) и Простейшие задачи в координатах (http://festival.1september.ru/articles/551964/) .

(4)Вспомните суть практико-ориентированной технологии обучения математике, основные организационные формы и методы этой технологии. Примените практико-ориентированную технологию обучения математике к проектированию уроков по решению данных выше сюжетных задач: разработайте практико-ориентированный урок математики.

(5)Каким может быть элективный курс «Элементы аналитической геометрии» предпрофильной подготовки и в профильном обучении (математический профиль)? Проанализируйте программу элективного курса «Аналитическая геометрия для 10-11 классов»

(http://festival.1september.ru/articles/314688/)? Оправдались ли Ваши ожидания от содержания этого курса: Почему?

(6)Какие проекты можно предложить учащимся для более глубокого изучения аналитических методов в геометрии? Разработайте визитную карточку одного проекта.

(7)На сайте «Математическое образование: прошлое и настоящее» найдите учебно-методическую литературу по теме, проанализируйте содержание статей и учебников, выясните, как менялись со временем роль, содержание и методика изучения элементов аналитической геометрии.

35

Лабораторная работа «Решение геометрических задач аналитическим методом»

Задание 1. Выполните тест (Приложение 11). Составить диагностическую карту по материалам теста

Задание 2. Заполните таблицу: укажите, каким аналитическим методом можно решить предложенные задачи – алгебраическим, тригонометрическим, векторным, координатным, методом дифференциального исчисления.

В плоскости прямоугольника ABCD дана точка М. Докажите, что МА2 + МС2 = МВ2 +MD2

Даны равносторонний треугольник АВС и окружность, проходящая через вершины А и В, центр которой симметричен вершине С относительно прямой АВ. Доказать, что если М – произвольная точка этой окружности, то из отрезков МА, МВ и МС можно построить прямоугольный треугольник (который вырождается, если М = А или М = В)

Докажите, что правильную треугольную пирамиду со стороной основания а и боковым ребром b можно пересечь плоскостью так, чтобы в сечении получился квадрат. Вычислите сторону квадрата

Доказать, что если биссектрисы двух плоских углов трёхгранного угла взаимно перпендикулярны, то биссектриса третьего плоского угла перпендикулярна первым двум биссектрисам

Доказать, что медиана треугольника меньше полусуммы заключающих её сторон

Как «вписать» в квадрат со стороной а развёртку правильной четырёхугольной пирамиды так, чтобы вершины квадрата «складывались» в вершину пирамиды, причём объём пирамиды дожжен быть максимальным

На плоскости даны две точки А и В. Точка С перемещается в плоскости так, что длина медианы AD треугольника АВС остаётся неизменной. Найдите множество точек С

Найти площадь равнобокой трапеции, если её диагональ равна d, а угол между диагональю и основанием равен α

Найти углы равнобедренного треугольника, если известно, что прямая, проходящая через вершину угла при основании, делит его на два треугольника, каждый из которых также является равнобедренным

Наклонная образует с плоскостью угол α. Через основание наклонной проведена к данной плоскости прямая l под углом β к проекции наклонной на плоскость. Найдите угол γ между наклонной и прямой l

Около окружности радиуса r описан правильный двадцатиугольник А1А2…А20. Доказать, что А1А2 + А1А4 = 2r

Основание равнобедренной трапеции равны 6 см и 4 см, а диагональ равна d см. Найти длины отрезков, на которые диагональ делится точкой пересечения диагоналей

Постройте равнобокую трапецию с данным основание а и данной суммой m трёх других сторон так, чтобы площадь трапеции была наибольшей

Продолжение сторон AD и ВС выпуклого четырёхугольника АВСD пересекаются в точке Р. Докажите, что если точка Р и середины сторон АВ и CD принадлежат одной прямой, то ABCD – трапеция

Стороны ВС, СА, АВ треугольника АВС разделены по его обходу точками L, M и N в равных отношениях. Докажите, что из отрезков АL, ВМ и СN можно составить треугольник.

Задание 3. Проиллюстрируйте каждый метод, решив по одной задаче (на применение метода) из предыдущего задания.

36

Задание 4. Разработайте методику решения одной из задач. Задание 5. Проверьте свои знания – заполните таблицу.

Запишите

Уравнение прямой, проходящей через заданную точкуМ(х0, у0)

перпендикулярно заданному вектору n(А, В), то есть общее уравнение прямой

Уравнение прямой, проходящей через заданную точкуМ(х0, у0)

коллинеарно заданному вектору p (a, b), то есть каноническое уравнение прямой

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

М(х0, у0) и М(х1, у1)

Уравнение прямой «в отрезках», то есть уравнение прямой, проходящей через точки Х(х0, 0) и У(0, у0)

Уравнение прямой, проходящей через заданную точкуУ(0, у0), с данным угловым коэффициентом α, 0 ≤ α ≤ π, α ≠ π/2, то есть уравнение прямой с угловым коэффициентом (или разрешенным относительно у).

Условие параллельности прямых

Условие совпадения прямых

Условие перпендикулярности прямых

Лабораторная работа «Элементы аналитической геометрии в школьном курсе математики»

Задание 1. Опишите один из аналитических методов решения геометрических задач. Задание 2. Разработайте процессуальную модель урока по изучению данного метода. Задание 3. Разработайте систему задач к этому уроку.

37

(а) Через точки А и В на грани куба проведите плоскость, делящую его на две равновеликие части.

Указание. Искомая плоскость проходит через центр куба.

(б) Через точки А и В на смежных гранях куба проведите плоскость, делящую пополам его поверхность.

(в) Через точки А и В на скрещивающихся рёбрах куба проведите плоскость, делящую пополам объём куба.

11. Нарисуйте куб ABCDA1B1C1D1. Нарисуйте проекцию: (а) ребра АВ на плоскость CDD1,(б) ребра ВC на плоскость AB1C1,(в) вершины В на плоскость AА1C1,(д) треугольника АВВ1 на плоскость AА1C1.

12. Нарисуйте поверхность, которая получится при вращении: (а) прямоугольного треугольника, если ось вращения проходит через катет, (б) прямоугольника, если ось вращения проходит через сторону, (в) окружности, если ось вращения проходит через диаметр,(г) круга, если ось вращения проходит через диаметр. Попробуйте сделать модели этих фигур и найдите различные элементы симметрии.

Задание 2. Изучите классификацию практических работ по геометрии (Тараник В.И. Самостоятельная познавательная деятельность учащихся и её развитие средствами практических работ по геометрии: учеб.-метод. пособие / науч. редактор В.А. Далингер. – Омск: ООО ИПЦ «Сфера», 2009. – С.22-23).

39

Какими могут быть практические работы, спроектированные по материалам первого задания?

По материалу задачи (задание 1) разработайте текст практической работы.

III.Внеаудиторное задание:

(1)Классифицируйте задачи ГИА и ЕГЭ по теме занятия.

(2)Проведите анализ ЦОР (по теме занятия), размещённых в сети Интернет.

(3)Разработайте технологическую карту развития учащихся при изучении темы «Геометрические преобразования», а также соответствующую систему развивающих задач.

(4)Какие занимательные задачи по теме занятия Вы могли бы предложить учащимся? Приведите решение этих задач.

(5)Воспользуйтесь интерактивной средой «1С: Математический конструктор» для разработки практических заданий по теме занятия. Какие инструменты конструктора Вы при этом использовали? Составьте технологическую карту разработки практического интерактивного задания в среде «1С: Математический конструктор».

(6)Как модуль «Геометрические преобразования» связан с модулем «Преобразование графика функции»? Каким образом можно осуществить содержательно-деятельностную интеграцию этих модулей?

(7)На сайте «Математическое образование: прошлое и настоящее» просмотрите журналы и сборники статей: выпишите все статьи, касающиеся методике геометрических преобразований, обозначив проблемы, которые поднимают автору этих статей. Результаты оформляйте в таблицу.

(8) Теоретико-групповой подход позволяет чётко определить предмет геометрии и ключевые понятия школьного курса геометрии, установить и развить связи и отношения между изучаемыми понятиями, способствует повышению уровня знаний школьников по геометрическим преобразованиям и их подготовке к восприятию и пониманию достижений современной науки.

Опишите суть теоретико-группового подхода к изучению геометрии.

40