МОМ - частная методика

Приложение 12

Задачи «на ГМТ»

Задача 1. Найти геометрическое место точек, одинаково удалённых от сторон угла. (Угол определяем как фигуру, состоящую из двух различных лучей с общим началом.)

Решение

АПусть дан ABC и М – точка, принадлежащая

Вопросы.

– Решена ли задача? Можем ли мы утверждать, что геометрическим местом точек, одинаково

удалённых от сторон угла, является биссектриса этого угла?

–Не могут ли на биссектрисе угла ABC находиться точки N, не являющиеся равноудалёнными от сторон угла?

–Вспомним, как при решении задачи об отыскании геометрических мест точек, равноудалённых от двух данных точек, мы доказывали две взаимнообратные теоремы. Как они формулировались? Для чего было необходимо доказательство обеих теорем?

–Как формулировалась только что доказанная нами теорема о точках, одинаково удалённых от сторон данного угла?

–Как сформулировать обратную ей теорему?

Дано: точка N лежит на биссектрисе угла ABC;

сформулируйте и докажите две взаимно-обратные теоремы.

Вопрос. Какую связь вы можете установить между задачами 1 и 2? Задача 3. Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и высоте,

опущенной из вершины прямого угла на гипотенузу. Вопросы.

–Что такое задача на построение?

–Как оформляется условие задачи на построение?

113

– Из каких основных этапов состоит решение задачи на построение, и в чем их сущность?

1)Угол С – прямой, значит точка С принадлежит геометрическому месту точек. из которых отрезок АВ виден под прямым углом. Это окружность, построенная на АВ. как на диаметре (ГМТ I).

2)СD = h ; СD АВ, значит точка С принадлежит геометрическому месту, удалённому от прямой АВ на расстояние h. Это пара прямых, параллельных АВ

(ГМТ II).

На рисунке оба геометрических места выделены пунктиром. Точка С лежит на пересечении ГМТ I и ГМТ II.

Построение.

АВ = с по построению. Угол АСВ – прямой, т.к. точка С принадлежит ГМТ I.

Проведём CD AB, СD = h ,так как точка С принадлежат ГМТ II. Итак, все условия задачи удовлетворяются. Треугольник АВС – искомый.

114

Исследование Проследим каждый шаг решения задачи: всегда ли он выполним и

однозначно ли?

Отрезок АВ = с построить всегда можно. Построения ГМТ I и ГМТ II всегда выполнимы и притом однозначно.

Могут быть три различных случая взаимного расположения ГМТ I и ГМТ II:

1)Окружность пересекает пару параллельных прямых в четырех точках.

2)Окружность касается каждой из параллельных прямых.

3)Окружность не имеет общих точек с параллельными прямыми.

В первом случае получаем четыре равных треугольника АВС1, АВС2, АВС3, АВС4, попарно симметричных друг другу относительно прямой АВ и серединного перпендикуляра к отрезку АВ. Получаем одно решение (не 4, так как треугольники равны).

С2

Во втором случае получаем два равнобедренных треугольника, симметричных друг другу относительно прямой АВ. Решение одно (рис.5). Наконец, в третьем случае ГМТ I и ГМТ II общих точек не имеют: решений нет

(рис.6).

115

∆АВС – искомый; угол С равен 90°; CD перпендикулярно АВ; О – середина АВ;

CD = h; АВ = с (рис.7).

В ∆ ОCB: ОС = ОB = R =с/2 , где R – радиус окружности, описанной около ∆АВС. Тогда после построения отрезка АВ = с мы можем найти его середину О и построить прямоугольный треугольник ОCD по гипотенузе ОC и катету CD (Как это сделать?), а затем провести отрезки СА и СВ, завершив тем самым построение искомого треугольника АВС.

Осуществите построение, приведите доказательство, выполните исследование задачи.

Какой из указанных в данном пособии способов решения задачи 3 представляется вам наиболее рациональным и почему?

Не можете ли вы назвать другие способы решения этой задачи?

Задача 4. Найти геометрическое место оснований перпендикуляров, опущенных из данной точки А на прямые, проведенные через другую данную точку В.

Решение таких задач целесообразно начинать с «прикидки»: делаем чертеж, удовлетворяющий условиям задачи. Первоначально строим как можно больше точек, принадлежащих искомому геометрическому месту, учитывая возможные «предельные» случаи. Желательно данные точки, фигуры, линии изображать в тетрадях одним цветом, промежуточные построения выполнять – другим, а для искомого геометрического места точек использовать третий цвет. (В случае отсутствия разноцветной пасты можно строить изображения сплошными линиями – тонкими и жирными, пунктиром, точками, двойными линиями).

Точки А и В даны. Через точку В проводим прямые: а (АВ), c, d, e, k, h АВ и перпендикулярно к ним из точки А: АВ, АС, AD и т.д. Их основания, образующие искомое геометрическое место точек соответственно: В, С, D.

Отмечаем два «предельных» случая: а (АВ) h; основание этого перпендикуляра – точка В.

Перпендикуляра, проведенного из точки А к прямой а, не существует, или можно считать, что это отрезок нулевой длины, т.е. сама точка А.

Соединив достаточно большое число построенных нами точек В, С, D и т.д. плавной кривой, получаем фигуру, которая похожа на окружность. Задачи на отыскание геометрического места точек – это задачи исследовательского характера. Выдвигаем гипотезу: искомое геометрическое место точек – окружность, построенная на отрезке АВ, как на диаметре. Однако всякая гипотеза требует подтверждений. Формулируем поставленную нами задачу.

Задача 41. Доказать, что основания перпендикуляров, опущенных из данной точки А на прямые, проходящие через точку В, лежат на окружности диаметра АВ.

Задача 5. Найти геометрическое место середин хорд, отсекаемых окружностью ω на прямых, проходящих через точку А.

116

КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ

Контрольная работа «Основной систематический курс математики: алгебра, планиметрия (в 7-9 классах)»

Задание 1. По предложенному О. Волковой сценарию проанализируйте урок алгебры, который проводился в 8 классе СОШ №45 г. Калуги по теме

Применение свойств арифметического квадратного корня. В ходе анализа должны быть отражены следующие моменты: 1) содержание урока, 2) структура урока, 3) оптимальность выбора форм работы учащихся на уроке (то есть соответствие форм работы учащихся типу урока, его цели и содержанию, возрастным особенностям учащихся и пр.), 4) эффективность предложенной системы задач, 5) степень самостоятельности и творческости учащихся, 6) роль учителя.

Тема. Применение свойств арифметического квадратного корня. Цели урока:

–закрепление приобретённых по теме знаний и умений применять свойства арифметического квадратного корня;

–развитие познавательной активности, интереса к предмету, творческой активности;

–воспитание точности, корректности, логичности в мышлении.

Оборудование: карточки с заданиями, дешифраторами и кроссвордами, кодоскоп. Домашнее задание к уроку. Вариант 5 из карточки с заданиями и пятое задание из

кроссворда №2 (учащимся выдаются только задания без предварительного знакомства с карточками). Повторить признаки делимости чисел.

Предварительная подготовка. Класс разбит на группы по четыре человека. В каждой группе выбран руководитель-консультант.

Ход урока.

Организационный момент.

Учитель. Вы закончили изучение свойств арифметического квадратного корня. Ваша задача на этом уроке: применить свойства корня для нахождения значений выражений. Проверим полученные задания.

Математическая разминка (с помощью кодоскопа). Ученики выполняют задания в блокнотах (с использование копирки). После того, как первый лист сдан, ответы проверяются с помощью таблицы «ответ – буква».

117

заданий проверяется с помощью дешифратора. Вариант 5 проверяется по результатам выполнения домашнего задания.

1.1 3.4 Й 3.1 3.4 К 5.4 4.4

118

119

Задание 2. На основе результатов анализа внесите свои коррективы в структуру и содержание урока. Результаты оформите в виде плана-конспекта урока.

Задание 3. Выберите тему для дальнейшего исследования.

Выявите роль темы в систематическом курсе математики основной

школы.

Раскройте содержание темы.

Опишите организацию изучения темы (тематический план, структуры, планы и планы-конспекты уроков) с подробным описанием всех форм работы.

Опишите методику обучения учащихся рассуждениям (доказательство теорем, решение задач) на материале темы.

Разработайте дидактические материалы по теме.

Разработайте содержание уроков на изучение нового материала, закрепление материала, повторение и обобщение материала по теме; разработать содержание урока контроля знаний по материалу темы.

120