МОМ - частная методика

Тема 13. Методика изучения многоугольников и многогранников

I. Предваряющее задание: (1) Пропедевтика изучения темы (1-6 классы). (2) Как данная тема представлена в содержании ГИА (геометрия) и ЕГЭ по математике. (3) Можно ли провести аналогию изучения тем «Многоугольники» и «Многогранники».

II. Практическая работа – 90 минут.

Задание 1. Разработайте общую схему изучения геометрических фигур. Проведите классификацию многоугольников (вариант 1) и многогранников (вариант 2). Составьте серию заданий/упражнений по работе с этой классификацией.

Задание 2. При изучении математического материала учитель должен чётко определять «дозу помощи» ученикам для того, чтобы они могли, как можно глубже, войти в данную проблему. Особенно это касается изучения геометрических фигур, организованного посредством решения системы задач, связанных одной идеей и описывающих одну и ту же геометрическую фигуру. В такой системе задач обычно при решении последующей задачи используются результаты предыдущих.

Например, по теме «Равнобокая трапеция» система задач может быть такой.

61

Тема 14. Изучение геометрических мест точек, фигур и тел вращения

I. Предваряющее задание: (1) Понятие геометрического места точек (ГМТ). (2) Основные ГМТ в ШКМ. (3) Метод геометрических мест как метод решения задач.

II. Практическая работа – 90 минут.

Задание 1. Пропедевтика изучения темы «Фигуры и тела вращения» в 1-6 классах. Разработка практической работы и

«Соотношение объёмов вписанных друг в друга шара, конуса, цилиндра» её решение; методика работы с этой задачей: На могильной плите Архимеда, как завещал учёный, был изображён цилиндр с вписанным шаром, а эпитафия говорила о величайшем открытии Архимеда – о том, что объёмы этих тел относятся как 3:2. Когда римский оратор и общественный деятель Цицерон, живший в I веке до н.э., был в Сицилии, он ещё видел этот заросший кустами и

терновником памятник с шаром и цилиндром.

Используйте материал статьи Архимед и его формула для объема шара / В.М. Тихомиров. Великие математики прошлого и их великие теоремы (http://ftp.mccme.ru/mmmflectures/books/books/books.php?book=1&page=2).

Задание 3. На основе содержания урока технологии «Геометрические формы предмета» (http://festival.1september.ru/articles/519908/) разработайте модель бинарного интегрированного урока (математика +технология).

Задание 4. Проанализируйте урок.

Научно-практическая конференция по теме: "Тела вращения" в 11-м классе с углубленным изучением математики

http://festival.1september.ru/articles/211204/

В работе по углубленному изучению математики все важно и значимо: четкое, логически продуманное планирование урока, интересное, емкое содержание, строгое изложение теории, широкий тренинг решения задач, рассмотрение серий задач, объединенных общей темой или общей идеей решения, использование сюжетных задач. Но особого внимания заслуживает система обобщающих уроков по основным темам курса, которые необходимы для целостного восприятия материала. Наиболее интересны такие итоговые занятия в математических классах, где они часто бывают «открытыми» для учителей, учащихся других классов. И это понятно. Такие занятия носят ярко выраженные просветительные цели: учащиеся вместе с учителем стремятся поделиться с гостями своими знаниями, подчеркнуть широту применения математических понятий и идей и тем самым выразить свое восхищение математикой и уважение к предмету.

Подготовка к итоговому занятию начинается с первых дней изучения темы: отрабатывается основной материал, выполняются обзорные упражнения различной степени

63

трудности, упражнения исследовательского характера. В старших классах повторительно-обобщающие уроки провожу в форме научно-практической конференции. Такая форма уроков используется не чаще чем 1-2 раза в год и пользуется большой популярностью у учащихся. Наряду с повторением уже изученных на рабочих уроках определений и свойств ученикам предлагается изучить дополнительный материал, доказать отдельные теоремы самостоятельно. Для этого весь класс делится на группы, каждая из которых получает задание по отдельному разделу изученной темы и примерный список литературы. Обязательным условием является подготовка хорошей иллюстрации к сообщениям. Так как интенсивно готовимся к уроку-конференции в течение двух недель, то у любого ученика есть возможность в случае необходимости получить консультацию у учителя. На таких уроках не бывает скучающих: старшеклассники уже умеют конспектировать, поэтому каждый старается записать в тетрадь сведения, ему еще не известные. В процессе подготовки ребята получают опыт публичных выступлений, навык самостоятельной работы с учебной и научной литературой, совершенствуют умение анализировать изученное и грамотно излагать его. Ну и еще один немаловажный фактор - это получение хорошей оценки, потому что та серьезная работа, которая предшествует урокуконференции, плохую оценку исключает.

Цели урока:

обобщить и систематизировать знания и умения учащихся, изучить дополнительный теоретический материал по указанной теме;

формировать навык работы учащихся с дополнительной литературой, совершенствовать умение анализировать, обобщать, находить главное в прочитанном, доказывать новое; развивать коммуникативные навыки учащихся;

воспитывать графическую культуру.

ХОД УРОКА

1. Вступительное слово учителя

Представим себе, что плоский многоугольник ABCDE вращается вокруг прямой АВ. При этом каждая его точка, не принадлежащая прямой АВ, описывает окружность с центром на этой прямой. Весь многоугольник ABCDE, вращаясь вокруг прямой АВ, описывает некоторое тело вращения

(рис.1).

Прямая АВ – ось этого тела. Чтобы задать тело вращения, достаточно указать его ось и фигуру, вращением которой получено данное тело.

Следует различать понятия «фигура вращения» и «тело вращения». Не каждая фигура является телом. Например, круг, кольцо, сфера – фигуры вращения, но не тела.

Соотношение между различными видами фигур вращения можно представить следующей схемой.

64

Теорема. Боковые и полные поверхности подобных цилиндров или конусов относятся как квадраты радиусов или высот, а объемы - как кубы радиусов или высот.

3. Устные упражнения.

Устные упражнения не только позволяют проверить умение учащихся решать несложные задачи, но дают возможность переключить внимание, активизировать познавательную деятельность. Предлагаются такие задания в паузах между блоками урока.

Назовите уравнение сферы, точки которой находятся на расстоянии 2 см от начала координат. (x2+у2+z2=4)

Два различных сечения шара пересекаются. Как называется линия их пересечения? (Хорда).

Во сколько раз боковая поверхность цилиндра больше

осевого сечения? (в раз)

Площадь сечения шара равна 9 см2. Сечение удалено от центра на расстояние 4 см. Вычислите радиус шара. (5 см).

Около прямоугольного параллелепипеда, измерения которого 2;4 и 4 см. описана сфера. Вычислите ее радиус. (3 см).

Как называется отрезок, который получается в результате пересечения двух больших кругов шара? (Диаметр).

Сколько общих точек имеет прямая с шаровой поверхностью? (1 или 2).

Сколько диаметров можно провести через точку, произвольно взятую внутри шара? (1).

Определите форму тела, если его проекциями в горизонтальной и вертикальной плоскостях являются круги. (Шар).

При каком условии шаровой сегмент можно назвать шаровым сектором? (Полушар).

4.Задача.

Прямая линия – касательная к боковой поверхности – составляет с образующей, проходящей через точку касания, угол . Какой угол составляет эта прямая с плоскостью основания конуса, если образующие его наклонены к плоскости основания под углом ?

Дано: конус, SA – образующая, SAO= , MB – касательная к конусу, М

SA, (SA;MB)= , –

плоскость основания Найти: (MB; )= .

Решение.

AMB= , AB, AB – касательная к основанию конуса (Повторить определение угла между прямой и плоскостью)

MN AO (MN || SO), (MN; )= MBN

MNB – прямоугольный, sin =MN/MB

66

Тема 15. Методика изучения геометрических построений и методы изображения

конспект урока по решению задач, предложенных авторами этих статей. Задание 4. В методическом пособии Перепёлкина Д.И. Геометрические

построения в средней школе. (М., Л.: Изд-во Академии педагогических наук РСФСР, 1947) ценность геометрических задач на построение определяется следующим образом: «Ценность вопросов, связанных с геометрическими построениями, заключается прежде всего в том, что выполнение тех или иных построений позволяет конкретизировать в сознании учащегося отдельные геометрические факты, заставляет учащегося перевести своё внимание со словесной формулировки геометрического предложения на те реальные геометрические соотношения, которые за этим предложением скрываются. Так, например, положение «радиус, перпендикулярный к хорде, делит хорду пополам» несомненно будет яснее представляться сознанию ученика, если вслед за изучением доказательства он выполнит самое простое относящееся сюда упражнение: «через данную внутри окружности точку провести хорду, которая делилась бы этой точкой пополам». Здесь нельзя просто повторить, что «радиус, перпендикулярный …», а надо ясно осознать, что и хорда при этом перпендикулярна к радиусу». Приведите известные Вам высказывания выдающихся математиков-педагогов относительно ценности изучения геометрических преобразований в школе.

68