МОМ - частная методика

8) В конце урока каждый учащийся проводит самодиагностику с использованием кодификатора. Нужно отметить в таблице своё отношение:

*– в повторении не нуждаюсь, знаю хорошо;

**– нужно напомнить на следующем уроке способ деятельности (алгоритм), еще раз обсудить;

***– трудно, хочу решить подобную задачу в классе.

Подводим итоги по листам учёта. Учащиеся сами оценивают. «Сегодня на уроке математики…», «Мне понравилось…», «Хочу предложить …».

Ваши ассоциации при изучении темы «Преобразование тригонометрических выражений».

Терпение Радость Интересно

Г

Окружность Нравится

О

М

ЕГЭ Трудолюбие Реально

И

Ясно

81

Лист учёта. Фамилия, имя ________________________________________

Критерии оценок:

На «5»– 33-36 баллов; на «4»– 2032 баллов; на «3»– 12-19 баллов.

82

Приложение 5

Мнемонические правила для запоминания тригонометрических формул

Прохорова Елена Валерьевна, учитель математики Муниципального образовательного учреждения «Средняя общеобразовательная школа № 63 г. Омска»

(Из опыта работы)

При изучении темы «Тригонометрия» учащиеся сталкиваются с проблемой запоминания большого количества тригонометрических формул. Твердо знать эти формулы совершенно необходимо для дальнейшего изучения курса алгебры. Как лучше запомнить тригонометрические формулы с наименьшей нагрузкой на механическую память?

1. Знаки тригонометрических функций

Важно помнить, что

(1) все тригонометрические функции в I четверти принимают положительные значения (знак «+»); у синуса знаки расположены

горизонтально,

(2) у косинуса – вертикально,

(3) у тангенса и котангенса – крест-

накрест

Учащиеся прекрасно запоминают, что у тангенса и котангенса знаки располагаются крест-накрест, но забывают, у какой

функции (синуса или косинуса), знаки расположены горизонтально, а у какой – вертикально. В этом случае поможет следующее правило: произносить слова «синус» и «косинус» нужно нараспев, выделяя ударную гласную и фиксируя при этом, в каком направлении вытягивается рот. При произнесении слова «синус» ударная гласная «и» вытягивает рот в направлении «↔», значит, у синуса знаки расположены горизонтально. Аналогично, при произнесении слова «косинус», ударная гласная «о» вытягивает рот в направлении «↕», значит, у косинуса знаки расположены вертикально.

2. Значения тригонометрических функций некоторых углов

83

84

Предположим, что мы выбрали первый из представленных видов. Тогда, применяя первое правило, получим, что в III четверти косинус отрицательный (ставим знак «минус»). Далее задаем вопрос: «Меняем или не меняем функцию?». 180° попадают на горизонтальный диаметр. Помотав головой вдоль этого диаметра, получаем ответ: «Нет, не меняем». Получим

cos240 cos 180 60 cos60 12 .

Теперь предположим, что мы выбрали второй из представленных видов. Вопрос со знаком решается аналогично – ставим знак «минус». А задавая вопрос: «Меняем или не меняем функцию?» и помотав головой вдоль соответствующего диаметра, получаем ответ: «Да, меняем», так как 270° попадают на вертикальный диаметр. Получим

cos240 cos 270 30 sin30 12 .

4. Формулы понижения степени

Важно понять структуру этих формул, в частности, такой момент –

«степень понижается, а угол становится в два раза больше». Эти формулы очень похожи друг на друга, поэтому для лучшего их запоминания следует применять правило: «Единица минус – дает синус, а единица плюс – дает косину́».с

5. Функция косинус

Про функцию косинус следует помнить, что она «четная, семейственная и отличная (от других)». Эти эпитеты позволяют запомнить многие тригонометрические формулы: четность/нечетность тригонометрических функций, формулы сложения, формулы преобразования суммы в произведение, а также формулы преобразования произведения в сумму.

Действительно, функция косинус – четная, в отличие от других тригонометрических функций.

Некоторую «семейственность», свойственную косинусу, можно проследить на примере формул сложения, формул преобразования суммы в произведение, а также формул преобразования произведения в сумму. И в каждом блоке этих формул можно уловить некую «отличительность», свойственную косинусу.

В заключение хотелось бы поделиться памяткой для учащихся по теме «Тригонометрические формулы». Каждому учащемуся такая памятка выдается индивидуально. Ниже приведена «Памятка для Димы Рожкова».

85

Приложение 6

Методика введения понятия обратной функции и функции вида ó x в VIII классе

Понятие обратной функции не имеет аналогов, поэтому приходится вводить их посредством явного определения. Роль обратной функции велика. Использование обратной функции необходимо для введения большого количества классов основных элементарных функций: корня k-

йстепени, логарифмической, обратных

тригонометрических функций. При изучении обратной функции выясняется зависимость ее монотонности от монотонности исходной функции

– это необходимо для того, чтобы обосновать существование обратной функции и подробно рассматривать взаимное расположение графиков данной и обратной функций.

Учитель может подвести учащихся к понятию обратной функции, поставив новую для учащихся познавательную задачу. На основе усвоенного учениками важного представления, входящего в понятие функции,– однозначности соответствия аргумента и определенного по нему значения функции провести следующее рассуждение:

«Каждому допустимому значению переменной x равенство y=f(x) ставит в соответствие вполне определенное значение переменной величины y. Однако в некоторых случаях соотношение y=f(x) можно рассматривать и как такое равенство,

сопоставления на примере.

Пример 1. Равенство y=2x–1 каждому значению y ставит в соответствии следующее

можно сказать, что равенство y=2x–1 определяет х как некоторую функцию переменной величины у. В

явном виде эта функция записывается таким образом: x=(y+1)/2.

Если в каждом случае обозначить независимую переменную буквой х, а зависимую переменную буквой у, то получим формулы: y=f(x), и х=g(у) во второй формуле у выступает в качестве аргумента, а х – в роли функции. Переписав в привычном виде, мы получим

у=g(х).

Определенная таким образом функция у=g(х) называется обратной по отношению к функции y=f(x).

87

Если функция y=f(x) определена и возрастает/убывает на промежутке Х и областью ее значений является промежуток Y, то у нее существует обратная функция, причем обратная функция определена и возрастает/убывает на Y.

Таким образом, чтобы построить график

значению стороны квадрата а соответствует единственное значение его площади S. Зависимость площади квадрата от его стороны выражается формулой S=a2, где a>0. Наоборот, для каждого значения площади квадрата S можно указать соответствующее ему единственное значение стороны а. Зависимость стороны квадрата

теми же переменными, однако в первом случае независимой переменной является сторона квадрата a, а во втором – площадь S.

Если в каждом случае обозначить независимую переменную буквой х, а зависимую переменную буквой у, то получим формулы: у=х2 ,

и затем предложить сформулировать некоторые свойства функции .

Подвести учащихся к понятию симметричности графиков относительно прямой

у=х.

Для усвоения материала предложить в качестве упражнений на выделение найти по графику значения аргумента по функции и наоборот.

Пример 3. Пользуясь графиком, найдите: (а) значение õ при х=0,5; 5,5; 8,4; (б) значение х,

которому соответствует õ =1,2; 1,7; 2,5.

88

Приложение 7

Неравенства в школьном курсе математики

Тема «Неравенства» занимает важное место в курсе алгебры. Она богата по содержанию, по способам и приемам решения неравенств, по возможностям ее применения при изучении ряда других тем школьного курса алгебры. Это объясняется тем, что уравнения и неравенства широко используются в различных разделах математики, в решении важных прикладных задач.

1. Методика изучения неравенств в начальной школе

Работа над неравенствами ведется с I класса, органически сочетаясь с изучением арифметического материала. Программа по математике для I-IV классов ставит задачу выполнять сравнение чисел, а также сравнение выражений с целью установления отношений «больше», «меньше», «равно»; научить записывать результаты сравнения с помощью знаков и читать полученные неравенства.

Числовые неравенства учащиеся получают в результате сравнения заданных чисел или арифметических выражений. Поэтому знаками соединяются не любые два числа, не любые два выражения, а лишь те, между которыми существуют указанные отношения. Если одно число больше (меньше) другого или одно выражение имеет значение больше (меньше), чем другое выражение, то, соединенные соответствующим знаком, они образуют неравенство. Таким образом, первоначально у младших школьников формируются понятия только о верных неравенствах.

Однако в процессе работы над уравнениями, выражениями и неравенствами с переменной учащиеся, подставляя различные значения переменной, накапливают наблюдения и убеждаются в том, что равенства и неравенства бывают как верные, так и неверные. Такой подход к раскрытию понятий определяет соответствующую методику работы над равенствами, неравенствами, уравнениями.

Ознакомление с неравенствами в начальных классах непосредственно связывается с изучением нумерации и арифметических действий.

Сравнение осуществляется сначала на основе сравнения множеств, которое выполняется, как известно, с помощью установления взаимно однозначного соответствия. Этому способу сравнения множеств учат детей в подготовительный период и в начале изучения нумерации чисел первого десятка. Попутно выполняется счет элементов множеств и сравнение полученных чисел (кружков 7, треугольников 5, кружков больше, чем треугольников, 7 больше, чем 5). В дальнейшем при сравнении чисел учащиеся опираются на их место в натуральном ряду: 9 меньше, чем 10, потому что при счете число 9 называют перед числом 10; 5 больше, чем 4, потому что при счете число 5 называют после числа 4.

Установленные отношения записываются с помощью знаков , учащиеся упражняются в чтении и записи неравенств.

Впоследствии, при изучении нумерации чисел в пределах 100, 1000, а также нумерации многозначных чисел сравнение чисел осуществляется либо на

89

основе сопоставления их по месту в натуральном ряду, либо на основе разложения чисел по десятичному составу и сравнения соответствующих разрядных чисел, начиная с высшего разряда (75>48, так как 7 десятков больше, чем 4 десятка; 75>73, так как десятков поровну, а единиц в первом числе больше, чем во втором).

Сравнение величин сначала выполняется с опорой на сравнение самих предметов по данному свойству, а потом осуществляется на основе сравнения числовых значений величин, для чего заданные величины выражаются в одинаковых единицах измерения. Сравнение величин вызывает трудности у учащихся, поэтому, чтобы научить этой операции, надо систематически в I-III классах предлагать разнообразные упражнения, например:

(1) Подберите равную величину: 7 км 500 м = м, 3080 кг = т кг.

мин >16 .

Подобные упражнения помогают детям усвоить не только понятия равных и неравных величин, но и отношения единиц измерения.

Переход к сравнению выражений осуществляется постепенно. Сначала в процессе изучения сложения и вычитания в пределах 10 дети длительное время упражняются в сравнении выражения и числа (числа и выражения). Первые неравенства вида 3+1>3, 3–1<3 полезно получать из равенства (3=3), сопровождая преобразования соответствующими операциями над множествами. Например, на классном наборном полотне и на партах отложено 3 треугольника и 3 кружка и записано: 3=3. Учитель предлагает детям придвинуть к 3 треугольникам еще 1 треугольник и записать это (3+1 – запись под треугольниками). Число кружков не уменьшилось (3). Учащиеся сравнивают число треугольников и кружков и убеждаются, что треугольников больше, чем кружков (4>3), значит, можно записать: 3+1>3 (три плюс один больше, чем три). Аналогичная работа ведется над неравенством 3–1<3 (три минус один меньше, чем три).

В дальнейшем выражение и число (число и выражение) учащиеся сравнивают, не прибегая к операциям над множествами; находят значение выражения и сравнивают его с заданным числом, что отражается в записях:

После знакомства с названиями выражений учащиеся читают равенства и неравенства так: сумма чисел 5 и 3 больше, чем число 5; число 2 меньше, чем разность чисел 7 и 4, и т.п.

Опираясь на операции над множествами и сравнение множеств, учащиеся практически усваивают важнейшие свойства равенств и неравенств (если а>b,

то b<а).

Дети видят, что если кружков и треугольников поровну (рис.1), то можно сказать, что кружков столько, сколько треугольников (3+2=5), а также

90