4. Метод регрессивного анализа
Прогнозируемое значение материального потока рассчитывается как значение математической функции, наиболее точно описывающей изменение значений материального потока за несколько предыдущих периодов.
В общем виде уравнение искомой функции может быть записано следующим образом:
N(t)=F(t)±δ (2.5)
где F(t)- значение функции в t-й год;
δ- погрешность, показывающая величину отклонения теоретических значений от экспериментальных.
Функция может иметь любой вид: прямая, парабола и т.д. Выбор функции, наиболее точно описывающей заданные изменения материального потока, осуществляются на основании минимизации значения погрешности δ, которое рассчитывается по формуле:
δ
=
(2.6)
где Nt – значение материального потока в t-й год (фактическое);
n – число наблюдений;
p – число параметров в уравнении тренда (число неизвестных).
Для анализа принимаем две функции: линейную и полином 2-го порядка:
f(t)= a+bt (2.7)
f1(t)= a+bt+ct2 (2.8)
где a – начальный уровень тренда;
b – средний абсолютный прирост в единицу времени, константа линейного тренда;
c - квадратичный параметр равный половине ускорения, константа параболического тренда.
Значение коэффициента a, b, c определены с помощью метода наименьших квадратов.
Продифференцируем каждое уравнение и составим систему нормальных уравнений:
* для линейного тренда:
(2.9)
* для параболического тренда:
(2.10)
Для упрощения расчетов используем метод отсчета времени от условного начала. Обозначим в ряду изменения значений времени (t) таким образом, чтобы стала равна нулю.
Представим метод расчета и его результаты в виде таблицы 5
Таблица 5
Расчет параметров тренда
|
№ |
N(ti) |
Ti |
t2i |
t3i |
t4i |
N(ti)·ti |
N(ti)·t2i |
f(ti) |
(f(ti)-N(ti))2 |
f1(ti) |
(f1(ti)- N(ti))2 |
|
1 |
30,3 |
-2 |
4 |
-8 |
16 |
-60,6 |
121,2 |
29,4 |
0,13 |
30,22 |
0,0064 |
|
2 |
32,3 |
-1 |
1 |
-1 |
1 |
-32,3 |
32,3 |
32,72 |
0,176 |
32,58 |
3,0784 |
|
3 |
35,6 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
35,5 |
0,01 |
35,22 |
0,1444 |
|
4 |
37,9 |
1 |
1 |
1 |
1 |
37,9 |
37,9 |
38,28 |
0,14 |
38,14 |
0,0576 |
|
5 |
41,4 |
2 |
4 |
8 |
16 |
82,8 |
165,6 |
41,06 |
0,12 |
41,34 |
0,0036 |
|
∑ |
177,5 |
0 |
10 |
0 |
34 |
27,8 |
357 |
177,5 |
0,576 |
177,5 |
0,29 |
Перепишем
уравнение с учетом
=0
и
=0:
* для линейного тренда:
(2.11)
* для параболического тренда:
(2.12)
Отсюда:
* для линейного тренда:
a
=
(2.13)
b
=
(2.14)
Получаем:
a =
= 35,5
b
=
* для параболического тренда:
b
=
(2.15)
Значения a и c найдем, решив систему уравнений:
14c = 2
c = 0,14
a = (1,4+(-177,5)/(-5)
a = 35,22
Получим: a =35,22 , c = 0,14 , b = 2,78
=
a + b * t
найдем
:
F(-2) = 35,5+ 2,78* (-2) = 29,4
F(-1) =35,5–2,78= 32,72
F(0) = 35,5
F(1) = 35,5+ 2,78= 38,28
F(2) = 35,5+ 2,78* 2 = 41,06
=
a + b * t + c *
найдем
:
(-2)
= 35,22+
2,78*
(-2)+ 0,14
*
4 = 30,22
(-1)
=35,22–2,78+
0,14
= 32,58
(0)
= 35,22
(1)
= 35,22+2,78+
0,14 =
38,14
(2)
= 35,22+2,78
* 2 + 0,14* 4 = 41,34
Рассмотренные
значения f(ti) и f1(ti) при ti=
,
и суммы квадратов разностей теоретических
и практических значений приведены в
табл. 2.2
Для линейного тренда:
δ
=
= 0,536
Для параболического тренда:
δ
=
= 0,538
Так как 0,536<0,538 , то линейный тренд является более предпочтительной функцией, т.е. F(t)=f(t). В этом случае прогноз искомого параметра целесообразно определять по формуле линейного тренда, т.е.
F(3)= 35,5 + 2,78*= 43,84(тыс.т./год)
Графики Nt и Ft приведены на рис.2.1.
С, у.e
Q,тн
Рис. 2.1. Графики Nt и Ft
Итак, планируемый размер материального потока в 2010 году, определенный методом регрессионного анализа составляет 43840 тыс. т