- •§1. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ
- •1.1. Задача о скорости
- •1.3. Геометрический смысл производной. Уравнение касательной и нормали к кривой
- •1.4. Непрерывность функции, имеющей производную
- •1.6. Таблица производных
- •1.7. Производная сложной функции
- •1.8. Производная функции, заданной параметрически
- •1.9. Производная функции, заданной неявно
- •1.10. Метод логарифмического дифференцирования
- •1.11. Задачи на нахождение касательной и нормали к кривой
- •1.12. Производные высших порядков
- •§2. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ
- •2.1. Определение
- •2.2. Геометрический смысл дифференциала функции
- •2.3. Основные свойства дифференциалов
- •§3. СВОЙСТВА ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ
- •3.1. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа
- •3.2. Правило Лопиталя
- •§4. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ПРИ ПОМОЩИ ПРОИЗВОДНЫХ
- •4.1. Возрастание и убывание функций
- •4.2. Точки максимума и минимума функций
- •4.4. Выпуклость графика функции. Точки перегиба
- •4.5. Асимптоты графика функции
- •4.6. Общая схема исследования функции и построения графика
- •Производные обратных тригонометрических функций
- •Наклонные асимптоты
- •БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию
F(x) = f (x) −λx. Подберем λ так, чтобы F(a) = F(b). |
Полу- |
|||||
чим |
F(a) = f (a) −λa = f (b) −λb = F(b). |
Отсюда |
||||
λb −λa |
= f (b) − f (a), λ = |
f (b) − f (a) |
. |
Тогда функция |
F(x) |
|
|
||||||
|
|
b −a |
|
|
|
|
удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля: она непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема на интервале (a,b) как раз-
ность функций, непрерывных на [a,b] и дифференцируемых на
(a,b) , на |
концах отрезка |
принимает |
равные |
значения |
F(a) = F(b). |
На основании теоремы Ролля найдется такая точка |
|||
c, a < c < b, |
′ |
′ |
′ |
поэтому |
что F (c) = 0. |
Но F (x) = |
f (x) −λ 1, |
||
F ′(c)
f ′(c)
|
′ |
′ |
f (b) − f (a) |
|
|
|
= |
f (c) −λ = f |
(c) − |
|
= 0. |
Следовательно, |
|
b −a |
||||||
= |
f (b) − f (a) |
. |
|
|
|
|
|
b −a |
|
|
|
|
|
3.2. Правило Лопиталя
Рассмотрим способ раскрытия неопределенностей вида
0 |
|
и |
|
∞ |
при вычислении пределов, который основан на при- |
|
|
|
|
||
0 |
|
|
|
∞ |
|
менении производных.
Теорема.
Пусть для функций f(x) и φ(х) выполнены следующие ус-
ловия:
а) они определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки х0 за исключением, быть может, самой точки х0 , причем φ(х) ≠ 0 и φ'(х) ≠ 0 в указанной окрестности;
б) функции f(x) и φ(х) при х→х0 совместно стремятся к 0
или ∞ :
lim f (x) = lim ϕ(x) = 0
x→x0 x→x0
или lim |
f (x) = lim ϕ(x) = ∞; |
x→x0 |
x→x0 |
37
в) существует (конечный или бесконечный) предел отношения производных:
|
′ |
|
|
|
|
||
lim |
f (x) |
. |
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|||
x→x |
ϕ (x) |
|
|
|
|
||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
Тогда существует и предел отношения функций, равный |
|||||||
пределу отношения производных: |
|
||||||
|
f (x) |
|
|
|
′ |
|
|
lim |
= |
lim |
f (x) |
. |
(15) |
||
|
′ |
||||||
x→x |
ϕ(x) |
x→x |
ϕ (x) |
|
|||
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
Замечания.
1.Правило Лопиталя справедливо и при х→∞ (при соответствующих условиях).
2.Правило Лопиталя можно применять несколько раз.
|
|
|
|
Пример 1. |
Найти |
|
lim |
|
x −sin x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x −sin x)′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
lim |
x −sin x |
|
= |
0 |
= lim |
|
= lim |
1−cos x = 0 |
= |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
→ |
0 |
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
→ |
0 |
|
(x |
3 |
) |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
→ |
0 3x |
2 |
|
|
0 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
cos x |
|
1 |
|
|||||||||||
= lim |
(1−cos x) |
|
|
== lim |
|
= |
= lim |
(sin x) |
|
|
= lim |
= |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
(3x |
2 |
)′ |
|
|
|
|
|
|
6x |
|
0 |
(6x)′ |
|
|
6 |
6 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
x→0 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Пример 2. Найти |
lim lnx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→+∞ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(ln x)′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln x |
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
= |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
lim |
|
|
|
= 0. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
(x)′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
x→+∞ |
|
|
|
|
|
|
x→+∞ x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Пример 3. Найти |
|
lim |
|
|
|
x2 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→+∞ ex |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
= |
∞ |
|
= |
|
|
|
|
|
|
(x2 )′ |
= |
|
|
|
|
2x |
|
∞ |
|
= |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
e |
x |
|
|
|
|
|
|
(e |
x |
)′ |
|
|
e |
x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
x→+∞ |
|
|
|
|
|
x→+∞ |
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
= lim |
|
(2x)′ |
|
= |
|
lim |
|
|
2 |
|
|
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
(ex )′ |
|
|
ex |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x→+∞ |
|
|
x→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
38 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|