k норм. = −

1

= −

1

(если f ′(x0 )≠0).

f ′(x0 )

k кас.

y − f

(x0 )= −

1

(x − x0 ), или

f

′(x0 )

f ′(x0 )(y − f (x0 ))+

(x − x0 )= 0.

(2)

lim

y

=

f ′(x0 ).

x→0

x

y

= f ′(x0 ) +α, где lim α = 0 .

x

x→0

Отсюда следует, что

y = lim ( f ′(x0 ) x +α

x) = 0.

lim

x→0

x→0

x, получим:

Умножив обе части последнего равенства на

∆y= f ′(x0 )·∆x+α·∆x.

y =

x

x, если x ≥ 0

(рис. 5).

=

− x, если x < 0

y

f (0 +

x) − f (0)

0 +

x

−

0

x

1, если

х > 0,

=

=

=

=

x

x

x

x

−1, если

х < 0.

Отсюда следует, что lim

y

не существует, т.е. функция y=|x|

x→0

x

(u ±v)

′

= u

′

′

±v ;

(3)

(uv)

′

′

′

= u v

+uv ;

u

′

′

−uv

′

=

u v

.

(4)

v2

v

Доказательство.

у(х)=u(x)±v(x),

y, u, v −

Докажем

первую формулу.

Пусть

приращения функций

y(x),u(x),v(x)

в точке

x0 , соответствую-

щие приращению аргумента

x.Тогда

∆y=y(x0+∆x )- y(x0)=(u(x0+∆x) ± v(x0+∆x)) - (u(x0)±v(x0))=

=(u(x0+∆x) - u(x0)) ± (v(x0+∆x) - v(x0))=∆u ± ∆v.

Отсюда (при

x ≠ 0)

y

=

u

±

v

. Найдем пределы левой и

x

x

x

правой части равенства при ∆x→0:

y

′

= lim

y

=

u

±

v

= lim

u

± lim

v

= u

′

′

x

lim

x

x

x

x

±v .

x→0

x→0

x→0

x→0

′

′

(cu)

= cu .

Доказательство. Производная постоянной функции по

определению равна c′ = lim

c =

lim

c − c

= 0.

x →0

x

x →0

x

y = cu(x + x) −cu(x) = c(u(x + x) −u(x)) = c

u.

Найдем производную y

′

= lim

y

=

lim

c u

lim

u

′

x

x

= c

x

= cu .

x→0

x→0

x→0

функций.

1.

C′ = 0.

2.

(xa )′ = axa−1 ;

в частности x′ =1,

′

1

1

′

1

(

x )

=

,

= −

.

2 x

x2

x

3.

(a x )′ = a x ln a, (ex )′ = ex .

4.

(loga x)′ =

1

,

(ln x)′ =

1

.

x ln a

x

5.

(sin x)′ = cos x.

6.

(cos x)′ = −sin x.

7.

(tgx)′ =

1

.

cos2

x

(ctgx)

′

1

8.

= − sin2 x .

9.

(arcsin x)′ =

1

при

x

<1.

1− x2

10.

(arccos x)′ = −

1

при

x

<1.

(arctgx)′ =

1

1− x2

11.

.

1+ x2

12.

(arcctgx)

′

= −

1

1+ x2 .

Тогда приращение функции

у = ax+

x −ax = ax (a x −1).

Используя определение, найдем производную

y'= lim

y

= lim

ax (a x −1)

= lim

ax

x ln a

= ax ln a

x

x

x→0

x→0

x→0

x

(т.к. a x −1~∆x ln a

при ∆х→0 по таблице эквивалентных беско-

нечно малых).

б)

Пусть y = loga x, где а > 0, a ≠1.

Тогда для любого x>0 приращение функции

y = loga (x +

x) −loga x = loga

x +

x

x

= loga 1

+

.

x

x

Используя определение, вычислим производную:

+

x

y

loga 1

x

x

1

y′ = lim

= lim

= lim

=

,

x

x

x x ln a

x ln a

x→0

x→0

x→0

x

x

при ∆х→0 по таблице эквивалентных

(т.к. loga 1+

~

x

x ln a

бесконечно малых).

в)

Пусть y=sin x.

x cos(x +

x ) .

Тогда y =sin(x +

x) - sin x = 2sin

2

2

По определению найдем производную

2sin

x

x

y

2

cos x +

2

y'= lim

= lim

=

x

x

x→0

x→0

2

x

x

cos x +

= lim

2

2

= cos x,

x

x ~

x

x→0

(т.к. sin

при

∆х→0

по таблице эквивалентных беско-

2

2

г)

Пусть

y = tgx =

sin x

.

cos x

Тогда по формуле производной частного (4) получим:

′

sin x ′

(sin x)′cos x −sin x(cos x)′

cos2 x +sin2

x

1

(tgx)

=

=

=

=

.

(cos x)2

(cos x)2

cos2

cos x

x

(Здесь

применили также тригонометрическое

тождество

Пример 1. Найти производную функции

y =5x3 - 4sin x +2

х +7 .

Решение.

Воспользуемся свойствами (3)

и таблицей производных:

y'= (5x

3

−4sin x + 2

x +7)'= (5x

3

)

′

−(4sin x)

′

+(2

′

+(7)'=

x )

= 5(x3 )'−4(sin x)'+2(

x )'+(7)'==5 3x2 −4 cos x + 2

1

+0 =

2 x

=15x2 −4 cos x +

1

.

x

Пример 2. Найти производную функции

y =3tg x − 1 arcsin x +0,1 2x −4x .

Решение.

2

Используя свойства (3)

и таблицу производных, получим:

y' = (3 tg x −

1 arcsin x +

0,1 2x −4x)'=

2

=3

1

−

1

1

+0,1 2x ln 2 −4 1 =

cos2 x

2

1− x2

=

3

−

1

+0,1 2x ln 2 −4.

cos2 x

1− x2

2

Пример 3. Найти производную функции

y =

2

−

6

+

1

x3 .

Решение.

5 x

3

x3

′

′

−

1

3

y′

2

6

1

x

3

2x

−3

−6x 5 +

1

x 2

=

=

−

+

=

3

5

x

3

3

x

1

′

3

′

1

′

3

′

= (2x−3 )′

−

6x

−

5

+

1 x

2

= 2(x−3 )′ −6 x−

5

+

1

x

2

=

3

3

1

−

6

1

3

1

6

−

6

1

1

= 2 (−3)x−4 −6

−

x

5 +

x 2

= −6x−4 +

x

5 +

x 2 .

5

3

2

5

2

1

Пример 4. Найти производную функции

y =

ln x

−

ex .

x

Решение. Воспользуемся свойствами (3)

и таблицей

производных:

′

1 ′

y

′

1

e

x

x

+

1

(e

x ′

=

=

ln x −

= ln x −

e

ln x −

)

x

x

x

1

1

x

1

x

=

+

e

+

ln x −

e

.

x2

x

x

5

x

x

1

=

+3

ln 3 (log2

x −cos x)+(5arctg x +3

)

+sin x .

+ x2

1

x ln 2

13