§2. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ
2.1. Определение
Функция y = f(x), имеющая производную в точке x, на-
зывается дифференцируемой в точке x.
Пусть функция y = f(x) имеет в точке x производную
f '(x) = lim |
y . Тогда по теореме о связи предела и бесконечно |
||
x→0 |
x |
|
|
малой, имеем: |
|
|
|
y = f '(x) + α, |
где lim α = 0. |
|
|
x |
|
x→0 |
x, получим при- |
Умножив обе части последнего равенства на |
|||
ращение функции |
y в виде: |
|
|
|
|
y = f '(x)· x + α· x. |
(10) |
Определение. Дифференциалом функции y = f(x) в точке x называется главная часть её приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента. Дифференциал обозначается
dy = f '(x) · x.
Найдём дифференциал независимой переменной x, т.е. дифференциал функции y = x:
dy = dx = (x)'· x = x.
Таким образом, dx = x.
Поэтому дифференциал функции равен произведению производной функции на дифференциал независимой переменной:
|
|
dy = f '(x)dx. |
(11) |
||||||
Из формулы (11) следует равенство |
|
dy |
= f '(x). |
||||||
|
dx |
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||
Теперь обозначение производной |
dy |
|
можно рассматривать как |
||||||
dx |
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||
отношение дифференциалов dy и dx. |
|
||||||||
Пример 1. Найти дифференциал функции y = tg3x. |
|||||||||
Решение. По формуле (11) находим: |
|||||||||
1 |
|
3dx |
|
||||||
dy = (tg3x)'dx = |
|
·3dx = |
|
. |
|
||||
cos2 3x |
cos2 3x |
|
|||||||
Пример 2. Найти дифференциал функции y = 3arctgx.
29
Решение. По формуле (11) находим:
dy = (3 |
arctgx |
)'dx = 3 |
arctgx |
·ln3· |
|
1 |
dx |
arctgx |
· |
ln 3 dx |
||
|
|
|
|
= 3 |
|
. |
||||||
|
|
1+ x2 |
1+ x2 |
|||||||||
|
Пример 3. Найти дифференциал функции y = ln(x2 + 1). |
|||||||||||
Вычислить dy при x = 2, dx = 0,1. |
|
|
|
|
||||||||
|
Решение. По формуле (11) |
находим: |
||||||||||
|
|
2 |
+ 1))'·dx = |
|
2x |
dx . |
|
|
|
|||
|
dy = (ln(x |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
x2 +1 |
|
|
|
|||||||
Подставив x = 2, dx = 0,1, получим: dy = 54 ·0,1 = 0,8·0,1 = 0,08.
2.2. Геометрический смысл дифференциала функции
Рассмотрим график дифференцируемой функции y = f(x) (рис.8). Проведём к графику функции в точке M(x, f(x)) касательную. Пусть T – точка касательной, соответствующая аргументу x + x.
Рис.8
Из прямоугольного треугольника MAT имеем:
30
tgα = AMAT = ATx , отсюда получим AT = tgα· x.
Согласно геометрическому смыслу производной, tgα = f '(x). Поэтому
AT = f '(x) · x = dy.
Итак, дифференциал функции y = f(x) в точке x равен приращению ординаты касательной к графику функции в точке
M(x, f(x)), когда аргумент x получит приращение x. В этом и состоит геометрический смысл дифференциала функции.
2.3. Основные свойства дифференциалов
Свойство 1. Дифференциал постоянной равен нулю: dc = 0.
Действительно, по формуле (11) имеем: dc = c'dx = 0·dx = 0.
Свойство 2. Постоянное число можно выносить за знак дифференциала:
d(cu) = cdu.
Действительно, по формуле (11) имеем: d(cu) = (cu)'dx = c·u'dx = cdu.
Свойство 3. Дифференциал суммы дифференцируемых функций равен сумме дифференциалов:
d(u + v) = du + dv.
Действительно,
d(u + v) = (u + v)'dx = u'dx + v'dx = du + dv.
Свойство 4. Дифференциал произведения дифференцируемых функций находится по формуле:
d(uv) = udv + vdu
Свойство 5. Дифференциал частного дифференцируемых функций находится по формуле:
u |
|
vdu −udv |
|
||
d |
|
|
= |
|
(v ≠ 0). |
|
v2 |
||||
v |
|
|
|||
Свойство 6. Инвариантность формы дифференциала. Рассмотрим дифференцируемые функции u = u(x), y = f(u).
Тогда дифференциал сложной функции y = f(u(x)) находится по формуле:
dy = f '(u)du. |
(12) |
|
31 |
Если сравним формулу (12) с формулой (11), то получим, что дифференциал имеет неизменную (инвариантную) форму относительно аргумента. Действительно, по формуле производной сложной функции имеем:
dy = (f(u(x)))'dx = f '(u) ·u'(x)dx = f '(u)du, т.к. du = u'(x)dx.
Пример 4. Найти дифференциал сложной функции y = sin 
x .
Решение. По формуле (12) имеем:
d (sin |
x ) = d sin u = cosu du = cos x d x, гдеu = x. |
|
2.4. Применение дифференциала к приближенным |
||
|
вычислениям |
|
Приращение y функции |
y = f(x),дифференцируемой в |
|
точке x0 , |
можно представить в виде (10): |
|
y = f '(x)· x + α· x = dy + α· |
x, где α →0 при x→0. |
|
Отбрасывая бесконечно малую α· |
x , которая имеет более высо- |
|
кий порядок малости, чем x, получаем приближённое равенство y ≈ dy,
причём это равенство тем точнее, чем меньше x.
Так как y = f(x0 + x) – f(x0) = f(x) - f(x0) и dy = f '(x0) x, то мож-
но записать
f(x) – f(x0) ≈ f '(x0)· x, или
f(x) ≈ f(x0) + f '(x0) · x, где x = x – x0. |
(13) |
Эта формула используется для приближенного вычисления значений функций.
Пример 5. Вычислить приближённо ln0,95. Решение. Рассмотрим функцию f(x) = lnx.
По формуле (13) имеем:
|
1 |
|
′ |
1 |
|
|
lnx ≈ lnx0 + |
|
|
x , т.к. (ln x) |
= |
|
. |
x0 |
x |
|||||
Пусть x = 0,95, x0 = 1. Тогда x = x – x0 = - 0,05. ln0,95 ≈ ln1 + 11 (−0,05) = - 0,05.
Пример 6. Вычислить приближённо arctg1,04.
32