Решение. Рассмотрим функцию f(x) = arctgx.
Её производная f '(x) = |
|
1 |
|
. |
|
|
|
|
|
1 |
+ x2 |
|
|
|
|
|
|||
По формуле (13) имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
arctgx ≈ arctgx0 |
+ |
|
x. |
||||||
|
+ x02 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||
Пусть x = 1,04, x0 = 1, |
|
x = x – x0 = 0,04. |
|
||||||
Тогда arctg1,04 ≈ arctg1 |
+ |
0,04 |
= |
π |
+ 0,02 ≈ 0,805. |
||||
|
4 |
|
|||||||
|
|
1 +1 |
|
|
|
|
|||
§3. СВОЙСТВА ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ
Важную роль в математическом анализе играют следующие теоремы о дифференцируемых функциях.
3.1. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа
Теорема Ферма
Пусть функция y=f(x) определена на отрезке [a,b] и в некоторой точке с, лежащей между точками а и b, (а < с < b), принимает свое наибольшее или наименьшее значение. Если в точке с существует производная, то она равна нулю: f '(c)=0.
Геометрический смысл теоремы
Построим график функции f(x). Пусть, например, f (c) – наибольшее значение функции на отрезке [a,b] и функция дифференцируема в точке с (см. рис. 9). Тогда в точке М(с, f(c)) существует касательная к графику функции. Пусть α – угол наклона касательной к оси ОХ. Воспользуемся геометрическим смыслом производной:
f ' (c)=tg α=0.
Следовательно, угол α=0. То есть касательная к графику в точке М(с, f(c)) параллельна оси абсцисс.
33
|
|
|
|
|
Рис. 9 |
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство. Пусть для определенности |
в точке c |
|||||||||
функция f (x) |
принимает наибольшее значение, т.е. f (x) ≤ f (c) |
||||||||||
для |
всех |
a ≤ x ≤ b. Тогда |
|
приращение |
функции |
||||||
y = f (c + |
x) − f (c) ≤ 0. Отсюда следует, что |
y ≤ 0 при |
x > 0, |
||||||||
y ≥ 0 при |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|||
|
x < 0. По |
|
определению |
производной |
|||||||
x |
|
y |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
′ |
lim |
≤ 0 |
при |
x > 0, f |
′ |
(c) = lim |
≥ 0 |
при |
x < 0. |
||
f (c) = |
x |
|
x |
||||||||
|
x→0 |
′ |
(c) = 0. |
|
|
x→0 |
|
|
|
||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
||||
f |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Теорема Ролля
Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b], дифференцируема в интервале (a,b) и на концах отрезка принимает равные значения f(a)=f(b), то внутри отрезка найдется такая точка
с (а, b), что f '(c)=0.
34
Геометрический смысл теоремы
При выполнении условий теоремы внутри отрезка найдется точка с, что касательная к графику функции в точке М(с, f(c)) параллельна оси ОХ. Очевидно, таких точек может быть несколько (рис.10).
Рис. 10
Доказательство. Так как функция f (x) непрерывна на отрезке [a,b], то она достигает на этом отрезке своего наибольшего значения M и наименьшего значения m.
Если M = m, то функция f (x) постоянна на [a,b] и ее производная f ′(x) = 0 в любой точке отрезка.
Если M > m, тогда хотя бы одно из этих значений функция принимает в некоторой точке c , a < c <b. Действительно, на концах отрезка значения функции равны: f (a) = f (b). В таком
случае, по теореме Ферма f ′(c) = 0.
35
Теорема Лагранжа
Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b], дифференцируема в интервале (а,b), то внутри отрезка найдется такая точка с (а,b),что справедливо равенство:
|
|
|
|
|
|
f(b)-f(a)=f '(c) (b-a). |
(14) |
||||
|
|
|
|
|
Геометрический смысл теоремы |
|
|||||
|
Рассмотрим график функции y=f(x), определенной на от- |
||||||||||
резке [a,b], и точки |
|
А(а, f(a)) и В(b, f(b)) графика. Построим |
|||||||||
секущую |
АВ |
(cм. |
|
рис.11) |
Запишем формулу (14) |
в виде: |
|||||
|
f (b) − f (a) |
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= f |
(c). |
|
|
|
|
|
|
|
|
b −a |
|
|
f (b) − f (a) |
|
BC |
|
|
|||
|
Отношение |
|
= |
= tgϕ = KАВ; |
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
b −a |
|
|
AC |
|
|
где φ – угол наклона секущей АВ к оси ОХ, КАВ - угловой коэффициент секущей АВ.
f ' (с) = Ккас. – угловой коэффициент касательной к графи-
ку функции в точке М(с,f(с)). Таким образом, КАВ= Ккас., т.е. секущая АВ параллельна касательной.
Рис. 11
Теорема Лагранжа утверждает, что на графике функции y=f(x) между точками А и В найдется такая точка М, в которой касательная параллельна секущей АВ.
36